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Reduktion der Galoisgruppe

(BAE 108) Wir betrachten das Beispiel die bikubische Gleichung und ermitteln an Hand der Lösungen, wie die Galoisgruppe als Untergruppe von S4 dargestellt werden kann, und wie die Gruppe durch Adjunktion von Wurzeln reduziert wird.
        4    3    2
f(x) = x - 4x - 4x + 8x - 2 = 0 mit den Lösungen

                  ——————————— 
                 /     ——————
           —    /     /    —
x   = 1 + √2 ± √ 3 + √3 + √2 
 1,3

                  ——————————— 
                 /     ——————
           —    /     /    —
x   = 1 - √2 ± √ 3 + √3 - √2 
 3,4

Nebenbei bemerkt: Die Zerlegung in quadratische Faktoren ist

 4    3    2            2        —          2 
x - 4x - 4x + 8x - 2 =(x  - (2+2√2)x + √2)(x  - (2-2√2)x - √2)


Für die Lösungen gilt: x x + x x = 0
                        1 2   3 4

(Dies kann man auch mit Hilfe von Näherungsrechnungen herausbekommen.)


Zur Galoisgruppe G(f) gehören alle σ mit x    x    + x    x    =0
                                          σ(1) σ(2)   σ(3) σ(4)


                              1 2 3 4                  1 2 3 4
Dazu gehört zum Beispiel σ = (       ) aber nicht σ = (       )
                              2 1 4 3                  3 2 1 4


da x  x  + x x  = - 7,29... ≠ 0
    3  2    1 4
Prüft man alle Permutationen, so stellt man fest:
Die Galoisgruppe G(f) dieser Gleichung hat 8 Elemente.
(Theoretisch müsste man noch weiter Identitäten der Nullstellen prüfen.)
Adjunktiert man √2 zum ursprünglichen Körper ℚ, so müssen wir nun alle Elemente aus G(f) über ℚ streichen, für die die Gleichung
                  —
x - x + x - x - 4√2 = 0 nicht gilt.  
 1   3   2   4
                                   —
Zum Beispiel ist x - x + x - x - 4√2 = kompl. Wurzelausdruck = 12,377...
                  1   2   3   4

                              —
Zur Galoisgruppe G(f) über ℚ(√2) gehören jetzt nur ncoh 4 Elemente.
Bei zwei weiteren geeigneten Adjunktionen bleibt nur noch id übrig.

Wieviel Elemente hat die Galoisgruppe? (BAE 114)

        4    3    2
f(x) = x - 4x - 4x + 8x - 2 = 0 


8 Elemente über ℚ
                                 —
4 Elemente nach Adjunktion von  √2
                                        ———————
                                       /     —
2 Elemnte nach weitere Adjunktion von √ 3 + √2  


                                             ———————
                                           /     —
nur noch {id} nach weitere Adjunktion von √ 3 - √2