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FLA 4/1.3
Siehe auch hier...

Quadratische Gleichungen

      
                                                       ———————
                                                      /  2
               2                               p     / P 
Die Gleichung x+px+q=0 hat die Lösungen x    = - ± \/ (—)  - q             
                                         1,2   2       2

            2     p  2    p 2                       p 2 
Zum Beweis x +px+(—)   = (—) -q und links steht: (x+—)
                  2       2                         2  
   
Anzumerken ist: x + x = -p und x x = q
                 1   2          1 2
Die Galoisgruppe der quadratischen Gleichung ist S2={id,(2 1)}

Kubischen Gleichungen reduzieren

x3+ax2+bx+c=0. Durch die Substitution x=z-a/3 lässt sich die Gleichung umformen zu:
z3+pz+q=0. Das führ zur Gleichung z3+0*z2-1/3*z*a2+2/27*a3+bx+c.
Über die Lösungen für z bekommt man dann auch die Lösungen für x.

Tschirnhaus-Transformation (1683)

                                                            a
               n        n-1                                  n-1 
Die Gleichung x  + a   x    + ... + a   lässt sich mit y=x+ ———— 
                    n-1              0                        n 

reduzieren zu einem Polynom, bei der der Faktor vor yn-1 den Wert 0 animmt.

Die Cardanoformel für x3+px+q=0

BAE 6

Sei x=u+v, dann ist x3=(u3+v3)+3uv(u+v) und
Es ergibt sich x3+px+q=(u3+v3)+(3uv+p)(u+v)+q=0, wenn 3uv=-p und u3+v3=-q ist.

Von u3 und u3 ist die Summe u3+v3=-q und das Produkt u3·u3=-(p/3)3 bekannt.
Sie erfülle also die quadratische Gleichung w2+qw-(p/3)3=0 (siehe oben).
Die Lösung dieser Gleichung ergibt
                 
 3      3 q    q 2   p 3 
u bzw. v=-—±\/(—) + (—)   also
          2    2     3

        —    —
      3/3  3/3    3            3
x=u+v=√u + √v   (u  mit + und v  mit -)

Casus ireducibilis

Dieser tritt dann auf, wenn die Gleichung 3. Grades drei reellwertige Lösungen besitzt: Die Geburtsstunde der komplexen Zahlen.
Die Gleichung x3-8x -3=0 führt bei Cardano nicht auf x=3 sondern auf
    ————————     ————————         ————
  3/3   19     3/3   19          /  5 
x=√ — + ——s  + √ — - ——s  für s=√ - - 
    2    6       2   6              3   
Mit Rechnung in komplexen Zahlen ergibt dies tatsächlich: x=3. S.14. Die Lösung dieser Gleichung erfolgt über komplexe Zahlen.

Biquadratische Gleichung

BAE 25

Eine elegante Lösung findet sich in WP
quartische_gleichung