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Bewersdorff, Kap. 10

(BAA 138ff)

Satz über das Inverse in endlichen Gruppe

Sei G eine Teilmenge der endlichen Gruppe S2 mit der Eigenschaft dass für alle a,b∈G gilt: a·b∈G.
Dann existiert auch zu jedem Element a∈G das Inverse a-1, d.h. G ist Untergruppe.
                                    2   3   4                                                 
Beweis (BAE 141): Bei der Folge a, a, a , a , a , ... müssen 
                                     
                                             p   q  
irgendwamm einmal zwei Glieder gleich sein: a = a  (p,q∈ℕ und p›q).

    p-q                                p-q-1         -1    p-q-1
⇒ a    = e (neutrales Element). ⇒ a·a       = e ⇒ a   = a       qed

Satz über Anzahl der Elemente einer Untergruppe

Ist U untergruppe von G so ist |U| ein Teiler von |G|.

Beweis: (1) Für a∈G ist die linke Nebenklasse aU definiert durch aU={ax|x∈U}.
Sind zwei Elemente ax und ay aus aU gleich, ax=ay, so folgt nach Multiplikation von a-1: x=y.
Die Abbildung x→ax ist eine bijektive von U auf aU ⇒ |aU|=|U|.
(2) Für alle a,b∈G gilt: (aU)∩(bU)=∅ oder aU=bU, denn ist ax=by für x,y∈U, so ist b=axy-1∈aU.
(3) |G|=|aU|+|bU|+...+|zU|=|U| +|U| + ... |U| = m|U| für m∈ℕ qed

Ordnung eines Elementes

Ist a∈G (G Gruppe) und n=|{e,a,a2,,a3,...,,an}| (keine Wiederholungen!), so ist n die Ordnung von a und n ist Teiler von |G|.
{e,a,a2,,a3,...,,an} ist eine zyklische Gruppe.
Ist |G| Primzahl, so gibt es ein a mit G={e,a,a2,,a3,...,,an}.

Definition der Galoisgruppe zum Polynom f

Gal(f) über K wird gebildet von allen Automorphismen σ des Zerfällungskörpers K(x1,...,xn) mit σ(x)=x für alle x∈K.
(Diese Gruppe ist isomorph zur anders definierten Untergruppe von Sn.)

Die Fixelemente der Automorhismen im Zerfällungskörper

(BAE 150) Sind die Koeffizienten des Polynoms in K, so ist im Zerfällungskörper die Menge der Werte, die unter jedem Automorphismus der Galoisgruppe fest bleiben, gleich dem Körper K (und nicht etwa mehr).