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FLA 34/3.7
Siehe auch hier...

Zyklische Gruppen

Definition: Eine Gruppe G ist zyklische, wenn sie von einem einzigen Element a∈G erzeugt wird, d.h.
Die Gruppe (G,·) ist zyklich wenn es ein a∈G gibt (das erzeugende Element) so, dass G={an|n∈ℤ}.
Die Gruppe (G,+) ist zyklich wenn es ein a∈G gibt (das erzeugende Element) so, dass G={n·a|n∈ℤ}, wobei n·a=a+a+...+a (n mal).
Satz: Ist |G| (=Anzahl der Elemente von G) eine Primzahl p, so ist G zyklisch.
Bew.: Die Anzahl der Elemente jeder Untergruppe ist ein Teiler von p.
Beispiel: Die Drehgruppe regelmäßiger Vielecke.
Beispiel: Die Restklassengruppe (ℤn,+)

Beispiel:

           1 2 3 4 5                                  2  3  4
Die von σ=(         ) erzeugte Untergruppe U={id, σ, σ ,σ ,σ } von S
           2 3 4 5 1                                                5

 2   1 2 3 4 5   3   1 2 3 4 5   4   1 2 3 4 5   5
σ = (         ) σ = (         ) σ = (         ) σ = id
     3 4 5 1 2       4 5 1 2 3       5 1 2 3 4

                     2               3               4  
Hier: σ=(1→2→3→4→5) σ = (1→3→5→2→4) σ = (1→4→2→5→3) σ = (1→5→4→3→2)

Zyklische Permutationen

Beispiel: Die Permutation P∈S7 

   1 2 3 4 5 6 7
P=(             ) = (Kurzbezeichnung) (2 1 3 5 4 7 6) 
   2 1 3 5 4 7 6
lässt sich darstellen als Produkt der Transpositionen (Zweierzyklus=Transposition): P=(1→2)·(4→5)·(6→7).
Die Zyklen sind elementfremd, können also vertauscht werden.
Beispiel: Die Permutation P∈S7 

   1 2 3 4 5 6 7
P=(             ) = (Kurzbezeichnung) (2 1 3 4 6 7 5) 
   2 1 3 4 6 7 5
läßt sich darstellen als Produkt (1→2)·(5→6→7). Die Zyklen können vertauscht werden.
Satz: Jede Permutation aus Sn (n≥2) lässt sich darstellen als Produkt elementfremder Zyklen. Diese sind bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt.
Achtung: 
Zyklen mit gemeinsamen Elementen können nicht vertauscht werden:

 1 2 3 4                               1 2 3 4
(       )=(1→2→3)·(3→4)≠(3→4)·(1→2→3)=(       )
 2 3 4 1                               2 4 1 3

Beispiel einer Untergruppe,
die von einem Element erzeugt wird

    1 2 3 4 5    2  1 2 3 4 5    3  1 2 3 4 5    4  1 2 3 4 5     5   
P= (         ), P =(         ), P =(         ), P =(         ),  P = id
    2 3 4 5 1       3 4 5 1 2       4 5 1 2 3       5 1 2 3 4 

           2   3   4
U={id, P, P , P , P } ist Untergruppe von S  mit |U|=5
                                           5

In Zyklenschreibweise: 

                2               3               4
P=(1→2→3→4→5), P =(1→3→5→2→4), P =(1→4→2→5→3), P =(1→5→4→3→2)

Der Satz von Cauchy

(Kunz 147, BAE 207)
Satz: Ist die Ordnung |G| einer Gruppe G durch die Primzahl p teilbar, dann enthält G ein Element σ der Ordnung p. d.h. |{e,σ,σ2,...,σp-1}| = p.

σ ist zum Beispiel von der Ordnung 3, wenn σ3 = e (neutrales Element) ist, und die von σ erzeugte Gruppe {e,σ,σ2} 3 Elemente enthält.

Beweis: Der Beweis wird für p=3 geführt, kann aber ohne Einschränkung für eine Primzahl p erweitert werden. (Quelle WP)
Sei M={(a,b,c)|a,b,c∈G mit abc=e}. |M|=|G|2, da M={(a,b,(ab)-1|a,b∈G}.
Dann gilt: Aus abc∈M folgt abc=e, bca=a-1abca= a-1ea=e also (b,c,a)∈M und analog (c,a,b)∈M.
Ich kann also die Elemente in M zyklisch vertauschen.
Sei M0 ={(a,a,a)|a∈M}. Da (e,e,e)∈M0 folgt |M0|>0.
Da |M0| ein Teiler von |G| ist und 3 ein Teiler von |G| ist, gilt sogar 3 ist Teiler von |M0|.
Es gibt also ein a≠e mit a3=aaa=e ∎

Satz von Sylow

Ist die Ordnung |G| einer Gruppe G durch pk für eine Primzahl p und ein k≥1 teilbar, dann enthält G ein Element σ der Ordnung pk. (Quelle Gadmann S.68)
Der Satz von Sylow ist also eine Verallgemeinerung des Satzes von Cauchy.
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