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FLA 4/1.3
Siehe auch hier...

Zerfällungskörper

Ein Körper K heißt Zerfällungskörper des Polynoms xⁿ+a_n-1x^n-1+a_n-2x^n-2+...+xa₂²+a₁x+a₀, wenn f in K in Linearfaktoren zerfällt und K minimal über dem Körper k bezüglich dieser Eigenschaft ist.
xⁿ+a_n-1x^n-1+a_n-2x^n-2+...+xa₂²+a₁x+a₀=(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃)...(x-x_n-1)(x-x_n) (a_i∈k und x_i∈K). Dann ist x_k∈K, wobei a_n∈k. (Hier im Normalfall: ℚ=k⊂K⊂ℂ.)

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Beispiel: k=ℚ und f(x)=x²-2=0 ⇒ K=ℚ(√2) (Q adjungiert Wurzel 2).
Beispiel: k=ℚ und f(x)=x⁴-5x²+6=(x²-2)(x²-3) hat den Zerfällungskörper ℚ(√2,√3).
Beispiel: k=ℚ und f(x)=x²+1=0. Im Zerfällungskörper ℚ(i)={a+bi|a,b∈ℚ} ist f(x)=(x-i)(x+i)
Beispiel: k=ℝ und f(x)=x³-2=0. f(x)=x³-2=0 hat in ℝ(zeta) die Nullstellen

    3_      3_     πi          3_     2πi
x = √2,  x =√2·exp(——) und x = √2·exp(———) 
 1        2        3        3          3              

                     
             Im                    πi
             /|\               exp(——) =cos(120°)+i·sin(120°)      
     \120°    |                     3
      \       |
       x      +i
        2     |                    2πi
         \    |                exp(———)=cos(240°)+i·sin(240°)
          \   |                     3
           \  |
            \ |                                    k·πi
——————————————|—————1——|—>Re   Alle Punkte von exp(————) liegen 
            / |        x                             n
           /  |         1
          /   |                auf dem Einheitskreis durch 1 und i.  
         /    |
        x     |                
   240°/ 3    |                Siehe unter ℂ...
        

f(x)=f(x)=x³-2=(x-x₁)(x-x₂)(x-x₂)

                    3—     2πi  
Zerfällungskörper ℚ(√2,exp(———))    (FLA 286/2.4)
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