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FLA 4/1.3
Siehe auch hier...

Ringe

Man untescheidet:

• Allgemeinde Ringe
• Ringe mit 1 In manchen Büchen stets mit 1)
• Integritätsbereichen mit 1: ohne Nullteiler. Integitätsbeichen kann man in Körper einbetten.
• Euklidische Ringe, wo der euklidische Algorithmus funktionier. Im Allgemeinen ℤ und Polynomringe.

                              n        n-1           2  
Wichtig. Die Polynome f(x)=a x + a   x    + ... + a x + a x + a  
                            n     n-1              2     1     0

bilden bezüglich + und · einen euklidischen Ring mit 1 ohne Nullteiler.

Euklidisch heißt ein Integritätsbereich (also ein Ring mit 1 ohne Nullteiler), wenn der euklidische Algorithmus funktioniert, d.h.
es gibt eine "Größenvergleichs-"Funktion δ: R\{0}→ℕ₀ so, dass im euklidischen Algorithmus
p₁=p₂*k+p₃ für den "Rest" gilt: δ(p₃)<δ(p₃) oder δ(p₃)=0.
Bei Polynomen ist δ der Grad des Polynoms, in ℕ die Zahl selber.

Definition: Ein Ring (R,+,·) ist eine Menge mit Operationen + und · so, dass (R,+) eine kommutative Gruppe und bez · das Assoziativgesetz gilt sowie bez. + und · die Distributivgesetze gelten.
Definition: Ein bez. · kommutativer Ring mit 1≠0 und ohne Nullteiler (d.h. ab=0 nur für a=0 oder b=0) heißt Integritätsbereich, d.h. Ein Integretätsbereich ist fast ein Körper, bei dem jedoch Inverse nicht existieren müssen.
Definition: In einem Ring mit 1 ist R^x={a∈R|a ist Einheit, d.h. a besitzt ein Inverses b mit ab=1 und ba=1}
Satz: Jeder Integritätsbereich kann in einen Körper {^a/_b|b≠0} eingebettet werden.