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FLA 4/1.3
Siehe auch hier...

Funktionen / Abbildungen

Funktionen und Abbildungen sind dasselbe.
Eine Abbildung f:M→N heißt injektiv wenn aus f(a)=f(b) folgt a=b Kontapositio: a≠b ⇒ f(a)≠f(b)

Beispiele

f:ℝ+→ℝ+ mit f(x)=√x ist injektiv
f:ℝ→ℝ mit f(x)=x2 nicht injektif, da f(1)=1 und f(-1)=1
Eine Abbildung f:M→N heißt surjektiv, wenn für jedes y∈N ein x∈M mit f(x)=y existiert.
Eine Abbildung f:M→N heißt bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist. Dann existiert die Umkehrabbildung.

Zum Beispiel ist: f:ℝ→ℝ+={x∈ℝ|x positiv} mit f(x)=10x bijektiv mit der
Umkehrabbildung g:ℝ+→ℝ mit g(x)=lg(x).


Sind M und n algebraische Strukturen (Gruppen, Ringe, Körper usw.) dann nennt man eine bez. der Verknüfung(en) verträgliche Abbildung (FLA 20/2.1)

Kleine Beweise

 

Sei f: G→H ein Gruppenhomomorphismus, dann gilt:

I f(e)=e', wobe e und e' die Einselemente von G und H sind

                                                  -1
Beweis: sei x=f(e)=f(e*e)=f(e)*f(e)=xx, also e'=xx  =x qed


      -1        -1
II f(x  ) = f(x)
               -1       -1               -1     -1
Beweis: f(x)f(x  )=f(x*x  )=f(e)=e' ⇒f(x  )=f(x)  qed.