Joachim Mohr   Mathematik Musik Delphi
≡
Zurück

FLA 4/1.3
Siehe auch hier...

Quadratische Gleichungen

      
                                                       ———————
                                                      /  2
               2                               p     / P 
Die Gleichung x+px+q=0 hat die Lösungen x    = - ± \/ (—)  - q             
                                         1,2   2       2

            2     p  2    p 2                       p 2 
Zum Beweis x +px+(—)   = (—) -q und links steht: (x+—)
                  2       2                         2  

   
Anzumerken ist: x + x = -p und x x = q (Satz von Vieta)
                 1   2          1 2
Die Galoisgruppe der quadratischen Gleichung, d.h. alle Automorphismen des Zerfällungskörpers über dem irreduziblen Polynom X2+pX+q über ℚ ist, ist G={id,(1→2)}. Darüber später mehr.

Kubischen Gleichungen reduzieren

x3+ax2+bx+c=0. Durch die Substitution x=z-a/3 lässt sich die Gleichung umformen zu:
z3+pz+q=0. Das führ zur Gleichung z3+0*z2-1/3*z*a2+2/27*a3+bx+c.
Über die Lösungen für z bekommt man dann auch die Lösungen für x.

Tschirnhaus-Transformation (1683)

                                                            a   - 1
               n        n-1                                  n-1 
Die Gleichung x  + a   x    + ... + a   lässt sich mit y=x+ ——————— 
                    n-1              0                        n-1
reduzieren zu einem Polynom, bei der der Faktor vor yn-1 den Wert 0 animmt.
Beispiel: Die Gleichung x3-3x2-3x-1 =0 wird durch die Substitution y=x-1 reduziert zu y3-6y-6=0.
Diese Gleichung kann man mit Hilfe der Cardanoformel lösen (siehe unten mit Restubstitution x=1+y). 

      —  —        1 — 1 — 1     —   —            1 — 1 — 1  —  —  —
x =1+∛2+∛4, x = 1-—∛2-—∛4+—i√3(∛4-∛2) und x = 1-—∛2-—∛4-—i√3(∛4-∛2)
 1           2    2   2   2                 3    2   2   2

Die Cardanoformel für x3+px+q=0

BAE 6

Vorübung: (1) (u+v)3=u3+3u2v+3uv2+v3=u3+v3+3uv(u+v).
(2) Ist w2+pw+q=(w-a)(w-b), so ist (w-a)(w-b)=w2-w(a+b)+ab. Ist also von zwei Zahlen a und b die Summe a+b=-p und das Produkt ab=q bekannt, so sind sie Lösungen der Gleichung w2+pw+q.

Sei x=u+v, dann ist x3=(u3+v3)+3uv(u+v).
Es ergibt sich x3+px+q=(u3+v3)+(3uv+p)(u+v)+q=0, wenn 3uv=-p und u3+v3=-q ist.

Von u3 und u3 ist die Summe u3+v3=-q und das Produkt u3·u3=-(p/3)3 bekannt.
Sie erfülle also die quadratische Gleichung w2+qw-(p/3)3=0 (siehe oben).
Die Lösung dieser Gleichung ergibt 
               —————————    
 3      3 q   /q 2   p 3 
u bzw. v=-—±\/(—) + (—)   also
          2    2     3

        —    —
      3/3  3/3    3            3
x=u+v=√u + √v   (u  mit + und v  mit -)

                   p                    —        —                                                    
Nebenbedingung uv=-— für die komplexen ∛u bzw. ∛v
                   3
Beispiel: x3-6x-6=0.
Die Gleichung w2-6w+8=0 hat die Lösungen w1=2 und w2=4, 
  
        —        —                       —   —  
Also u=∛2 und v=∛4 (uv=2). Somit ist x =∛2+∛4
                                      1
                                          —                  — 
Die weiteren Löungen ergeben sich aus u=∛2·cis(120°) und v=∛4cis(240°) zu

     1  —  —   1     —   —             —                  —
x = -—(∛2+∛4)+ —√3i(∛2-∛4) und aus u=∛2·cis(240°) und v=∛4cis(120°) zu
 2   2         2 

     1  —  —   1 —     —  —
x = -—(∛2+∛4)+ —√3i(-∛2+∛4). Hier stets uv=2.
 3   2         2

Casus irreducibilis

Dieser tritt dann auf, wenn die Gleichung 3. Grades drei reellwertige Lösungen besitzt: Die Geburtsstunde der komplexen Zahlen.
Die Gleichung x3-8x -3=0 führt bei Cardano nicht auf x=3 sondern auf 
    ————————     ————————         ————
  3/3   19     3/3   19          /  5 
x=√ — + ——s  + √ — - ——s  für s=√ - - 
    2    6       2   6              3
Mit Rechnung in komplexen Zahlen ergibt dies tatsächlich: x=3. S.14. Die Lösung dieser Gleichung erfolgt über komplexe Zahlen.

Biquadratische Gleichung

Hier kann man die Lösung zurückführen auf die Lösung einer kubischen Gleichung. Im Lösungsansatz wird die biquadratischen Gleichung in ein Produkt von zwei quadratischen Faktoren zerlegt (Quelle WP).
x4+ax3+bx2+cx+d=(x2+px+q)(x2+sx+t)
Die Lösungsformel lautet hier: 
             
      a±v            (b-u)(v±a) ∓ 2c           ————— 
p,s = ———  und q,t = ———————————————— mit v = √a2-4u,
       2                  4v

wobei zunächst die kubischen Kleichung 
 
 3     2         2           2         2  
u - 2bu + (ac + b  -4d)u + (c - abc + a d) =0


gelöst werden muss.
Falls v=0, also p=a/2 lautet die Lösungsformel 
  
                       ——————
      a            c ±√c2-a2d
p,s = —  und q,t = ——————————
      2                 a
Beispiel: für die komplexen 5. Einheitswurzeln gilt die irreduzible Gleichung 
     
  5              4   3   2 
(x - 1):(x-1) = x + x + x + x + 1 = 0
                                       3    2
Dies führt auf die kubische Gleichung u - 2u - 2u + 1 =0. Eine Lösung ist u=-1

                       1   1
Damit ergibt sich p,s= — ± —√5 und q,t = 1 also
                       2   2
 
 4   3   2   1        2   1    —         2  1    —
x + x + x + x + 1 = (x  + —(1+√5)x + 1)(x + —(1-√5)x +1) 
                          2                 2

                                             4  3  2 
Die vier Lösungen der quartischen Gleichung x +x +x +x+1=0 

können aus den quadratischen Gleichungen ermittelt werden.

Es sind die komplexen 5-ten Einheitswurzeln cis(k·72°) (k=1,2,3,4).

                —————
    1 1 —   1  /    —
x =-—-—√5 + —i√10-2√5 = cis(2·72°)
 1  4 4     4

                —————
    1 1 —   1  /    —
x =-—-—√5 - —i√10-2√5 = cis(3·72°);
 2  4 4     4

                —————
    1 1 —   1  /    —
x =-—+—√5 + —i√10+2√5 = cis(72°)
 3  4 4     4

                —————
    1 1 —   1  /    —
x =-—+—√5 - —i√10+2√5 =cis(4·72°)
 4  4 4     4


   ↑