Erweiterungskörper

Beispiel: Der Zerfällungskörper K von X³-1 über ℚ.
Dieser Körper enthält alle drei 3. Wurzeln von 1 in ℂ sqrt3

                                    2π
                                    ——i  
      2π                             3     1    1 —     2   1  1  —  
w=cis(——) = cos(120°)+isin(120°) = e    = -— + i—√3    w = -— -—i√3 
       3                                   2    2           2  2 

Ein Erweiterungskörper, der alle 3 dritte Wurzeln von 1 besitzt ist

    1   1  —
ℚ(- — + —i√3)
    2   2 

                                          
      1   1  —        2π                    
w = - — + —i√3 = exp(i——)=cis(120°)
      2   2           3

 2    1   1  —        4π                   
w = - — - —i√3 = exp(i——)=cis(240°)
      2   2           3
 3            
w = 1  = exp(i·2π)=cis(360°)
 
 -1   2
w  = w

weiter zu Einheitswurzeln

 3              2
x -1 : (x-1) = x +x+1 Deshalb:

(FLA (Lehrbuch der Algebra) 249 Das Minimalpolynom von w ist f=X²+X+1=(X-w)(X-w²).
ℚ(w)={a+b·w|a,b∈ℚ} mit Grad(ℚ(w))=2.
Da w²+w+1=0 ist das Inverse von w = -1 - w.

Beispiel: K=ℚ(√2)={a+b√2|a,b∈ℚ} ist ein Körper und ein Vektorraum über ℚ der Dimension 2.
Man definiert: Der Grad der Körpererweiterung K über ℚ ist vom Grad 2.
Es genügt zu zeigen, dass das Inverse von a+b√2 in K liegt.
Beweis:

                    —
  1       1     a-b√2       1          —      
————— = ————— · —————  = —————— · (a-b√2) ∈K
    —       —       —     2   2
a+b√2   a+b√2   a-b√2    a + b

Satz vom primitiven Element: (Gradmann S.43)
Es sei L/K eine endliche Körpererweiterung mit char(K) = 0. Dann ist L/K einfach, d. h. es gibt ein c ∈ L mit L = K(c).
(Ein solches c wird dann oft auch primitives Element genannt.)
Beispiel: ℚ(√2,√3)= ℚ(√2+√3).

Quelle

Beispiel: K=ℚ(√2,√3)= {a+b√2+c√3+d√6|a,b,c,d∈ℚ} ist Körper und Vektorraum über ℚ vom Grad 4.

Nachrechnen: Wir suchen für q=sqrt(2), r=sqrt(3) und s:=q*r;für den Kehrwert q=a+b*q+c*r+d*s von t=a1+b1*q+c1*r+d1*s; q*t=1; Ausmultiplizieren und ordnen ergibt das Gleichungssystem:
a1*a+2*b1*b+3*c1*c+6*d1*d=1
b*a1+a*b1+3*d*c1+3*c*d1=0 (Faktor vor sqrt(2))
c*a1+2*d*b1+a*c1+2*b*d1=0 (Faktor vor sqrt(3))
d*a1+c*b1+b*c1+a*d1=0 (Faktor vor sqrt(6))

Beispiel: ℂ = ℝ(i) ={a+bi|a,b∈ℝ} ist 2-dim. Vektorraum über ℝ und Körper mit i²=-1 mit Minimalpolynom f(x)=x²+1.

Erweiterungskörper x³-3x-4=0

BAE 104
BAEN 127

Eine Lösung dieser Gleichung ist

      ———     ———
    3/  —   3/  —
x = √2+√3 + √2-√3
 1

1. Schritt: wir adjungieren zu ℚ √3 und erhalten den Erweiterungskörper:
ℚ(√3) = {a+b√3|a,b∈ℚ}
2. Schritt: Wir adjungieren noch

  ———                        ———
3/  —                  —  3/  —
√2+√3  und erhalten ℚ(√3, √2+√3 )
                              ———     ———
                            3/  —   3/  —
x ist in diesem Körper, da (√2+√3)·(√2-√3 ) = 1
 1

Ist L ieine Körpererweiterung von K, dann schreibt man kurz L/K.
Galoisgruppe Gal(L/K) = {f|f Automorphismus von L mit f(x)=x für alle x∈K}.

GAL(ℂ/ℝ) enthält nur die Identität und die komplexe Konjugartion a+b√2 →a-b√2.

Definition: In einer Körpererweiterung L/K heißt ein Element α∈L algebraisch über K, wenn es Nullstelle eines Polynoms mit Koeffizienten aus K ist, anderfalls transzendent. Der Grad eines algebraischen Elementes α ist nach Definition der Grad seines Minimalpolynoms (Kunz S.25)
Satz: Ist α algebraisch über K vom Grade n so ist B={1,α,α²,α³, α^n-1} eine Basis von K(α). Insbesondere lassen sich die Inversen von Linearkombinationen von B wieder als Linearkombinationen von B darstellen.

Definition: Der Zerfällungskörper eines Polynoms mit Koeffizienten aus K entsteht durch Adjunktion aller Wurzeln des Polynoms.

Erweiterungskörper

Erweiterungskörper x3-3x-4=0

Erweiterungskörper x³-3x-4=0