Kontraposition

a⇒b ⇔ nicht b⇒nicht a
Wenn a dann b ist gleichwertig mit: wenn nicht b dann nicht a.

Beispiel: Wenn a durch 6 teilbar ist, dann ist a gerade.
Kontraposition: Wenn a ungerade ist, dann ist a nicht durch 6 teilbar.

Funktionen / Abbildungen

Funktionen und Abbildungen sind dasselbe.
Eine Abbildung f:M→N heißt injektiv wenn aus f(a)=f(b) folgt a=b Kontapositio: a≠b ⇒ f(a)≠f(b)

Beispiele

f:ℝ₊→ℝ₊ mit f(x)=√x ist injektiv

f:ℝ→ℝ mit f(x)=x² nicht injektif, da f(1)=1 und f(-1)=1

Eine Abbildung f:M→N heißt surjektiv, wenn für jedes y∈N ein x∈M mit f(x)=y existiert.
Eine Abbildung f:M→N heißt bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist. Dann existiert die Umkehrabbildung.

Zum Beispiel ist: f:ℝ→ℝ₊={x∈ℝ|x positiv} mit f(x)=10^x bijektiv mit der
Umkehrabbildung g:ℝ₊→ℝ mit g(x)=lg(x).

Sind M und n algebraische Strukturen (Gruppen, Ringe, Körper usw.) dann nennt man eine bez. der Verknüfung(en) verträgliche Abbildung (FLA 20/2.1)

Homomorphismus
Monomorphismus, wenn sie injektiv ist
Epimorphismus, wenn sie surjektiv ist
Isomorphismus, wenn sie bijektiv ist.
Endomorphismus, wenn N=M
Automorphismus, wenn N=M und sie bijektiv ist

Kleine Beweise

 

Sei f: G→H ein Gruppenhomomorphismus, dann gilt:

I f(e)=e', wobe e und e' die Einselemente von G und H sind

                                                      -1         
Beweis: f(e)=f(e*e)=f(e)*f(e). Multiplikation mit f(e)   von links:

        -1
e'= f(e)  f(e)f(e)=e'f(e)=f(e)  ∎

      -1        -1
II f(x  ) = f(x)

               -1       -1               -1     -1
Beweis: f(x)f(x  )=f(x*x  )=f(e)=e' ⇒f(x  )=f(x)  ∎

Jeder Homomorphismus (nach Def. f(1)≠0) von Körpern f: K→K', ist injektiv, d.h. f(x)=f(y) nur für x=y.
Beweis: (1) f(0)=0, denn f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0) ⇒ 0=f(0)
(2) f(1)=1, denn f(1)=f(1*1)=f(1)*f(1) ⇒ 1=f(1).
(3) Kerf={0}, denn für x≠0 gilt: 1=f(1)=f(x*x^-1)=f(x)*f(x^-1) ⇒ f(x)≠0
Falls f(x)=f(y), also f(x-y)=f(x)-f(y)=0 ⇒ x-y=0, also x=y ∎