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FLA 4/1.3
Siehe auch hier...

Ringe

                              n        n-1           2  
Wichtig. Die Polynome f(x)=a x + a   x    + ... + a x + a x + a  
                            n     n-1              2     1     0

bilden bezüglich + und · einen Ring. 

Definition: Ein Ring (R,+,·) ist eine Menge mit Operationen + und · so, dass (R,+) eine kommutative Gruppe und bez · das Assoziativgesetz gilt sowie bez. + und · die Distributivgesetze gelten.
Definition: Ein bez. · kommutativer Ring mit 1≠0 und ohne Nullteiler (d.h. ab=0 nur für a=0 oder b=0) heißt Integritätsbereich, d.h. Ein Integretätsbereich ist fast ein Körper, bei dem jedoch Inverse nicht existieren müssen.
Definition: In einem Ring mit 1 ist Rx={a∈R|a ist Einheit, d.h. a besitzt ein Inverses b mit ab=1 und ba=1}
Satz: Jeder Integritätsbereich kann in einen Körper {a/b|b≠0} eingebettet werden.
Beispiele:
(ℤ,+,·) ist ein Ring mit 1 ohne Nullteiler, also ein Integritätsbereich und deshalb ℤ⊂ℚ.
(ℤ5 ,+,·) ist ein Integritätsbereich, sogar ein Körper, denn für ℤ5={0,1,2,3,4} gilt 2·3=1, 2·4=3 3·4=2, d.h. Alle Inverse existieren.
(ℤ6 ,+,·) ist ein Ring mit 1, aber besitzt Nullteiler, zum Beipiel 2·3=0
5ℤ={0,±5,±10,±15,...} ist ein Ring bez. + und · ohne Nullteiler.