FLA 4/1.3
Siehe auch hier...
——————— / 2 2 p / P Die Gleichung x+px+q=0 hat die Lösungen x = - ± \/ (—) - q 1,2 2 2 2 p 2 p 2 p 2 Zum Beweis x +px+(—) = (—) -q und links steht: (x+—) 2 2 2
Anzumerken ist: x + x = -p und x x = q (Satz von Vieta) 1 2 1 2Die Galoisgruppe der quadratischen Gleichung, d.h. alle Automorphismen des Zerfällungskörpers über dem irreduziblen Polynom X2+pX+q über ℚ ist, ist G={id,(1→2)}. Darüber später mehr.
a - 1 n n-1 n-1 Die Gleichung x + a x + ... + a lässt sich mit y=x+ ——————— n-1 0 n-1reduzieren zu einem Polynom, bei der der Faktor vor yn-1 den Wert 0 animmt.
— — 1 — 1 — 1 — — 1 — 1 — 1 — — — x =1+∛2+∛4, x = 1-—∛2-—∛4+—i√3(∛4-∛2) und x = 1-—∛2-—∛4-—i√3(∛4-∛2) 1 2 2 2 2 3 2 2 2
BAE 6
Vorübung: (1) (u+v)3=u3+3u2v+3uv2+v3=u3+v3+3uv(u+v).
(2) Ist w2+pw+q=(w-a)(w-b), so ist (w-a)(w-b)=w2-w(a+b)+ab.
Ist also von zwei Zahlen a und b die Summe a+b=-p und das Produkt ab=q bekannt, so sind sie Lösungen der Gleichung w2+pw+q.
————————— 3 3 q /q 2 p 3 u bzw. v=-—±\/(—) + (—) also 2 2 3 — — 3/3 3/3 3 3 x=u+v=√u + √v (u mit + und v mit -) p — — Nebenbedingung uv=-— für die komplexen ∛u bzw. ∛v 3
— — — — Also u=∛2 und v=∛4 (uv=2). Somit ist x =∛2+∛4 1 — — Die weiteren Löungen ergeben sich aus u=∛2·cis(120°) und v=∛4cis(240°) zu 1 — — 1 — — — — x = -—(∛2+∛4)+ —√3i(∛2-∛4) und aus u=∛2·cis(240°) und v=∛4cis(120°) zu 2 2 2 1 — — 1 — — — x = -—(∛2+∛4)+ —√3i(-∛2+∛4). Hier stets uv=2. 3 2 2
———————— ———————— ———— 3/3 19 3/3 19 / 5 x=√ — + ——s + √ — - ——s für s=√ - - 2 6 2 6 3Mit Rechnung in komplexen Zahlen ergibt dies tatsächlich: x=3. S.14. Die Lösung dieser Gleichung erfolgt über komplexe Zahlen.
a±v (b-u)(v±a) ∓ 2c ————— p,s = ——— und q,t = ———————————————— mit v = √a2-4u, 2 4v wobei zunächst die kubischen Kleichung 3 2 2 2 2 u - 2bu + (ac + b -4d)u + (c - abc + a d) =0 gelöst werden muss.Falls v=0, also p=a/2 lautet die Lösungsformel
—————— a c ±√c2-a2d p,s = — und q,t = —————————— 2 a
5 4 3 2 (x - 1):(x-1) = x + x + x + x + 1 = 0 3 2 Dies führt auf die kubische Gleichung u - 2u - 2u + 1 =0. Eine Lösung ist u=-1 1 1 Damit ergibt sich p,s= — ± —√5 und q,t = 1 also 2 2 4 3 2 1 2 1 — 2 1 — x + x + x + x + 1 = (x + —(1+√5)x + 1)(x + —(1-√5)x +1) 2 2 4 3 2 Die vier Lösungen der quartischen Gleichung x +x +x +x+1=0 können aus den quadratischen Gleichungen ermittelt werden. Es sind die komplexen 5-ten Einheitswurzeln cis(k·72°) (k=1,2,3,4). ————— 1 1 — 1 / — x =-—-—√5 + —i√10-2√5 = cis(2·72°) 1 4 4 4 ————— 1 1 — 1 / — x =-—-—√5 - —i√10-2√5 = cis(3·72°); 2 4 4 4 ————— 1 1 — 1 / — x =-—+—√5 + —i√10+2√5 = cis(72°) 3 4 4 4 ————— 1 1 — 1 / — x =-—+—√5 - —i√10+2√5 =cis(4·72°) 4 4 4 4