Gruppen

(G,⋅) heißt Gruppe, wenn für die Verknüfung ⋅ gilt:

⋅ ist assoziativ: a⋅(b⋅c)=a⋅(b⋅c)
Es gibt ein neutrales Element e: Für alle x∈G gilt: x⋅e=e⋅x=x
Zu jedem Element x∈G gibt es ein Inverses y∈G mit x⋅y=y⋅x=e

Satz: Das Inverse y∈G zu x∈G ist eindeutig bestimmt:
Beweis: Seine y und z invers zu x. Dann gilt:
z⋅(x⋅y)=z⋅e=z und (z⋅x)⋅y=e⋅y=y, als z=y. ✅
Das Inverse von x wird hier mit x^-1 bezeichnet: x^-1⋅x=x⋅x^-1=e.
Lemma: x^-1^-1=x
Beweis: x=e⋅x=(x^-1^-1⋅x^-1)⋅x=x^-1^-1⋅(x^-1x)=x^-1^-1⋅e=x^-1^-1 ✅
Lemma: (a⋅b)^-1=b^-1⋅a^-1.
Beweis: (a⋅b)⋅b^-1⋅a^-1=e ✅
Lemma: Aus a⋅b=a⋅c folgt: b=c. Beweis: multipliziere links a^-1 dazu. ✅

Beispiele für Gruppen

Bekannt

(ℚ,+) die rationalen Zahlen bezüglich +.
(ℚ\{0}, ⋅) die rationalen Zahlen ohne Null bez. ⋅.

Endliche Gruppen

Beispiel 1: Sei M={1,-1} und die Verknüpfung ⋅.

(M,⋅) ist eine Untergruppe von (ℚ\{0}, ⋅) und enthält 2 Elemente.

 ⋅ | 1 -1
————————
 1| 1 -1
-1|-1  1

Beispiel 2: (ℤ₄,+ mod 4)

+ | 0 1 2 3
———————————
0 | 0 1 2 3
1 | 1 2 3 0
2 | 2 3 0 1
3 | 3 0 1 2

Untergruppen

Sei G Gruppe und H⊂G. H heißt Untergruppe, wenn H selbst Gruppe ist, wenn also gilt:
I a,b∈H ⇒ ab∈H und
II a∈H ⇒ a-1 ∈H.

Sei G endlich und |G| die Anzahle der Elemente von G. Dann gilt:
|H| ist ein Teiler von G.
Beweis: Wir betrachten die Linken Nebenklassen aH (a∈G) von H.
Für a,b∈G gilt aH=bH oder aH∩bH=∅ (leere Menge).
|aH|=|H| für a∈G
Es gibt also a₁,a₂,...a_m∈G so, dass alle Mengen a_i und a_j für i≠j disjunkt sind.
G=a₁H+a₂H+...+a_mH ⇒|G|=m|H| ✅

Folgerung |G|=|H|·|G/H| für G/H={aH|a∈G} mit aH·bH=ab·H.