Permutationen

Eine Permutation ist eine bjektive Abbildung von M={1,2,3,...,n} auf M. (M kann auch eine beliebige Menge sein).
Eine Gruppe G von Permutationen ist zum Beispiel die Symmetriegruppe eines Würfels mit den Ecken M={1,2,3,4,5,6,7,8}.
Eine Gruppe G operiert treu auf M, wenn für ein g∈M mit g(x)=x für alle x∈M folgt: g=id, d.h. jedem Element von g ist eindeutig eine Permutation zugeordnet.
Beispiele aus S₅.


   1 2 3 4 5
σ=(         ) Als Zyklus geschrieben Zyklus σ=(1→3→4) (damit auch 4→1)
   3 2 4 1 5
   ————————————————————————————————————————————————————————
   |In der Literatur findet man auch folgende Schreibweise:|
   |                                                       |
   |σ=(3 2 4 1 5) Als Zyklus geschrieben Zyklus σ=(1,3,4)  | 
   —————————————————————————————————————————————————————————

   1 2 3 4 5
τ=(          ) = (1→5→4)(2→3)  
   5 3 2 1 4

                        1 2 3 4 5
Produkt σ nach τ: στ = (         ) = (1→5)(2→4→3) 
                        5 4 2 3 1

      1 2 3 4 5 
τσ = (         ) = (1→2→3)(4→5)
      2 3 1 5 4

Ein Zyklus (a→b), der nur zwei Elemente vertauscht, heißt Transposition.
Jede Permutation σ lässt sich als Produkt von n-Transpositionen schreiben.
Ist n gerade, ist das Signum sign(σ)=+1, sonst sign(σ)=-1.


                              1 2 3 4 5                 1 2 3 4 5
Beispiel: (1→2→5)=(1→2)(2→5)=(         )  (2→5)(1→2) = (         ) =(1→5→2)
                              2 5 3 4 1                 5 1 3 4 2

S₃

Beispiel: Die symmetrische Gruppe S₃ aller Permutationen der Menge {1,2,3} .
Die Permutationen hier sind die bijektiven Abbildungen f von M auf M.
Die Bezeichnung f=(a,b,c) bedeutet: f(1)=a f(2)=b f(3)=c.

S₃ kann gesehen werden
als die Symmetriegruppe
des gleichseitigen Dreiecks
mit drei Drehungen d0, d1, d2
und den drei Spiegelungen s1, s2, s3

Identität = Drehung d0 um 0°. s0=(1 2 3).
Drehung um 120°. d1=(2 3 1)=(1→2→3)
Drehung um 240°. d2=d1⋅d1=(3 1 2)=(1→3→2)
Spiegelung, die Punkt 1 festläßt: s1=(1 3 2)=(2→3)
Spiegelung, die Punkt 2 festläßt: s2=(3 2 1)=(1→3)
Spiegelung, die Punkt 3 festläßt: s3=(2 1 3)=(1→2)
Beispiel für die Berechnung von d1⋅s1=(2 1 3)=s2.

Gruppentafel

 ⋅ | d0 d1 d2 s1 s2 s3    invers 
————————————————————————  ——————
d0 | d0 d1 d2 s1 s2 s3     d0
d1 | d1 d2 d0 s2 s1 s3     d2  
d2 | d2 d0 d1 s1 s3 s2     d1  
s1 | s1 s2 s3 d0 d1 d2     s1
s2 | s2 s3 s1 d2 d0 d1     s2
s3 | s3 s1 s2 d1 d2 d0     s3

Das neutrale Element ist d0: a⋅d0=a für alle d∈S₃.
S₃ ist nicht kommutativ. Beispiel: s2⋅d1≠d1⋅s2 (s3≠s1)
Gruppentafel in Zyklenschreibweise

   ⋅   |id       (1→2→3) (1→3→2) (2→3)  (1→3)   (1→2)    invers 
—————————————————————————————————————————————————————    ———————
id     |id      (1→2→3) (1→3→2) (2→3)   (1→3)   (1→2)    id
(1→2→3)|(1→2→3) (1→3→2) id      (1→3)   (2→3)   (1→2)    (1→3→2)  
(1→3→2)|(1→3→2) id      (1→2→3) (2→3)   (1→2)   (1→3)    (1→2→3)  
(2→3)  |(2→3)   (1→3)   (1→2)   id      (1→2→3) (1→3→2)  (2→3)
(1→3)  |(1→3)   (1→2)   (2→3)   (1→3→2) id      (1→2→3)  (1→3)
(1→2)  |(1→2)   (2→3)   (1→3)   (1→2→3) (1→3→2) id       (1→2)

Kommutatoren

Beispiel:


   1 2 3 4 5    -1   1 2 3 4 5       1 2 3 4 5    -1   1 2 3 4 5
a=(         )  a  = (         )   b=(         )  b  = (         )
   3 4 5 2 1         5 4 1 2 3       5 4 2 1 3         4 3 5 2 1


                -1 -1   1 2 3 4 5 
Kommutator a·b·a· b  = (         )  =(1→2)(3→4) sign = +1 (immer!)
                        2 1 4 3 5   



   1 2 3 4 5    -1   1 2 3 4 5       1 2 3 4 5    -1   1 2 3 4 5
σ=(         )  σ  = (         )   τ=(         )  τ  = (         )
   3 1 5 2 4         2 4 1 5 3       1 5 4 2 3         1 4 5 3 2 


                -1 -1   1 2 3 4 5
Kommutator σ·τ·σ ·τ  = (         )=(1→4→3→2→5)=(1→4)(4→3)(3→2)(2→5)  
                        4 5 2 3 1

A₄

A₄ ist die Kommutatorgruppe von S₄. Oder:
A₄ enhält alle Elemente von S₄ mit Signum=+1 (gerade Permutationen).


        -1 -1
A =<{aba  b  |a,b∈S }>. S hat 24 Elemente, A  hat 12 Elemente. 
 4                4      4                  4 

(Die Klammer <...> bedeutet: "wird erzeugt.") 

Permutationen werden hier als Zyklen beschrieben.

                        1234   1234     1 2 3 4
Beispiel: (2→3)(1→3→4)=(    )*(    ) = (       ) = (1→2→3→4)
                        1324   3241     2 3 4 1

Quelle

A₄ wird erzeugt von: a=(1→2)(3→4) und b=(1→2→3).


 2       -1
a =id ⇒ a  = a

    2           3        -1
bb=b = (1→3→2) b =id ⇒ b   =bb 

ab=a*b=(2→4→3) ba=b*a=(1→3→4)

abb=a*bb=(1→4→3)=baba bba=(2→3→4) 

aba=(1→4→2) baa=b bab=(1→2→4)=abab

abab=bba babb=(1→4)(2→3) abba=(1→2→4) ababb=(1→4)(2→3)

A₄ besteht aus dem Produkt von drei Zweierzyklen a, babb und ababb
sowie den Dreierzyklen b, bb, ab, ba, abb, bba, aba, bab und abba
Die Kommutatorgruppe von A₄ ist die Kleinsche Vierergruppe.

Die Kleinsche Vierergruppe ist die Kommutatorgruppe von A₄

Die Kleinsche Viergruppe, 1884

Quelle

Gruppentafel

Hier a=(1→2)(3→4) b=(1→3)(2→4) ab=(1→4)(2→3)

⋅ | e  a  b  ab     Beachte:
————————————————   ab=ba  
e | e  a  b  ab
a | a  e  ab b     a(ab)=b=(ab)a
b | b  ab e  a     b(ab)=a=(ab)b
ab| ab b  a  e     (ab)(ab)=e

Die Gruppe ist abelsch (kommutativ). Ihre Untergruppen sind {e}, {e, a}, {e, b}, {e, ab}, {e, a, b, ab}.
Zur Auflösbarkeit von S₄: K(S₄)=A₄. K(A₄)=V (Kleinsche Vierergruppe) K(V)={e}.
Folgerung S₄ ist auflösbar. K(S₄)=A₄ und K(A₄)={id}.

Auflösbare Gruppen


Zu jeder Gruppe G kann man die Kommutatorgruppe bilden.

          -1 -1
G' = <{aba  b  |a,b∈G}> ist Normalteiler von G. "< >"heißt: wird erzeugt von ...

              3     
G''=(K(G')), G =K(G''), ...
              
                        n
Bricht diese Kette mit G = {id} ab, heißt die Gruppe auflösbar.

Satz:S₄ ist auflösbar
Satz:S₅ ist nicht auflösbar.
(FLA 140) Theorem von Feit und Thomson (1963): Jede endliche Gruppe von ungerader Ordnung ist auflösbar. (Der Originalbeweis ist 255 Seiten lang).

Erzeugendes System für S₅

Satz: Ein 5-er-Zyklus und eine Transposition erzeugen S₅ (Gilt auch fürPrimzahl p statt 5). (Artin S. 45).


                         1 2 3 4 5            1 2 3 4 5
Beispiel: a=(1→2→3→4→5)=(         )  b=(1→2)=(         )
                         2 3 4 5 1            2 1 3 4 5


    1 2 3 4 5   2  1 2 3 4 5    2  1 2 3 4 5   2   1 2 3 4 5
ab=(         ) a =(         ) ba =(         ) a b=(         ) usw.
    3 2 4 5 1      3 4 5 1 2       4 5 1 2 3       4 3 5 1 2

Artin S.45: Wenn man zeigen kann, dass die Galoisgruppe (als Gruppe G in S₅) eines Polynoms 5. Grades einen 5-er-Zyklus und eine Transposition besitzt, dann ist G=S₅ und die Lösungen des Polynoms nicht durch Radikale darstellbar.

A₅

A₅ - die Kommutatorgruppe von S₅ - ist die Symmetriegruppe des Ikosaeders.

Das Isokaeder ist ein platonischer Körper, der aus 20 gleichseitigen Dreiecken gebildet wird, wobei jeweis 5 Dreiecke um einen Eckpunkt angeordnet sind. Es besitzt 20 Flächen (Dreiecke), 30 Kanten und 12 Eckpunkte.

Die Drehgruppe des Ikoseders (”Ikosaedergruppe”) besteht aus allen Drehungen im Raum, die ein fest gewähltes Ikosaeder (mit Mittelpunkt in O) in sich überfuhren.

Diese Gruppe hat 60 Elemente. Die 12 Ecken können vertauscht werden und zusätzlich noch um die Ecken gedreht werden, die die 5 Dreicke ineinander überführen. Diese Gruppe ist isomorph zu A₄.

Nebenbei bemerkt: Die 5 Platonischen Körper sind:

Tetraeder (Vierflächner, Oberfläche aus vier Dreiecken)
Würfel (Hexaeder, Sechsflächner, Oberfläche aus sechs Quadraten)
Oktaeder (Achtflächner, Oberfläche aus acht Dreiecken)
Dodekaeder (Zwölfflächner, Oberfläche aus zwölf Fünfecken)
Ikosaeder (Zwanzigflächner, Oberfläche aus zwanzig Dreiecken)