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Definitionen und Sätze

Im folgendem sei char(K)=0. Dann entfällt überall der Zusatz "separabel", denn dann hat ein irreduzibles Polynom nur einfache Nullstellen im Zerfällungskörper. (Quelle: Tutorium S.165ff)
Definition: Eine endliche Körpererweiterung L/K heißt galois, wenn |Aut(L/K)|=[L:K].
d.h. Die Anzahl der Automorphismen von L/K ist gleich der Dimension des Vektorraumes L über K.
Satz: Zerfällungskörper sind galois.
Übrigens: Zerfällungskörper L sind bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.
Wir dürfen also annehmen, dass ℚ⊂L⊂ℂ.
Definition: Eine algebraische Körpererweiterung heißt normal, wenn jedes irreduzible f∈K[x] mit mindestens einer Nullstelle in L alle Nullstellen in L hat.
Satz: L/K ist normal ⇔ L ist Zerfällungskörper eines Polynoms f∈K[x] und damit ist L/K galois.
Bezeichnung: Sei H⊆Aut(L) eine endliche Gruppe von Automorphismen von L. Dann wird
der Fixpkörper von H als LH bezeichnet. LH={x∈L|σ(x)=x für alle σ∈H}.
Satz von Artin: Sei H eine endliche Untergruppe von Automorphismen eines Körpers L
und M=LH der Fixkörper von H.
Dann gilt: L/M ist endlich und normal, also galois und H=Gal(L/M). (Siehe auch BAEN 213)
(Beweis: sehr lang. Aber damit läßt sich der Hauptsatz der Galoistheorie einfacher beweisen.)

Beispiel zur Beschreibung des Fixkörpers

Wir betrachten die Körpererweiterungen: ℚ⊂M=ℚ(√2)⊂L=ℚ(√2,√3)
Der Körper L hat den Grad 4: grad(L,ℚ)=4, [L:ℚ]=4
nämlich 1, √2, √3 und √6 sind im Vektorraum L über ℚ linear unabhängig:

L={a+b√2+c√3+d√6|a,b,c,d∈ℚ}

Es gibt vier Automorphismen G=Aut(L,ℚ), nämlich

id: x→x (x∈L) anders geschrieben:
id: a+b√2+c√3+d√6→a+b√2+c√3+d√6 (a,b,c,d∈ℚ)
φ: a + b√2+c√3+d√6→a - b√2+c√3+d√6 (a,b,c,d∈ℚ)
ψ: a+b√2 + c√3+d√6→a+b√2a - c√3+d√6 (a,b,c,d∈ℚ)
φ∘ψ: a + b√2 + c√3+d√6→a - b√2 - c√3+d√6
G=Aut(L,ℚ)={id,φ,ψ,φ∘ψ}

Für x=a+b√2+0√3+0√6∈ℚ(√2) (a,bd∈ℚ) ist ψ(x)=a+b√2-0√3+0√6, also ψ(x)=x, d.h.

M=ℚ(√2) ist Fixkörper der Untergruppe H={id,ψ}.
Bezeichnung dafür LH=M.
ℚ⊂M⊂L entspricht:
G⊃H⊃{id]

Der Hauptsatz der Galoistheorie (nach Artin)

Satz: Sei L/K eine endliche Galoiserweiterung und G=Gal(L/K) ihre Galoisgruppe.
Dann gibt es eine bijektive Zuordnung von den Untergruppen H von G zu den Zwischenkörpern M von L/K.
Die Zuordnung ist inklusionsumkehrend, d.h. gilt für die Untergruppen H1⊂H2 dann und nur dann gilt für die zugeordneten Zwischenkörpern M1⊃M2.
Ist H eine Untergruppe von G, dann ist der zugeordnete Zwischenkörper der Fixkörper
M=LH={x∈L|φ(x)=x für alle φ∈H}.
Ist M ein Zwischenkörper, dann ist die zugeordnete Untergruppe H=Aut(L/M)={φ|φ Automorphismus von L mit φ(x)=x für alle x∈M}.
Wichiger Zusatz über die Größe der Untergruppen und den Grad der Erweiterung:
|L:LH|=|H| und [LH:K]=(G:H)

Diagramm

{id}⊂H1⊂H2⊂G
L⊃M1⊃M2⊃K

(Fixkörper von H1)=LH1=M1     (Fixkörper von H2)=LH2=M2
Zahlenbeispiel: |{id}|=1     |H1|=2     |H2|=6     |G|=12
[L:L]=1     [L:M1|=2     [M1:M2|=3     [L:M2|=6    [L:K]=12    
[M1:K]=6     [M2:K]=2