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Differentialgleichungen

Beispiel:Ein Kugel fällt in einer zähen Flüssigkeit nach unten. Dann gilt:

m•x''(t)=mg-k•x'(t)

Nämlich: Kraft=m•Beschleunigung. m•g=Schwerkraft und k•v=Reibungskraft, von der angenommen wird, dass sie proportional zur Geschwindigkeit ist. (Auftriebskraft usw. wird vernachlässigt.)
m: Masse, g=9,807m/s2=9,81N/kg.
Es handelt sich hier um eine inhomogene lineare DGL der Form y''+ay'=b (siehe unten).
Die Lösung der homogenen linearen DGL y''+ay'= 0 ist y=ce-at+d.
Eine Lösung der inhomogenen DGL y''+ay'+b ist y=b/at. Somit sind alle Lösungen der inhomogenen DGL y''+ay'=b von der Form: y=ce-at+b/at+d. (c und d wird durch die Anfangswerte bestimmt.)

Quelle

Differentialgleichungen 1. Ordnung, Typ 1

f'(x)=g(x)h(f(x)) oft geschrieben als y'=g(x)h(y)
Lösung: Trennung der Variablen: 

dy                dy     dx         dy           dx 
—— = g(x)h(y) ⇒ ———— =  ————  ⇒ ∫ ————    =  ∫ ————
dx               h(y)    g(x)      h(y)         g(x)

Beispiel: xy'+y=0 
dy     dx                           C   
—— = - ——  ⇒ lny = -lnx + C ⇒ y = ——
 y     x                            x

Differentialgleichungen 1. Ordnung, Typ 2

y'=f(y/x) Substitution: y=xz ⇒ y'=z+xz' ergibt xz'+z=f(z) Typ 1
Beispiel: (x+y)y'+(x-y)=0 
            y
            — - 1                                                        
     y-x    x             z - 1           
y' = ——— = —————  ⇒  y'= —————  
     y+x   y              z + 1          
           — + 1
           x

                                                         2         2 
        z - 1            z - 1     dz   z - 1     z-1 - z - z     z + 1
 ⇒  y'= —————  ⇒ z+xz' = ————— ⇒ x——— = ———— - z ———————————— = - —————
        z + 1            z + 1     dx   z + 1        z + 1         z+1 
        
        

                               (z+1)     dx 
Trennung der Variablen ergibt: ————— = - ——
                                2        x
                               z + 1
                                                           
              1     2                                      
Integration:  —(ln(z + 1) + arctang(z) = -lnx + lnC,     
  
         ——————                                                          
        /2    2                y
 also: √x  + y  = Cexp(-arctan —)
                               x

Quelle S. 74

Homogene lineare DGL'en

Beispiel: y''+ay'+by=0 Ist eine homogene DGL 2. Ordnung.
Der Ansatz y=eλx liefert die charakteristische Gleichung λ2+aλ+b=0.
Fall 1: λ1≠λ2, beide reell: 
     λ x     λ x   
      1       2
y=c e    + c 
   1        2
Fall 2: λ1=λ2=λ, beide reell: 
     λx        λx   
y=c e    + c xe 
   1        2
Fall 3: λ1,2=p±qi komplex: 
   
     px           px
y=c e  cos(qx)+c e  sin(qx)
   1            2

Inhomogene lineare DGL'en

Beispiel: y''+y'-6y=3e-4x.
Die homogene DGL y''+y'-6y=0 hat die charakteristische Gleichung λ2+λ-6=0 mit den Lösungen λ1=2 und λ2=-3. Also hat die homogene DGL die Lösung 
     2x        -3x   
y=c e    + c xe 
   1        2
Zur Lösung der inhomogenen Differentialgleichung verwenden wir einen ”Ansatz vom Typ der rechten Seite“.
y=Ke-4x. Eingesetzt in die inhomogene DGL kommt man zu:
6Ke-4x !=! 3e-4x, also k=1/2. Damit ist y=1/2e-4x eine spezielle Lösung. 
     2x        -3x   1 -4x
y=c e    + c xe    + -e
   1        2        2

Partielle DGLen

Quelle  

Beispiel: Sei u(x,t)=(x-3t)2. Dann ist: 
∂u(x,t)                 ∂(u(x,t)
———————— = -6(x-2t) und ———————— = 2(x-2t) und u erfüllt damit die PDGL
  ∂t                      ∂x

∂u(x,t)     ∂(u(x,t)
——————— + 3 ———————— = 0 ("Transportgleichung")
   ∂t           ∂x