Joachim Mohr   Mathematik Musik Delphi
Der goldene Schnitt

Das Programm TTBruchrechnen

Ein paar Worte zum ggT und kgV
Der goldene Schnitt


Beim Rechnen mit Brüchen benötigt man
den ggT, den größten gemeinsamen Teiler
und
das kgV, das kleinste gemeinsame Vielfache.



Beim Kürzen braucht man immer gemeinsame Teiler, es muss nicht der ggT sein, man kann ja mehrmals hintereinander kürzen. Beim Addieren und Subtrahieren ist es jedoch sehr von Vorteil, wenn man nicht irgend ein gemeinsames Vielfaches, sondern das kgV nimmt. Um dieses schnell zu erhalten, ist es nützlich, den ggT von zwei Zahlen zu kennen.

Nun der Reihe nach:

Die kleinsten Teiler einer Zahl außer der Zahl Eins sind Primzahlen. Man kann die Zahl dann als Produkt mit dem ersten Faktor als Primzahl schreiben. Zerlegt man den Rest kommt man zur Primfaktorenzerlegung. Diese drei goldenen Teilbarkeitsregeln solltest Du unbedingt beherrschen.

Wenn Du dann noch weißt, dass alle Zahlen unter 100 durch 2, 3 oder 5 teilbar sind oder selbst Primzahlen, bis auf 3 Ausnahmen, dann gehörst Du zu den Könnern.

Von den drei Ausnahmezahlen musst Du nur eine auswendig lernen. Den beiden anderen sieht man Ihren Teiler 7 sofort an.

Die drei Ausnahmezahlen sind:

Nachtrag: Die Primfaktorenzerlegung der erwähnten Beispiel oben ist schnell gemacht: Beispiele zu den gemeinsamen Teilern findest Du genügend im Programm TTBruchrechnen beim Kürzen.
Nun noch eine Erläuterung zum kgV: Das kleinste gemeinsame Vielfache kgV(a,b) zweier Zahlen a und b findest Du schnell über den größten gemeinsamen Teiler ggT(a,b) dieser Zahen.

Beispiel : Gesucht kgV(12,18):

Im gemeinsamen Vielfachen muss jeder Faktor stecken, der in der ersten oder in der zweiten Zahl vorkommt.

Nun ist: Im gemeinsamen Vielfachen muss 2 und 6 stecken (wegen 12) und 3 und 6 (wegen 18), aber die 6 = ggT(12,18) nicht zweimal.

Folglich:
kgV(12,18) = 2·6·3 = 12·3 = 36 oder auch
kgV(18,12) = 3·6·2 = 18·2 = 36.

Um das kgV zu ermitteln, musst Du also den ersten Faktor mit allen Primfaktoren der zweiten Zahl multiplizieren, die nicht schon im ersten Faktor drin sind. Allerdings musst Du beachten: Enthält der erste Faktor die 4 (also zwei mal den Faktor 2), der zweite jedoch nur einmal, musst du den zweiten Faktor noch einmal mit zwei multiplizieren, damit im kgV die 4 steckt u.s.w.

Der Mathematiker schreibt dazu die Formel:

               b
kgV(a,b) = a·————————
             ggT(a,b)

Das klingt nach komplizierter Mathematik. An den Beispielen siehst Du: Mit gesundem Menschenverstand bekommt man schnell ein sicheres Gefühl dafür.

Beispiele: In der Probe haben wir das Kommutativgesetz für das kgV verwendet: kgV(b,a) = kgV(a,b).

Ein zweite Methode ist: Bilde (im Kopf oder auf Papier) Vielfache der beiden Faktoren so lange, bis ein gleicher auftaucht.
Im letzten Beispiel kgV(36,48) bilden wir 48, 96, 144 und 36, 72, 108, 144.
Fertig! kgV(36,48) = 144


Weitere schon kompliziertere Beispiele:
kgV(70,90) = 70·9 = 630 Die 10, die als Faktor in 90 vorkommt, entfällt, da sie schon in 70 vorkommt.
Probe: kgV(90,70) = 90·7 = 630
kgV(42,66) = 42·11 = 462 Die 6, die als Faktor in 66 vorkommt, entfällt, da sie schon in 42 vorkommt.
Probe: kgV(66,42) = 66·7 = 462
kgV(28,72) = 28·2·9 = 504 Beachte:
28 = 4·7 = 2·2·7
72 = 8·9 = 2·2·2·9
4 steckt schon in 28, aber noch nicht die 8.
Daher der Faktor 2 in "28·2·9"
Probe: kgV(72,28) = 72·7 = 504


Beispiele zum kgV findest Du genügend im Programm TTBruchrechnen bei der Addition und Subtraktion. Die meisten sind recht einfach.