Der Kern eines Homomorphismus

Sei f ein Homomorphismus von G in eine Gruppe (H,·)
Ker(f)={a∈G|f(a)=1} ist Normalteiler (s.u.)

FLA 26/2.3

Nebenklassen

Ist (H,·) Untergruppe von (G,·), dann ist a·H die linke und H·a die rechte Nebenklassen von a bez H. Statt · kann auch + gemeint sein.
Lemma: x∈aH ⇔ a^-1·x∈H und x∈Ha ⇔ x·a^-1∈H.

Beispiel: Sei H=5ℤ={...,-10,-5,0,5,10,...} und (H,+)=(5ℤ,+) die Untergruppe von (ℤ,+). Hier sind die linken und rechten Nebenklassen gleich.

Alle 5 Nebenklassen sind: 
—                                 ——   —   —   ——
0=0+H=H={...,-10,-5,0,5,10,...} = -5 = 0 = 5 = 10 ...
—                              ——   ——   —   —   —— 
1=1+H={...,-9,-4,1,6,11,...} = -9 = -4 = 1 = 6 = 11 ...
—
2=2+H={...,-8,-3,2,7,12,...}
—
3=3+H={...,-7,-2,3,8,13,...}
—
4=4+H={...,-6,-1,4,9,14,...}

Definition über die Äquivalenzrelation: 

n∼m  ⇔ n und m haben bei Division durch 5 den gleichen Rest.

Man schreibt in diesem Fall auch: n=m mod 5
         — —
Beispiel:3+4=3+H+4+H={a+b|a∈3+H,b∈4+H}={...,-13,-8,-3,2,7,..12,32,52,...}=2·H 

Diese Menge, mit der so gerechnet wird wird mit ℤ/ℤ₅ bezeichnet.

Die Abbildung f:x→x+H ist dann ein Homomorphismus.
f(0)=f(5)=f(10)=0
f(-4)=f(1)=f(6)=f(11)=...=1
usw.
f(2)+f(4)=2+4=2+4+H =1

Ist die Gruppe nicht abelsch, muss man von der Untergruppe H der Gruppe G voraussetzen (diesmal multiplikativ geschrieben) aH=Ha für alle a∈G. Anders formuliert: H ist Normalteiler der Gruppe.


Sei H eine Untergruppe von G, dann heißt H Normalteiler,
                                                    -1  
wenn für alle a∈G gilt: aH=Ha. Gleichwertig dazu aHa  = H

Def.: ord(G) = |G|=Anzahl der Elemente von G.
Index ind(G:H) = Anzahl der Nebenklassen {aH|a∈G} = Anzahl der Nebenklassen {Ha|a∈G}.
Satz von Lagrange |G|=|H|·ind(G:H).

H={0,5,10} ist bez. + Untergruppe von G=ℤ₁₅={0,1,2,..,14}. Rechnung modulo 15.
Die Nebenklassen von H sind 0+H=H, 1+H={1,6,11}, 2+H={2,7,12}, 3+H={3,8,13}, 4+H={4,9,14}.
|G|=15, |H|=3, ind(G:H)=5. Nach Lagrange also |G|=|H|·ind(G:H), nämlich 15=3·5.

FLA 32/2.6

Normalteiler

Def.: Eine Untergruppe H von G heißt Normalteiler, wenn alle linken gleich wie alle rechten Nebenklassen sind, d.h

H Normalteiler ⇔ Für alle a∈G ist a·H=H·a ⇔ Für alle a∈G ist a·H·a^-1=H.

In diesem Fall sind die linken und rechten Nebenklassen a·H=H·a gleich.
G/H sei dann die Menge aller Nebenklassen.
G/H bildet dann eine Gruppe mit der Verknüpfung (a·H)·(b·H)=a·b·H. Das neutrale Element ist dann H, da aH·a^-1H=H.
Die Abbildung f: x→x·H ist dann ein Homomorphismus von G in G/H mit ker(f)=f^-1{H}=H.

Sei f: G→G' Homomorphismus, dann ist H=Kern(f)={x∈G|f(x)=e'} Normalteiler.
Zu zeigen ist: Für alle x∈G ist xH=Hx, d.h. xf^-1(e')=f^-1(e')x, nämlich gleich f^-1(f(x)).