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FLA 4/1.3
Siehe auch hier...

Zerfällungskörper

Ein Körper K heißt Zerfällungskörper des Polynoms xn+an-1xn-1+an-2xn-2+...+xa22+a1x+a0, wenn f in K in Linearfaktoren zerfällt und K minimal über dem Körper k bezüglich dieser Eigenschaft ist.
xn+an-1xn-1+an-2xn-2+...+xa22+a1x+a0=(x-x1)(x-x2)(x-x3)...(x-xn-1)(x-xn) (ai∈k und xi∈K). Dann ist xk∈K, wobei an∈k. (Hier im Normalfall: ℚ=k⊂K⊂ℂ.)
Beispiel: k=ℚ und f(x)=x2-2=0 ⇒ K=ℚ(√2) (Q adjungiert Wurzel 2).
Beispiel: k=ℚ und f(x)=x4-5x2+6=(x2-2)(x2-3) hat den Zerfällungskörper ℚ(√2,√3).
Beispiel: k=ℚ und f(x)=x2+1=0. Im Zerfällungskörper ℚ(i)={a+bi|a,b∈ℚ} ist f(x)=(x-i)(x+i)
Beispiel: k=ℝ und f(x)=x3-2=0. f(x)=x3-2=0 hat in ℝ(zeta) die Nullstellen
    3_      3_     πi          3_     2πi
x = √2,  x =√2·exp(——) und x = √2·exp(———) 
 1        2        3        3          3              
                     
             Im                    πi
             /|\               exp(——) =cos(120°)+i·sin(120°)      
     \120°    |                     3
      \       |
       x      +i
        2     |                    2πi
         \    |                exp(———)=cos(240°)+i·sin(240°)
          \   |                     3
           \  |
            \ |                                    k·πi
——————————————|—————1——|—>Re   Alle Punkte von exp(————) liegen 
            / |        x                             n
           /  |         1
          /   |                auf dem Einheitskreis durch 1 und i.  
         /    |
        x     |                
   240°/ 3    |                Siehe unter ℂ...
        
f(x)=f(x)=x3-2=(x-x1)(x-x2)(x-x2)

                    3—     2πi  
Zerfällungskörper ℚ(√2,exp(———))    (FLA 286/2.4)
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