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FLA 4/1.3
Siehe auch hier...
Zerfällungskörper
Ein Körper K heißt Zerfällungskörper des Polynoms x
n+a
n-1x
n-1+a
n-2x
n-2+...+xa
22+a
1x+a
0, wenn f in K in Linearfaktoren zerfällt und K minimal über dem Körper k bezüglich dieser Eigenschaft ist.
x
n+a
n-1x
n-1+a
n-2x
n-2+...+xa
22+a
1x+a
0=(x-x
1)(x-x
2)(x-x
3)...(x-x
n-1)(x-x
n) (a
i∈k und x
i∈K).
Dann ist x
k∈K, wobei a
n∈k. (Hier im Normalfall: ℚ=k⊂K⊂ℂ.)
Beispiel: k=ℚ und f(x)=x
2-2=0 ⇒ K=ℚ(√
2) (Q adjungiert Wurzel 2).
Beispiel: k=ℚ und f(x)=x
4-5x
2+6=(x
2-2)(x
2-3) hat den Zerfällungskörper
ℚ(√
2,√
3).
Beispiel: k=ℚ und f(x)=x
2+1=0. Im Zerfällungskörper ℚ(i)={a+bi|a,b∈ℚ} ist f(x)=(x-i)(x+i)
Beispiel: k=ℝ und f(x)=x
3-2=0. f(x)=x
3-2=0 hat in ℝ(zeta) die Nullstellen
3_ 3_ πi 3_ 2πi
x = √2, x =√2·exp(——) und x = √2·exp(———)
1 2 3 3 3
Im πi
/|\ exp(——) =cos(120°)+i·sin(120°)
\120° | 3
\ |
x +i
2 | 2πi
\ | exp(———)=cos(240°)+i·sin(240°)
\ | 3
\ |
\ | k·πi
——————————————|—————1——|—>Re Alle Punkte von exp(————) liegen
/ | x n
/ | 1
/ | auf dem Einheitskreis durch 1 und i.
/ |
x |
240°/ 3 | Siehe unter ℂ...
f(x)=f(x)=x
3-2=(x-x
1)(x-x
2)(x-x
2)
3— 2πi
Zerfällungskörper ℚ(√2,exp(———)) (FLA 286/2.4)
3