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Multiplikationstabelle für ℤ/ℤ10=ℤ modulo 10

(ℤ/ℤ10,+) ist Gruppe aber (ℤ/ℤ10,*) keine Gruppe, d.h. (ℤ/ℤ10,+,*) ist eine Ring aber kein Körper
* 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 2 4 6 8 0 2 4 6 8
3 3 6 9 2 5 8 1 4 7
4 4 8 2 6 0 4 8 2 6
5 5 0 5 0 5 0 5 0 5
6 6 2 8 4 0 6 2 8 4
7 7 4 1 8 5 2 9 6 3
8 8 6 4 2 0 8 6 4 2
9 9 8 7 6 5 4 3 2 1


x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Inverses 1 - 7 - - - 3 - 9

Multiplikationstabelle für Z modulo 11 (Gruppe)

(ℤ/ℤ11,+,*) ist ein Körper, d.h. (ℤ/ℤ11,+) ist abelsche (kommutative) Gruppe und (ℤ/ℤ11\{0},*) ist abelsche Gruppe.
* 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 1 3 5 7 9
3 3 6 9 1 4 7 10 2 5 8
4 4 8 1 5 9 2 6 10 3 7
5 5 10 4 9 3 8 2 7 1 6
6 6 1 7 2 8 3 9 4 10 5
7 7 3 10 6 2 9 5 1 8 4
8 8 5 2 10 7 4 1 9 6 3
9 9 7 5 3 1 10 8 6 4 2
10 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1


x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Inverses 1 6 4 3 9 2 8 7 5 10

Permutationen

Beispiele aus S5.

   1 2 3 4 5
σ=(         ) Als Zyklus geschrieben Zyklus σ=(1→3→4) (damit auch 4→1)
   3 2 4 1 5

   1 2 3 4 5
τ=(          ) = (1→5→4)(2→3)  
   5 3 2 1 4

                        1 2 3 4 5
Produkt σ nach τ: στ = (         ) = (1→5)(2→4→3) 
                        5 4 2 3 1

      1 2 3 4 5 
τσ = (         ) = (1→2→3)(4→5)
      2 3 1 5 4

Ein Zyklen, der nur zwei Elemente vertauscht, heißen Transposition.

Jede Permutation σ lässt sich als Produkt von n-Transpositionen schreiben.

Ist n gerade, ist das Signum sign(σ)+1, sondt sign(σ)-1.

                              1 2 3 4 5                 1 2 3 4 5
Beispiel: (1→2→5)=(1→2)(2→5)=(         )  (2→5)(1→2) = (         ) =(1→5→2)
                              2 5 3 4 1                 5 1 3 4 2  

S3

Beispiel: Die symmetrische Gruppe S3 aller Permutationen der Menge {1,2,3} .
Die Permutationen hier sind die bijektiven Abbildungen f von M auf M.
Die Bezeichnung f=(a,b,c) bedeutet: f(1)=a f(2)=b f(3)=c.

s3
S3 kann gesehen werden
als die Symmetriegruppe
des gleichseitigen Dreiecks
mit drei Drehungen d0, d1, d2
und den drei Spiegelungen s1, s2, s3


Identität = Drehung d0 um 0°. s0=(1 2 3).
Drehung um 120°. d1=(2 3 1)
Drehung um 240°. d2=d1⋅d1=(3 1 2)
Spiegelung, die Punkt 1 festläßt: s1=(1 3 2)
Spiegelung, die Punkt 2 festläßt: s2=(3 2 1)
Spiegelung, die Punkt 3 festläßt: s3=(2 1 3)
Beispiel für die Berechnung von d1⋅s1=(2 1 3)=s2.
d1⋅s1(1)=d1(s1(1))=2,
d1⋅s1(2)=d1(s1(2))=1,
d1⋅s1(3)=d1(s1(3))=3.

Gruppentafel
 ⋅ | d0 d1 d2 s1 s2 s3    invers
————————————————————————  ——————
d0 | d0 d1 d2 s1 s2 s3     d0
d1 | d1 d2 d0 s2 s1 s3     d2  
d2 | d2 d0 d1 s1 s3 s2     d1  
s1 | s1 s2 s3 d0 d1 d2     s1
s2 | s2 s3 s1 d2 d0 d1     s2
s3 | s3 s1 s2 d1 d2 d0     s3
 
Das neutrale Element ist d0: a⋅d0=a für alle d∈S3.
S3 ist nicht kommutativ. Beispiel: s2⋅d1≠d1⋅s2 (s3≠s1)

Kommutatoren

Beispiel:

   1 2 3 4 5    -1   1 2 3 4 5       1 2 3 4 5    -1   1 2 3 4 5
a=(         )  a  = (         )   b=(         )  b  = (         )
   3 4 5 2 1         5 4 1 2 3       5 4 2 1 3         4 3 5 2 1


                -1 -1   1 2 3 4 5 
Kommutator a·b·a· b  = (         )  =(1→2)(4→3) sign = +1 (immer!)
                        2 1 4 3 5   



   1 2 3 4 5    -1   1 2 3 4 5       1 2 3 4 5    -1   1 2 3 4 5
σ=(         )  σ  = (         )   τ=(         )  τ  = (         )
   3 1 5 2 4         2 4 1 5 3       1 5 4 2 3         1 4 5 3 2 


                -1 -1   1 2 3 4 5
Kommutator σ·τ·σ ·τ  = (         )=(1→4→3→2→5)=(1→4)(4→3)(3→2)(2→5)  
                        4 5 2 3 1                        

A4

A4 ist die Kommutatorgruppe von S4. Oder:
A4 enhält alle Eelemente von S4 mit Signum=+1 (gerade Permutationen).

       -1 -1
A ={aba  b  |a,b∈S }. S hat 24 Elemente, A  hat 12 Elemente. 
 4                4    4                  4 

Permutationen werden hier als Zyklen beschrieben.

                        1234   1234     1 2 3 4
Beispiel: (2→3)(1→3→4)=(    )*(    ) = (       ) = (1→2→3→4)
                        1324   3241     2 3 4 1

Quelle

A4 wird erzeugt von: a=(12)(34) und b=(123).

 2       -1
a =id ⇒ a  = a

    2         3        -1
bb=b = (132) b =id ⇒ b   =bb 

ab=a*b=(2→4→3) ba=b*a=(1→3→4)

abb=a*bb=(1→4→3)=baba bba=(2→3→4) 

aba=(1→4→2) baa=b bab=(1→2→4)=abab

abab=bba babb=(1→4)(2→3) abba=(1→2→4) ababb=(1→4)(2→3)
A4 besteht aus dem Produkt von drei Zweierzyklen a, babb und ababb
sowie den Dreierzyklen b, bb, ab, ba, abb, bba, aba, bab und abba
Die Kommutatorgruppe von A4 ist die Kleinsche Vierergruppe.
Die Kleinsche Vierergruppe ist die Kommutatorgruppe von A4

Die Kleinsche Viergruppe, 1884

Quelle

Gruppentafel

Hier a=(1→2)(3→4) b=(1→3)(2→4) ab=(1→4)(2→3)
⋅ | e  a  b  ab     Beachte:
————————————————   ab=ba  
e | e  a  b  ab
a | a  e  ab b     a(ab)=b=(ab)a
b | b  ab e  a     b(ab)=a=(ab)b
ab| ab b  a  e     (ab)(ab)=e
Die Gruppe ist abelsch (kommutativ). Ihre Untergruppen sind {e}, {e, a}, {e, b}, {e, c}, {e, a, b, ab}.
Zur Auflösbarkeit von S4: K(S4)=A4. K(A4)=V (Kleinsche Vierergruppe) K(V)={e}.
Folgerung S4 ist auflösbar. K(S4)=A4 und K(A4)={id}.

Auflösbare Gruppen


Zu jeder Gruppe G kann man die Kommutatorgruppe bilden.

          -1 -1
G' = <{aba  b  |a,b∈G}> ist Normalteiler von G. "< >"heißt: wird erzeugt von ...

              3     
G''=(K(G')), G =K(G''), ...
              
                        n
Bricht diese Kette mit G = {id} ab, heißt die Gruppe auflösbar. 
Satz:S4 ist auflösbar
Satz:S5 ist nicht auflösbar.

Erzeugendes System für S5

Satz: Ein 5-er-Zyklus und eine Transposition erzeugen S5 (Gilt auch fürPrimzahl p statt 5). (Artin S. 45).

                         1 2 3 4 5            1 2 3 4 5
Beispiel: a=(1→2→3→4→5)=(         )  b=(1→2)=(         )
                         2 3 4 5 1            2 1 3 4 5


    1 2 3 4 5   2  1 2 3 4 5    2  1 2 3 4 5   2   1 2 3 4 5
ab=(         ) a =(         ) ba =(         ) a b=(         ) usw.
    3 2 4 5 1      3 4 5 1 2       4 5 1 2 3       4 3 5 1 2     
Artin S.45: Wenn man zeigen kann, dass die Galoisgruppe (als Gruppe G in S5) eines Polynoms 5. Grades einen 5-er-Zyklus und eine Transposition besitzt, dann ist G=S5 und die Lösungen des Polynom nicht als Wurzelausdruck darstellbar.

A5

A5 - die Kommutatorgruppe von S5 - ist die Symmetriegruppe des Ikosaeders.

ikosaeder Das Isokaeder ist ein platonischer Körper, der aus 20 gleichseitigen Dreiecken gebildet wird, wobei jeweis 5 Dreiecke um einen Eckpunkt angeordnet sind. Es besitzt 20 Flächen (Dreiecke), 30 Kanten und 12 Eckpunkte.

Die Drehgruppe des Ikoseders (”Ikosaedergruppe”) besteht aus allen Drehungen im Raum, die ein fest gewähltes Ikosaeder (mit Mittelpunkt in O) in sich überfuhren.

Diede Gruppe hat 60 Elemente. Die 12 Ecken können vertauscht werden und zusätzlich noch um die Ecken gedreht werden, die die 5 Dreicke ineinander überführen. Diese Gruppe ist isomorph zu A4.
Nebenbei bemerkt: Die 5 Platonischen Körper sind: