Zyklische Gruppen

Definition: Eine Gruppe G ist zyklische, wenn sie von einem einzigen Element a∈G erzeugt wird, d.h.
Die Gruppe (G,·) ist zyklich wenn es ein a∈G gibt (das erzeugende Element) so, dass G={aⁿ|n∈ℤ}.
Die Gruppe (G,+) ist zyklich wenn es ein a∈G gibt (das erzeugende Element) so, dass G={n·a|n∈ℤ}, wobei n·a=a+a+...+a (n mal).

Satz: Ist |G| (=Anzahl der Elemente von G) eine Primzahl p, so ist G zyklisch.
Bew.: Die Anzahl der Elemente jeder Untergruppe ist ein Teiler von p.
Beispiel: Die Drehgruppe regelmäßiger Vielecke.
Beispiel: Die Restklassengruppe (ℤ/ℤ_n,+)

Beispiel:

           1 2 3 4 5                                  2  3  4
Die von σ=(         ) erzeugte Untergruppe U={id, σ, σ ,σ ,σ } von S
           2 3 4 5 1                                                5

 2   1 2 3 4 5   3   1 2 3 4 5   4   1 2 3 4 5   5
σ = (         ) σ = (         ) σ = (         ) σ = id
     3 4 5 1 2       4 5 1 2 3       5 1 2 3 4

                     2               3               4  
Hier: σ=(1→2→3→4→5) σ = (1→3→5→2→4) σ = (1→4→2→5→3) σ = (1→5→4→3→2)

Zyklische Permutationen

Beispiel: Die Permutation P∈S₇


   1 2 3 4 5 6 7
P=(             ) = _{(Kurzbezeichnung)} (2 1 3 5 4 7 6) 
   2 1 3 5 4 7 6

lässt sich darstellen als Produkt der Transpositionen (Zweierzyklus=Transposition): P=(1→2)·(4→5)·(6→7).
Die Zyklen sind elementfremd, können also vertauscht werden.

Beispiel: Die Permutation P∈S₇


   1 2 3 4 5 6 7
P=(             ) = _{(Kurzbezeichnung)} (2 1 3 4 6 7 5) 
   2 1 3 4 6 7 5

läßt sich darstellen als Produkt (1→2)·(5→6→7). Die Zyklen können vertauscht werden.

Satz: Jede Permutation aus S_n (n≥2) lässt sich darstellen als Produkt elementfremder Zyklen. Diese sind bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt.

Achtung:

Zyklen mit gemeinsamen Elementen können nicht vertauscht werden:

 1 2 3 4                               1 2 3 4
(       )=(1→2→3)·(3→4)≠(3→4)·(1→2→3)=(       )
 2 3 4 1                               2 4 1 3