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Definitionen und Sätze

Im folgendem sei char(K)=0. Dann entfällt überall der Zusatz "separabel", denn dann hat ein irreduzibles Polynom nur einfache Nullstellen im Zerfällungskörper. (Quelle: Tutorium S.165ff)

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Definition: Eine endliche Körpererweiterung L/K heißt galois, wenn |Aut(L/K)|=[L:K].
d.h. Die Anzahl der Automorphismen von L/K ist gleich der Dimension des Vektorraumes L über K.
Satz: Zerfällungskörper sind galois.
Übrigens: Zerfällungskörper L sind bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.
Wir dürfen also annehmen, dass ℚ⊂L⊂ℂ.

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Definition: Eine algebraische Körpererweiterung heißt normal, wenn jedes irreduzible f∈K[x] mit mindestens einer Nullstelle in L alle Nullstellen in L hat.
Satz: L/K ist normal ⇔ L ist Zerfällungskörper eines Polynoms f∈K[x] und damit ist L/K galois.

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Bezeichnung: Sei H⊆Aut(L) eine endliche Gruppe von Automorphismen von L. Dann wird
der Fixpkörper von H als L^H bezeichnet. L^H={x∈L|σ(x)=x für alle σ∈H}.

Beispiel zur Beschreibung des Fixkörpers

Wir betrachten die Körpererweiterungen: ℚ⊂M=ℚ(√2)⊂L=ℚ(√2,√3)
Der Körper L hat den Grad 4: grad(L,ℚ)=4, [L:ℚ]=4
nämlich 1, √2, √3 und √6 sind im Vektorraum L über ℚ linear unabhängig:

L={a+b√2+c√3+d√6|a,b,c,d∈ℚ}

Es gibt vier Automorphismen G=Aut(L,ℚ), nämlich

id: x→x (x∈L) anders geschrieben:
id: a+b√2+c√3+d√6→a+b√2+c√3+d√6 (a,b,c,d∈ℚ)
φ: a + b√2+c√3+d√6→a - b√2+c√3+d√6 (a,b,c,d∈ℚ)
ψ: a+b√2 + c√3+d√6→a+b√2a - c√3+d√6 (a,b,c,d∈ℚ)
φ∘ψ: a + b√2 + c√3+d√6→a - b√2 - c√3+d√6
G=Aut(L,ℚ)={id,φ,ψ,φ∘ψ}

Für x=a+b√2+0√3+0√6∈ℚ(√2) (a,bd∈ℚ) ist ψ(x)=a+b√2-0√3+0√6, also ψ(x)=x, d.h.

M=ℚ(√2) ist Fixkörper der Untergruppe H={id,ψ}.
Bezeichnung dafür L^H=M.
ℚ⊂M⊂L entspricht:
G⊃H⊃{id]

Der Hauptsatz der Galoistheorie (nach Artin)

Satz: Sei L/K eine endliche Galoiserweiterung und G=Gal(L/K) ihre Galoisgruppe.
Dann gibt es eine bijektive Zuordnung von den Untergruppen H von G zu den Zwischenkörpern M von L/K.
Die Zuordnung ist inklusionsumkehrend, d.h. gilt für die Untergruppen H₁⊂H₂ dann und nur dann gilt für die zugeordneten Zwischenkörpern M₁⊃M₂.
Ist H eine Untergruppe von G, dann ist der zugeordnete Zwischenkörper der Fixkörper
M=L^H={x∈L|φ(x)=x für alle φ∈H}.
Ist M ein Zwischenkörper, dann ist die zugeordnete Untergruppe H=Aut(L/M)={φ|φ Automorphismus von L mit φ(x)=x für alle x∈M}.
Wichiger Zusatz über die Größe der Untergruppen und den Grad der Erweiterung:
|L:L^H|=|H| und [L^H:K]=(G:H)