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FLA 4/1.3
Siehe auch hier...
Quadratische Gleichungen
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/ 2
2 p / P
Die Gleichung x+px+q=0 hat die Lösungen x = - ± \/ (—) - q
1,2 2 2
2 p 2 p 2 p 2
Zum Beweis x +px+(—) = (—) -q und links steht: (x+—)
2 2 2
Anzumerken ist: x + x = -p und x x = q
1 2 1 2
Die Galoisgruppe der quadratischen Gleichung ist S2={id,(2 1)}
Kubischen Gleichungen reduzieren
x3+ax2+bx+c=0. Durch die Substitution x=z-a/3 lässt sich die Gleichung umformen zu:z3+pz+q=0. Das führ zur Gleichung z3+0*z2-1/3*z*a2+2/27*a3+bx+c.
Über die Lösungen für z bekommt man dann auch die Lösungen für x.
Tschirnhaus-Transformation (1683)
a
n n-1 n-1
Die Gleichung x + a x + ... + a lässt sich mit y=x+ ————
n-1 0 n
reduzieren zu einem Polynom, bei der der Faktor vor yn-1 den Wert 0 animmt.
Die Cardanoformel für x3+px+q=0
BAE 6
Sei x=u+v, dann ist x3=(u3+v3)+3uv(u+v) undEs ergibt sich x3+px+q=(u3+v3)+(3uv+p)(u+v)+q=0, wenn 3uv=-p und u3+v3=-q ist.
Von u3 und u3 ist die Summe u3+v3=-q und das Produkt u3·u3=-(p/3)3 bekannt.
Sie erfülle also die quadratische Gleichung w2+qw-(p/3)3=0 (siehe oben).
Die Lösung dieser Gleichung ergibt
3 3 q q 2 p 3
u bzw. v=-—±\/(—) + (—) also
2 2 3
— —
3/3 3/3 3 3
x=u+v=√u + √v (u mit + und v mit -)
Casus ireducibilis
Dieser tritt dann auf, wenn die Gleichung 3. Grades drei reellwertige Lösungen besitzt: Die Geburtsstunde der komplexen Zahlen.Die Gleichung x3-8x -3=0 führt bei Cardano nicht auf x=3 sondern auf
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3/3 19 3/3 19 / 5
x=√ — + ——s + √ — - ——s für s=√ - -
2 6 2 6 3
Mit Rechnung in komplexen Zahlen ergibt dies tatsächlich: x=3.
S.14. Die Lösung dieser Gleichung erfolgt über komplexe Zahlen.
Biquadratische Gleichung
BAE 25
Eine elegante Lösung findet sich in WP