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FLA 34/3.7
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Zyklische Gruppen
Definition: Eine Gruppe G ist zyklische, wenn sie von einem einzigen Element a∈G erzeugt wird, d.h.
Die Gruppe (G,·) ist zyklich wenn es ein a∈G gibt (das erzeugende Element) so, dass G={an|n∈ℤ}.
Die Gruppe (G,+) ist zyklich wenn es ein a∈G gibt (das erzeugende Element) so, dass G={n·a|n∈ℤ}, wobei n·a=a+a+...+a (n mal).
Satz: Ist |G| (=Anzahl der Elemente von G) eine Primzahl p, so ist G zyklisch.
Bew.: Die Anzahl der Elemente jeder Untergruppe ist ein Teiler von p.
Beispiel: Die Drehgruppe regelmäßiger Vielecke.
Beispiel: Die Restklassengruppe (ℤ/ℤ
n,+)
Beispiel:
1 2 3 4 5 2 3 4
Die von σ=( ) erzeugte Untergruppe U={id, σ, σ ,σ ,σ } von S
2 3 4 5 1 5
2 1 2 3 4 5 3 1 2 3 4 5 4 1 2 3 4 5 5
σ = ( ) σ = ( ) σ = ( ) σ = id
3 4 5 1 2 4 5 1 2 3 5 1 2 3 4
2 3 4
Hier: σ=(1→2→3→4→5) σ = (1→3→5→2→4) σ = (1→4→2→5→3) σ = (1→5→4→3→2)
Zyklische Permutationen
Beispiel: Die Permutation P∈S
7
1 2 3 4 5 6 7
P=( ) = (Kurzbezeichnung) (2 1 3 5 4 7 6)
2 1 3 5 4 7 6
lässt sich darstellen als Produkt der Transpositionen (Zweierzyklus=Transposition): P=(1→2)·(4→5)·(6→7).
Die Zyklen sind elementfremd, können also vertauscht werden.
Beispiel: Die Permutation P∈S
7
1 2 3 4 5 6 7
P=( ) = (Kurzbezeichnung) (2 1 3 4 6 7 5)
2 1 3 4 6 7 5
läßt sich darstellen als Produkt (1→2)·(5→6→7). Die Zyklen können vertauscht werden.
Satz: Jede Permutation aus S
n (n≥2) lässt sich darstellen als Produkt elementfremder Zyklen. Diese sind bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt.
Achtung:
Zyklen mit gemeinsamen Elementen können nicht vertauscht werden:
1 2 3 4 1 2 3 4
( )=(1→2→3)·(3→4)≠(3→4)·(1→2→3)=( )
2 3 4 1 2 4 1 3