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Homomorhismus bei Gruppen
Eine Abbildung f:G→H von eine Gruppe (G,∘) in eine Gruppe (H,×) heißt Homomorphismus, wenn gilt:f(a∘b)=f(a)×f(b) für alle a,b∈G
F heißt Isomorphismus, wenn ein Homomorphismus g:H→G existiert, so dass fog=idH und gof=idG.Ein Isomorphismus von G auf G heißt Automorphiamus.
Beispiel 1:
Beispiel 2: f(x)=ex ist ein Homomorphismus von (ℝ,+) in (ℝ,*).
Es gilt nämlich:f(a+b)=ea+b=ea*eb=f(a)*f(b).
f ist sogar ein Isomorphismus von (ℝ,+) in (ℝ+,*), wobei ℝ+={x∈ℝ|x positiv}.
Die Umkehrabbildung ist g:(ℝ+,*)→(ℝ,+) mit g(x)=ln(x).
Man sieht hier am Beispiel e0=1, dass bei einem Homomorphismus das neutrale Element der ersten Gruppe auf das neutrale Element der zweiten Gruppe übertragen wird.
Beispiel 3: Sei I die Menge der musikalischen Intervalle (Terz, Quinte, Oktave usw.). Die Addition ist die Hinereinanderausführung.
f(große Terz + kleine Terz)=f(Quinte), nämlich 5/4*6/5=3/2.
f(12 Quinten)=(3/2)12 ist etwas größer als f(7 Oktaven)=27 (siehe hier..).
Auch hier gilt: Bild des neutralen Elements = neutrales Element der Bildgruppe: Frequenzverhältnis(Prim)=1.
2
f: x→x ist ein Homomorphismus von (ℝ,·) in (ℝ,·), es ist nämlich
2 2 2
f(xy)=(xy) = x y =f(x)f(y)
Beispiel 2: f(x)=ex ist ein Homomorphismus von (ℝ,+) in (ℝ,*).
Es gilt nämlich:f(a+b)=ea+b=ea*eb=f(a)*f(b).
f ist sogar ein Isomorphismus von (ℝ,+) in (ℝ+,*), wobei ℝ+={x∈ℝ|x positiv}.
Die Umkehrabbildung ist g:(ℝ+,*)→(ℝ,+) mit g(x)=ln(x).
Man sieht hier am Beispiel e0=1, dass bei einem Homomorphismus das neutrale Element der ersten Gruppe auf das neutrale Element der zweiten Gruppe übertragen wird.
Beispiel 3: Sei I die Menge der musikalischen Intervalle (Terz, Quinte, Oktave usw.). Die Addition ist die Hinereinanderausführung.
i→f(i)
Intervall→Frequenzverhältnis von i
f(große Terz + kleine Terz)=f(Quinte), nämlich 5/4*6/5=3/2.
f(12 Quinten)=(3/2)12 ist etwas größer als f(7 Oktaven)=27 (siehe hier..).
Auch hier gilt: Bild des neutralen Elements = neutrales Element der Bildgruppe: Frequenzverhältnis(Prim)=1.
Automorphismen bei Körpern
...bilden bezüglich der Hintereinanderausführung eine Gruppe. Definition: Ist (K,+,·) ein Körper, so ist eine bijektive Abbildung von K auf K ein Automorphismus, wenn gilt:- f(0)=0 und f(1)=1 (Es genügt: f(x)≠0 für ein x∈K)
- Für alle a,b∈K: f(a+b)=f(a)+f(b)
- Für alle a,b∈K: f(a·b)=f(a)·f(b)
Ist L ein Zerfällungskörper in ℂ eines Polynoms n-ten Grades, so ist sind die Automorphismen in L mit f(x)=x für alle x∈ℚ eine Untergruppe der Gruppe aller Automorphismen von L. Diese Untergruppe ist isomorph zu einer Untergruppe von Sn.
Beispiele: Der einzige Automorphismus f in ℂ außer id ist: f(a+bi)=a-bi für alle a,b∈ℂ
Der einzige Automorphismus f in ℚ(√2) außer id ist: f(a+bi)=a-b√2) = a-b√2) für alle a,b∈ℚ
Automorphismen einen Vektorraumes
Die Automorphismen einen Vektorraumes, auch Lineare Gruppe GL(V)=Aut(V) genannt, bilden eine Gruppe.Ist eine Basis gegeben, so entspricht jedem Automorphismus eine Matrix.
1 -1 1 1 1 -1 0 -1 ( )( ) = ( ) und ( )( )=( ) -1 1 0 -1 -1 1 1 1 Alle 2x2-Matrizen bilden eine nicht-abelsche Gruppe. Beispiel dazu: 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 ( )( )=( ) aber ( )( )=( ) 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1
Matrizenmultiplikation
3 2 1 1 2 7 8
( )(0 1) = ( )
1 0 2 4 0 9 2
Die erste Matrix hat gleich viele Zeilen, wie die zweite Spalten.