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Grundsätzliches

Quelle

Galoistheorie ist das Zusammenspiel zwischen Polynomen, Körpern und Gruppen. Bei der Beschreibung eines effizienten Verfahrens zur Berechnung der Galoisgruppe eines normierten, irreduziblen Polynoms werden wir oftmals Gebrauch von diesem Zusammenhang machen. So stellt die Berechnung von Teilkörpern eine wesentliche Grundlage für die in den späteren Kapiteln entwickelten Algorithmen dar. Teilkörper hängen bekanntermaßen mit den Galoisgruppen über den Hauptsatz der Galoistheorie zusammen.

Wichtige Gruppen für die Galoistheorie

Normalteiler

Ein Normalteiler einer Gruppe G ist eine Untergruppe N, für die für alle a∈G gilt aNa-1=N.
Satz: N ist Normalteiler von G, wenn für alle n∈N und alle g∈G gilt: g⋅n⋅g-1∈N.

Die Faktorgruppe

Ist N Normalteiler eine Gruppe, dann ist G/N={aN|a∈G} mit der Verknüpfung aN*bN={abN|a,b∈G} eine Gruppe: die Faktorgruppe. Beispiel: ℤ/3ℤ = {0,1,2} mit der Addition "moduló" 3. ℤ/3ℤ wird auch als Körper betrachtet.

Die alternierende Gruppe An von Sn

BAE 200 Definition: Eine Permutation von Sn ist gerade (das Signum ist +1), wenn eine der folgenden gleichwertigen Bedingungen erfüllt ist. (Siehe WP)

FLA 23/2.2 und 133

An ist die Untergruppe aller geraden Permutationen von Sn.
Sn enthät n! Elemente, An genau halb so viel.
P→sign(P) ist ein Endomorphismus von Sn auf die Gruppe ({+1,-1},·). An=Ker(sign)=sign-1(1).
Jedes Element von An wird von einer geraden Anzahl von Transpositionen erzeugt.
An=Ker(sign) ist für n≠4 einfach, d.h enthält außer sich selbst und {e} keine Normalteiler.

Die Kommutatorgruppe

Die Kommutatorgruppe K1(G) einer Gruppe ist die von allen Elmenten x-1y-1xy erzeugte Gruppe.
K2(G)=K1(K1(G)) ...
Ist G abelsch, dann ist K1={e}.
Eine Gruppe ist auflösbar, wenn Kn(G)={e} ist für ein n∈N.
Satz: Jede Gruppe der Ordnung pn (p Primzahl, z∈ℕ) ist auflösbar. (FLA 140/7.4)
Theorem von Feit und Thomson, 1963, der Beweis ist 255 Seiten lang (FLA 140): Jede endliche Gruppe ungerader Ordnung ist auflösbar.
Die Symmetriegruppen S1, S2, S3 und S4 sind auflösbar, S5 nicht mehr. Auch die Gruppe A5 aller 60 geraden Permutationen von S5 ist nicht auflösbar. Sie ist die kleinste nichtauflösbare Gruppe. (Eine Permutation ist gerade, wenn sie das gerade Produkt von Zweierzyklen ist.).
Das Polynom p(x)=x5+20x+5 hat eine zu A5 isomorphe Galoisgruppe. Aus der Nichtauflösbarkeit von A5 folgt, dass die Nullstellen von p nicht durch Radikale (Wurzeln und arithmetische Operationen) dargestellt werden kann.

Die Galois-Gruppe von f

Ist K der Zerfällungskörper des Polynoms f, so ist Gal(f;ℚ) = Aut(K;ℚ)
= {σ|σ Automorphismus von K und σ(x)=x für alle x∈ℚ} die Galoisgruppe von f über ℚ.

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Beispiel für eine Galoisgruppe

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Die Gleichung (x2-5)x2-24 hat die Lösungen x1=+√2 + √3   x2=+√2 - √3   x3=-√2 + √3   x4=-√2 - √3  
Die Galoisgruppe von Gal(f,ℚ)⊂S4 ist die
Untergruppe {id, (1 3 4 2), (1 2 4 3), (3 1 4 3)} mit |Gal(f,ℚ)|=4.
Denn nur diese Permutationen erhalten algebraische Gleichungen mit x1, x2, x3, x4.
Wendet man zum Beispiel σ=(3 1 4 2)∈Gal(f,ℚ) auf die Gleichung x1+x4=0 an, so erhält man x3+x2=0.
Das gilt auch für (x1+x2)2-8=0 usw.
"Die Galoisgruppe eines Polynoms ist in der Regel nicht leicht zu bestimmen".

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Moderner Ansatz der Galoistheorie

Ist L der Zerfällungskörper des Polynoms f, dann ist die Galoisgruppe Gal(L/ℚ)={σ|σ Automorphismus von L mit σ(x)=x für alle x∈ℚ}. Jedes σ dieser Gruppe angewand auf eine Nullstelle x des Polynoms ergibt f(x)=0 ⇒ f(σ(x))=0, d.h. σ(x) ist ebenfalls Nullstelle des Polynoms. σ vertauscht also die Nullstellen, kann also als Permutation der Nullstellen betrachtet werden.

Zitat aus Wikipedia

Die Kenntnisse über auflösbare Gruppen in der Gruppentheorie erlaubt uns, herauszufinden, ob ein Polynom durch Radikale auflösbar ist, und zwar abhängig davon, ob dessen Galoisgruppe auflösbar ist oder nicht. Jede Körpererweiterung L/ℚ gehört zu einer Faktorgruppe der Hauptreihe der Galoisgruppe. Falls eine Faktorgruppe der Hauptreihe zyklisch von der Ordnung n ist, ist die zugehörige Körpererweiterung eine radikale Erweiterung, und die Elemente von L können als die n-ten Wurzeln eines Elements aus ℚ aufgefasst werden.

Wenn alle Faktorgruppen der Hauptreihe zyklisch sind, wird die Galoisgruppe als auflösbar bezeichnet, und alle Elemente des zugehörigen Körpers können durch sukzessives Wurzelziehen, Produktbilden und Summieren aus den Elementen des Grundkörpers ℚ erhalten werden.

Einer der größten Triumphe der Galoistheorie war der Beweis, dass es Polynome vom Grad 5 oder größer gibt, die nicht durch Radikale auflösbar sind.

Beispiel: f=X3-2 ∈ℚ[X]

(Kunz Algebra S.115) f ist irreduzibel und besitzt die Wurzeln
   3—             2          1   1   —              2
a=\/3 und wa und w a für w= -— + —i\/3 = cis(240°) w = cis(120°)
                             2   2
                          3—
Die Körpererweiterng L=ℚ(\/3) über Q ist nicht normal. 
(Ein Körpererweiterung L heißt normal, wenn L algebraisch ist und alle irreduziblen Polynome mit einer Nullstelle in Nullstellen zerfällt.)
Folglich ist L auch keine Galoiserweiterung über Q. (Galoiserweiterungen über Q sind nach Definition endlich und normal. Nebenbei bemerkt: Bei Charakteristk 0 braucht man nicht die Separabilität.) Der Zerfällungskörper über ℚ von f ist
       3 —   — 
N = ℚ(\/2,i\/3) und N ist Galoiserweiterung. Grad(N)=6, da

      3 —            3 —
|N:ℚ(\/2)|=2 und |ℚ(\/2:ℚ)=3 

Damit ist gezeigt, dass die Galoisgruppe G(f) als Untergruppe von S3 gleich viele Elemente besitzt.
Also G(f)=S3.