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S3 und Permutationen von Nullstellen

Beispiel: Die symmetrische Gruppe S3 aller Permutationen der Menge {1,2,3} .
Die Permutationen hier sind die bijektiven Abbildungen f von M auf M.
Die Bezeichnung f=(a,b,c) bedeutet: f(1)=a f(2)=b f(3)=c.

s3
S3 kann gesehen werden
als die Symmetriegruppe
des gleichseitigen Dreiecks
mit drei Drehungen d0, d1, d2
und den drei Spiegelungen s1, s2, s3


Identität = Drehung d0 um 0°. s0=(1 2 3).
Drehung um 120°. d1=(2 3 1)
Drehung um 240°. d2=d1⋅d1=(3 1 2)
Spiegelung, die Punkt 1 festläßt: s1=(1 3 2)
Spiegelung, die Punkt 2 festläßt: s2=(3 2 1)
Spiegelung, die Punkt 3 festläßt: s3=(2 1 3)
Beispiel für die Berechnung von d1⋅s1=(2 1 3)=s2.
d1⋅s1(1)=d1(s1(1))=2,
d1⋅s1(2)=d1(s1(2))=1,
d1⋅s1(3)=d1(s1(3))=3.

Gruppentafel
 ⋅ | d0 d1 d2 s1 s2 s3    invers
————————————————————————  ——————
d0 | d0 d1 d2 s1 s2 s3     d0
d1 | d1 d2 d0 s2 s1 s3     d2  
d2 | d2 d0 d1 s1 s3 s2     d1  
s1 | s1 s2 s3 d0 d1 d2     s1
s2 | s2 s3 s1 d2 d0 d1     s2
s3 | s3 s1 s2 d1 d2 d0     s3
 
Das neutrale Element ist d0: a⋅d0=a für alle d∈S3.
S3 ist nicht kommutativ. Beispiel: s2⋅d1≠d1⋅s2 (s3≠s1)

Quelle

Permutationen von Nullstellen

Wir betrachten das Polynom 3. Grades W(x1,x2,x3) =(x1-x2)(x2-x3)(x3-x1)
Welche Permutationen der Nullstellen ändern den Wert w=(x1-x2)(x2-x3)(x3-x1) von W nicht?
Siehe oben: Gruppentafel S3
(1) Die Idendität Drehung d0=(1 2 3) ja!
(2) Drehung d1=(2 3 1) ja! (x2-x3)(x3-x1)(x1-x2)=w
(3) Drehung d2=(3 1 2) ja! (x3-x1)(x1-x2)(x2-x3)=w Fehlen noch:
(4) Spiegelung s1=(1 3 2) nein! (x1-x3)(x3-x2)(x2-x1)=-w
(5) Spiegelung s2=(3 2 1) nein! (x3-x2)(x2-x1)(x1-x3)=-w
(6) Spiegelung s3=(2 1 3) nein! (x2-x1)(x1-x3)(x3-x2)=-w
Die Drehungen heißen in diesem Zusmmenhang gerade Permutationen, die Soiegelungen ungerade.
Jede Permutation ist das Produkt von Transpositionen. (Eine Transposition vetrauscht zwei Werte und läßt die übrigen fest. Bei geraden Permutationen ist das Produkt eine gerade Anzahl von Permutationen. Das Signum einer readen Permutation ist 1 sonst -1.