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Homomorhismus bei Gruppen

Eine Abbildung f:G→H von eine Gruppe (G,∘) in eine Gruppe (H,×) heißt Homomorphismus, wenn gilt:

f(a∘b)=f(a)×f(b) für alle a,b∈G

F heißt Isomorphismus, wenn ein Homomorphismus g:H→G existiert, so dass fog=idH und gof=idG.
Ein Isomorphismus von G auf G heißt Automorphiamus.
Beispiel 1:
      2
f: x→x ist ein Homomorphismus von (ℝ,·) in (ℝ,·), es ist nämlich
          2   2 2
f(xy)=(xy) = x y =f(x)f(y)

Beispiel 2: f(x)=ex ist ein Homomorphismus von (ℝ,+) in (ℝ,*).
Es gilt nämlich:f(a+b)=ea+b=ea*eb=f(a)*f(b).
f ist sogar ein Isomorphismus von (ℝ,+) in (ℝ+,*), wobei ℝ+={x∈ℝ|x positiv}.
Die Umkehrabbildung ist g:(ℝ+,*)→(ℝ,+) mit g(x)=ln(x).
Man sieht hier am Beispiel e0=1, dass bei einem Homomorphismus das neutrale Element der ersten Gruppe auf das neutrale Element der zweiten Gruppe übertragen wird.
Beispiel 3: Sei I die Menge der musikalischen Intervalle (Terz, Quinte, Oktave usw.). Die Addition ist die Hinereinanderausführung.

i→f(i)
Intervall→Frequenzverhältnis von i

ein Homomorphismus. Zum Beispiel; f(große Terz)=5/4, f(kleine Terz)=6/5 und f(Quinte)=3/2.
f(große Terz + kleine Terz)=f(Quinte), nämlich 5/4*6/5=3/2.
f(12 Quinten)=(3/2)12 ist etwas größer als f(7 Oktaven)=27 (siehe hier..).
Auch hier gilt: Bild des neutralen Elements = neutrales Element der Bildgruppe: Frequenzverhältnis(Prim)=1.

Automorphismen bei Körpern

Quelle WP

Definition: Ist (K,+,·) ein Körper, so ist eine bijektive Abbildung von K auf K ein Automorphismus, wenn gilt: Die Körperautomorphismen bilden eine Gruppe.
Ist L ein Zerfällungskörper in ℂ eines Polynoms n-ten Grades, so ist sind die Automorphismen in L mit f(x)=x für alle x∈ℚ eine Untergruppe der Gruppe aller Automorphismen von L. Diese Untergruppe ist isomorph zu Sn.
Beispiele: Der einzige Automorphismus f in ℂ außer id ist: f(a+bi)=a-bi für alle a,b∈ℂ
Der einzige Automorphismus f in ℚ(√2) außer id ist: f(a+bi)=a-b√2) = a-b√2) für alle a,b∈ℚ

Automorphismen einen Vektorraumes

Automorphismen einen Vektorraumes bilden eine Gruppe.
Ist eine Basis gegeben, so entspricht jedem Automorphismus eine Matrix.

  1 -1  1      1         1 -1  0   -1 
(     )( ) = (  )  und (     )( )=(  )
 -1  1  0     -1        -1  1  1    1 

Alle 2x2-Matrizen bilden eine nicht-abelsche Gruppe. Beispiel dazu:

 1 1  1 1   2 1        1 1  1 1   1 2 
(   )(   )=(   ) aber (   )(   )=(   )
 0 1  1 0   1 0        1 0  0 1   1 1

Matrizenmultiplikation

Quelle WP

       
 3 2 1  1  2     7 8 
(     )(0  1) = (   ) 
 1 0 2  4  0     9 2
Die erste Matrix hat gleich viele Zeilen, wie die zweite Spalten.