Joachim Mohr Mathematik Musik Delphi
Zurück
FLA 34/3.7
Siehe auch hier...
Zyklische Gruppen
Definition: Eine Gruppe G ist zyklische, wenn sie von einem einzigen Element a∈G erzeugt wird, d.h.
Die Gruppe (G,·) ist zyklich wenn es ein a∈G gibt (das erzeugende Element) so, dass G={an|n∈ℤ}.
Die Gruppe (G,+) ist zyklich wenn es ein a∈G gibt (das erzeugende Element) so, dass G={n·a|n∈ℤ}, wobei n·a=a+a+...+a (n mal).
Satz: Ist |G| (=Anzahl der Elemente von G) eine Primzahl p, so ist G zyklisch.
Bew.: Die Anzahl der Elemente jeder Untergruppe ist ein Teiler von p.
Beispiel: Die Drehgruppe regelmäßiger Vielecke.
Beispiel: Die Restklassengruppe (ℤ
n,+)
Beispiel:
1 2 3 4 5 2 3 4
Die von σ=( ) erzeugte Untergruppe U={id, σ, σ ,σ ,σ } von S
2 3 4 5 1 5
2 1 2 3 4 5 3 1 2 3 4 5 4 1 2 3 4 5 5
σ = ( ) σ = ( ) σ = ( ) σ = id
3 4 5 1 2 4 5 1 2 3 5 1 2 3 4
2 3 4
Hier: σ=(1→2→3→4→5) σ = (1→3→5→2→4) σ = (1→4→2→5→3) σ = (1→5→4→3→2)
Zyklische Permutationen
Beispiel: Die Permutation P∈S
7
1 2 3 4 5 6 7
P=( ) = (Kurzbezeichnung) (2 1 3 5 4 7 6)
2 1 3 5 4 7 6
lässt sich darstellen als Produkt der Transpositionen (Zweierzyklus=Transposition): P=(1→2)·(4→5)·(6→7).
Die Zyklen sind elementfremd, können also vertauscht werden.
Beispiel: Die Permutation P∈S
7
1 2 3 4 5 6 7
P=( ) = (Kurzbezeichnung) (2 1 3 4 6 7 5)
2 1 3 4 6 7 5
läßt sich darstellen als Produkt (1→2)·(5→6→7). Die Zyklen können vertauscht werden.
Satz: Jede Permutation aus S
n (n≥2) lässt sich darstellen als Produkt elementfremder Zyklen. Diese sind bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt.
Achtung:
Zyklen mit gemeinsamen Elementen können nicht vertauscht werden:
1 2 3 4 1 2 3 4
( )=(1→2→3)·(3→4)≠(3→4)·(1→2→3)=( )
2 3 4 1 2 4 1 3
Beispiel einer Untergruppe,
die von einem Element erzeugt wird
1 2 3 4 5 2 1 2 3 4 5 3 1 2 3 4 5 4 1 2 3 4 5 5
P= ( ), P =( ), P =( ), P =( ), P = id
2 3 4 5 1 3 4 5 1 2 4 5 1 2 3 5 1 2 3 4
2 3 4
U={id, P, P , P , P } ist Untergruppe von S mit |U|=5
5
In Zyklenschreibweise:
2 3 4
P=(1→2→3→4→5), P =(1→3→5→2→4), P =(1→4→2→5→3), P =(1→5→4→3→2)
Der Satz von Cauchy
(Kunz 147, BAE 207)
Satz: Ist die Ordnung |G| einer Gruppe G durch die Primzahl p teilbar, dann enthält G ein Element σ der Ordnung p.
d.h. |{e,σ,σ
2,...,σ
p-1}| = p.
σ ist zum Beispiel von der Ordnung 3, wenn σ
3 = e (neutrales Element) ist, und die von σ erzeugte Gruppe {e,σ,σ
2} 3 Elemente enthält.
Beweis: Der Beweis wird für p=3 geführt, kann aber ohne Einschränkung für eine Primzahl p erweitert werden. (Quelle
WP)
Sei M={(a,b,c)|a,b,c∈G mit abc=e}. |M|=|G|
2, da M={(a,b,(ab)
-1|a,b∈G}.
Dann gilt: Aus abc∈M folgt abc=e, bca=a
-1abca= a
-1ea=e also (b,c,a)∈M und analog (c,a,b)∈M.
Ich kann also die Elemente in M zyklisch vertauschen.
Sei M
0 ={(a,a,a)|a∈M}. Da (e,e,e)∈M
0 folgt |M
0|>0.
Da |M
0| ein Teiler von |G| ist und 3 ein Teiler von |G| ist, gilt sogar 3 ist Teiler von |M
0|.
Es gibt also ein a≠e mit a
3=aaa=e ∎
Satz von Sylow
Ist die Ordnung |G| einer Gruppe G durch p
k für eine Primzahl p und ein k≥1 teilbar, dann enthält G ein Element σ der Ordnung p
k. (Quelle
Gadmann S.68)
Der Satz von Sylow ist also eine Verallgemeinerung des Satzes von Cauchy.