Theorem (Formel von Joachim Mohr)
Gesucht: Koeffizienten \(p,q,s,t\), sodass
\[
x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d =
(x^2 + px + q)(x^2 + sx + t)
\]
Schritt 1
Bestimme eine Lösung \(u\) der kubischen Gleichung
\[
u^3 - 2b u^2 + (ac + b^2 - 4d)u + c^2 - abc + a^2 d = 0
\]
Falls \(a,b,c,d\) reell sind, existiert eine reelle Lösung \(u\) mit
\[
4u \le a^2
\]
Schritt 2
Die Koeffizienten berechnen sich anschließend durch
\[
p=\frac{a+\sqrt{a^2-4u}}{2}
\]
\[
q=\frac{(b-u)(\sqrt{a^2-4u}+a)-2c}{2\sqrt{a^2-4u}}
\]
\[
s=\frac{a-\sqrt{a^2-4u}}{2}
\]
\[
t=\frac{(b-u)(\sqrt{a^2-4u}-a)+2c}{2\sqrt{a^2-4u}}
\]
Spezialfall
Ist \(p=\frac{a}{2}\), dann gilt in der Ausgangsgleichung
\[
a^3 - 4ab + 8c = 0
\]
und das Polynom lässt sich darstellen als
\[
x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d
=
\left(x^2 + \frac{a}{2}x + q_{1}\right)
\left(x^2 + \frac{a}{2}x + q_{2}\right)
\]
mit
\[
q_{1,2} = \frac{c \pm \sqrt{c^2-a^2}}{a}.
\]