Joachim Mohr   Mathematik Musik Delphi
Viele Musikinstrumente und vor allem Sängerinnen und Sänger können feine Tonhöhennuancen von Intervallen abweichend von der gleichstufigen Stimmung verwirklichen. Durch genaues Aufeinanderhören können reine Oktaven, Quinten, Quarten, Terzen usw. ertönen. Je besser dies gelingt, umso besser ist der Klang. Die Intonation erfolgt in reiner Stimmung.
Hier ein Beispiel für ein gestandenes Werk der Musiktheorie, das auf der gleichstufigen Stimmung aufbaut und fast völlig ignoriert, dass die Intonation der reinen Stimmung bei der Harmonielehre eine grundlegende Bedeutung hat.
Reinhard Amon: Lexikon der Harmonielehre. Doblinger u. a., Wien u. a. 1. Aufl 2005, 2. Aufl. 2015
Die Seitenangaben beziehen sich auf die Auflage von 2015 [In eckiger Klammer auf die Auflage 2005]

Kritik

Die Kritik lautet: Die reine Intonation wird nicht gebührend berücksichtigt. Dies ist an folgenden Fehlern zu erkennen.
Auf S. 294 [S. 288] ist beim Thema Tonartencharakteristik ein grober Fehler. Reinhard Amon schreibt:
In den terzenorientierten mitteltönigen Stimmungen hatten Tonarten — aufgrund einer für jede Tonart unterschiedlichen Intervallintonation - messbar verschiedene Charaktere. Nimmt man den Ton c als Ausgangsbasis der Stimmung, werden Tonarten, je weiter sie von C-Dur entfernt sind (in Quintenzirkelgraden), in ihrem Klang und Toncharakter rau, scharf und unrund (d.h. >verstimmt<).
Das stimmt gar nicht. In der mitteltönigen Stimmung erklingen alle C-dur-nahen Durdreiklängen (c-e-g d-fis-a es-g-b e-gis-h f-a-c g-h-d a-cis-e b-d-f) in reinen Terzen und (durch leichte Schwebungen erkennbare) mitteltönigen Quinten. Sie klingen alle gleich. Seine Aussage trifft erst auf die wohltemperierten Stimmungen zu, bei denen C-Dur-ferne Terzen geschärft sind. Hier liegt eine grobe Verwechslung vor.
Diesen groben Fehler hätte schon der Lektor des Verlags korrigieren müssen. Er ist aber selbst noch in der 2. Auflage zu finden.
Zur enharmonische Verwechslung. Meine Hauptkritik des Buches.
Auf S. 67 [beide Auflagen] wird behauptet, die Akkorde klingen bei enharmonischer Verwechslung gleich, nur das Notenbild ändert sich. Einwand: Das gilt nur bei gleichstufiger Stimmung.
Dies wird vor allem auf S. 132 [S. 129] beim Stichwort Isointervallakkorde deutlich.
Bei Amon heißt es:
Isointervallakkorde sind Klänge der Durmolltonalität, die aus gleichen Intervallen aufgebaut sind. Sie sind in sich symmetrisch, d. h. keiner ihrer Töne zeichnet sich vor einem anderen aus; daher besitzen sie keinen eindeutig bestimmbaren Grundton.

Diese Akkorde gibt es nicht in der Durmolltonalität. Im folgendem verminderten Septakkord zeige ich, wie sich der Klang bei enharmonischer Verwechslung nicht nur in der Notenbezeichnung sondern auch in der Intonation ändert, wenn die Akkorde richtig intoniert werden.
Notenbild

Die vorkommenden Intervalle bestehen bei Aman aus jeweils drei Halbtönen, in Wahrheit handelt es sich um folgende Intervalle:
reine kleine Terz          
  (Frequenzverhältnis 6/5 entspricht 316 Cent)
pythagoreische kleine Terz 
  (Frequenzverhältnis 32/27 entspricht 294 Cent, ein Terzkomma tiefer)
übermäßige Sekunde         
  (Frequenzverhältnis 75/64 entspricht 274 Cent, noch ein Terzkomma tiefer)

Tonart      Akkord             Frequenzen              Frequenzverhältnisse
Es-Dur/moll as   'ces  ,d  f    417,2 500,6 586,7 704   6/5 75/64 6/5
            ,g    b    es       391,1 469,3 625,8       6/5 4/3
C-Dur/moll  'as   ,h   d  f     422,4 495 594 704       75/64 6/5 32/27
             g    c    ,e       396   528 660           4/3 5/4
A-Dur/moll   ,gis h    d   'f   417,7 501,2 594 712,8   6/5 32/27 6/5
             a    ,cis e        445,5 556,9 668,3       5/4 6/5
Fis-Dur/moll gis  h    'd  ,eis 422,9 501,2 601,4 704,8 32/27 6/5 75/64
             ,ais cis  fis      469,9 563,8 751,8       6/5 4/3   
Akkorde sind in Eulerschreibweise notiert.

Auf S. 262f [S.257f] wird erläutert, was die "natürlich-harmonische Stimmung" bzw. "Reine Stimmung" bedeutet.
Es wird das System auf der C-Dur-Skala erläutert und dabei erwähnt, dass es zwei Ganztöne gibt und damit auch reine Quinten (c-g) und unreine Quinten (d-,a) [Eulerschreibweise von mir ergänzt]. Dann wird gezeigt (für mich eine ziemlich unverständliche Herleitung), dass ,,gis als Terz zu ,e 16/25 ergibt. Gemeint ist das Frequenzverhältnis c/,,gis=16/25. Dann wird aus der Rechnung 16/25*x=5/8 der Bruch 125/128=Differenz zw. ,,gis und 'as errechnet. (5/8 steht wohl für die kleine Sext c/'as, wird aber nicht gezeigt). Leider fehlt die Centangabe, nämlich 41,06 Cent. Dann wird die kleine Diesis erklärt als Differenz von 3 großen Terzen mit der Oktave mit der Centangabe 41 Cent, aber leider nicht gesagt, dass dies dasselbe Intervall wie gis-as=41 Cent ist.
Nicht erwähnt wird, wie sich Töne bei Modulationen ändern. Das ist für die Intonation besonders wichtig!
Auf S. 263 [S.259] wird die Mitteltontemperatur viel zu kurz und dazu noch fehlerhaft schlampig erklärt:
Tonbuchstabe                         C   D        E   F        G        A        H        c       
Centwerte                            0  193      386 503      696,5    890      1083     1200
Seitenlänge bezogen auf den Grundton 1  8/9:1/2K 4/5 3/4*1/4K 2/3:1/4K 3/5:1/4K 8/15:1/4K 2
Amon bezeichnet K (Frequenzverhältnis 81/80) hier fälschlicherweise als pythagoreisches Komma statt syntonisches Komma und rechnet mit 1/4K statt mit 4. Wurzel aus k. Dazu noch verwechselt er Multiplikation und Division (siehe unten die Korrektur).

Ich vermisse hier die Angabe für Cis/Des, Dis/Es, Fis/Ges, Gis/as und Ais/B. Erst die Stimmung der "schwarzen Tasten" ermöglicht einen Vergleich mit anderen Tonarten als C-Dur.
Erläuterung, jetzt mit Eulerschreibweise:
Reine Stimmung
Tonbuchstabe                    C   D   ,E    F   G   ,A   ,H   c       
Frequenzverhältnis zum Grundton 1  9/8  5/4  4/3 3/2  5/3  15/8 2
An der Eulerschreibweise kann man gut die Abweichung von der reinen Stimmung erkennen (Tiefkomma ,x=x ist 1K tiefer als x, .x=x ist 1/4 Komma tiefer, °x ist 1/4K höher).
K hat das Frequenzverhältnis 81/80, 1/4K das Frequenzverhältnis p=4. Wurzel aus k und 1/2k das Frequenzverhältnis q=p2=Wurzel aus k
Die korrekte Berechnung der mitteltönigen Stimmung müsste dann lauten:
Tonbuchstabe        C  ..D    ,E   °F     .G     ...A     .,H      c  
Centwerte           0  193   386   503   696,5    890     1083    1200     
Frequenzverhältnis  1  9/8:q  5/4  4/3*p  3/2:p   5/3*p   15/8:p   2   
Seitenlänge         1  8/9*q  4/5  3/4:p  2/3*p   3/5:p   8/15*p   2

Auf S. 265 [S. 260 ] wird als einzige wohltemperierte Stimmung die Kirnberger erwähnt. Leider nur die Tabelle C-D-E-F-G-A-H-C (Die Tonleiter in reiner Stimmung, bis auf A, das 10,8 Cent höher angegeben wird). Auch hier vermisse ich die Angabe für Cis/Des, Dis/Es, Fis/Ges, Gis/as und Ais/B. Erst die Stimmung der "schwarzen Tasten" ermöglicht einen Vergleich mit anderen Tonarten als C-Dur. Hier sieht man nur, dass c-e-g und g-h-d rein erklingen sowie f-a-c mit leicht geschärfter Terz. Aber wie die die Kadenzen in F-Dur oder G-Dur erklingen, bleibt unklar, ganz zu schweigen von weiter von C-Dur entfernteren Tonleitern.
Auf S. 263 [S. 259] Mitte wird die mitteltönige Wolfsquinte mit gis-es als mit 36 Cent zu groß angegeben. Es muss heißen 41 Cent.
S. 257 [S.253] In der ausführlichen Tabelle der über die Obertonreihe ermittelten Intervalle vermisse ich den kleinen Ganzton mit dem Frequenzverhältnis 9/10 (9. und 10. Oberton: d'':e'').
Auf S. 206 [S. 256] Anmerkung 1 wird die Definition angegeben: 1 Cent=2 hoch 1/1200. Ein reiner Zahlenwert. Meiner Meinung nach ist Cent bzw. Oktave eine Einheit von Intervallen (auch wenn in der DIN-Definition die Oktave mit der Zahl 2 gleichgesetzt wird.)
Intervalle kann man mit der Oktave oder ihrer Untereinheit Cent mit 1200 Cent=1 Oktave vergleichen, aber nicht mit Zahlen. Zum Beispiel sind 12 Quinten ungefähr 7 Oktaven. Damit gilt ungefähr 1 Quinte =7/12 Oktave = 700 Cent. Zugegeben: Die Berechnung mit Hilfe der Frequenzverhältnisse ist für Nichtmathematiker kompliziert: 2 hoch x = 3/2. Daraus folgt: x=lb(3/2), Somit Quinte = lb(3/2)Oktave =1200*lb(3/2) Cent = 702 Cent. [lb(a) =log(a)/log(2) ist der Zweierlogarithmus, log(a) der Zehnerlogarithmus von a.]

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