Übersicht Umkehrfunktionen

Umkehrfunktion verketteter Funktionen

Die Verkettung von von zwei Funktionen f und g ist folgendermaßen definiert:

Definition: Seien f und g Funktionen, wobei die Definitionsmenge D_g von g Teilmenge der Wertemenge W_f von f ist, dann wird h=f∘g definiert durch

h(x) = f∘g(x) = f(g(x)) für alle x ε D_f

Statt "h = f Kringel g" sagt man "h = f verkettet mit g" oder "h= f nach g". Es wird hierbei nämlich zuerst g(x) und danach f(g(x)) berechnet.

Satz: Sind f und g umkehrbar, dann ist auch f∘g umkehrbar und es ist

f∘g = g∘f, d.h. f∘g(x) = g(f(x)) für alle xεD_g.

Beweis: Wir zeigen zuerst, dass f∘g eineindeutig ist und damit umkehrbar:

Sei f∘g(x ) = f∘g(x ) , d.h. sei f(g(x ) = f(g(x ). Dann ist
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g(x ) = g(x ), da f ein-eindeutig (injektiv) ist;
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und damit ist auch x = x , da g ein-eindeutig ist.
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Die Umkehrfunktion von f∘g ist g∘f, denn es gilt:

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g∘f(f∘g(x)) = g(f(f(g(x)) = g(g(x)) = x.

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Hier wurde für u=g(x) verwendet: f(f(u)) = u.