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FAQ Mathematik

Wie löse ich die Gleichung x2=a+b·i?

Oder: Wie bestimme ich für die komplexe Zahl z = a + b·i (a,b ε R) die beiden Quadratwurzeln.

Hinweis: Während im Reellen die Gleichung x2 = a (a > 0) zwei Lösungen hat - eine negativ, die andere positiv - kann man die eindeutig positive Lösung mit x1 = sqrt(a) bezeichnen. Die andere Lösung ist dann x2 = -sqrt(a). Im komplexen Fall gibt es keine eindeutig bestimmte Wurzel, sondern immer zwei. Eine davon (siehe unten) wird als Hauptwurzel bezeichnet.

1. Lösungsweg:

Hier wird auf die Darstellung in trigonometrischer Form verzichtet (siehe 2. Lösungsweg). Zum Verständnis der Berechnungen sind nur elementare Kenntnisse über komplexe Zahlen erforderlich. Die Rechnungen sind allerdings nicht so elegant wie beim 2. Lösungsweg, liefern aber exakte Lösungsausdrücke.
                                                2
Suche die Lösung für x = u + i·v (u,v ε R) mit z = a+b·i.

                         2   2   2
Aus der einen Gleichung x = u - v  + 2·u·v·i = a + b·i folgt durch Koeffizientenvergleich

                                2   2
                               u - v  = a (1)
das reelle Gleichungssystem  (                ).
                                2uv   = b (2)

Man sieht mit x = u + iv ist auch x = - x = (-u) + i·(-v) Lösung.
               1                   2     1

                                                             2       2
                                                         (-u)  - (-v) = a
Denn gelten die Gleichungen (1) und (2), dann gilt auch (                  ).
                                                           2(-u)(-v)  = b

Beispiel a) z = - 1 

            2    2
           u  - v  = -1 (1)
          (                ).
             2uv   = 0  (2)

                                          2
Nach (2) ist u = 0 ( v = 0 würde auf auf u = - 1 führen, was für u ε R unmöglich ist.),

                   2
also ist nach (1) v = 1 und damit v = 1 oder v = -1.

Somit erhalten wir als Lösung x = i und x = - i.
                               1         2

                                                                        2
(Klar: Die definierende Eigenschaft der komplexen Zahlen ist ja gerade i = -1)

Beispiel b) z = i 

            2    2
           u  - v  = 0 (1)
          (                ).
             2uv   = 1 (2)

                   1          2   1
Aus (2) folgt v = ——. In (1) u  - ——— = 1
                  2u                2
                                  4u

    4    2    1
=> u  - u  -  - = 0
              4

Die (reellen)  Lösungen dieser biquadratischen Gleichung sind

      1                   1
u  =  -sqrt(2) und u  = - -sqrt(2).
 1    2             2     2

        1             1                   1
Mit v =—— folgt v  =  -sqrt(2) und v  = - -sqrt(2)
       2u        1    2             2     1

                                            2
und somit sind die Lösungen der Gleichung x  = i:


1 - 1 - 1 - 1 - x = -\/2 + -\/2·i und x = - -\/2 - -\/2·i. 1 2 2 2 2
Beispiel c) z = 1 + i 2 2 u - v = 1 (1) ( ). 2uv = 1 (2) Die Lösung dieses Gleichungssystems ist: 1 1 u =sqrt(- + -sqrt(2)), u = - u 1 2 2 2 1 mit 1 1 v =sqrt(-sqrt(2) - -) und v = - v 1 2 2 2 1 Und somit hat man als Lösung:
——————— ———————— /1 1 - /1 - 1 x =\/ - +-\/2 + i·\/ -\/2 - - und x = - x . 1 2 2 2 2 2 1
Algemeine Lösungsformel: Löst man das Gleichungssystem (1) und (2) allgemein, erhält man die Formeln: ————————— ————————— / ———— / ———— 1 / /2 2 / /2 2 x = ————(\/\/a +b + a + i·sign0(b)·\/\/a +b - a) 1 - \/2 ————————— ————————— / ———— / ———— 1 / /2 2 / /2 2 x = - ————(\/\/a +b + a + i·sign0(b)·\/\/a +b - a) 2 - \/2 | + 1 für b > 0 | wobei sign0(b) = { + 1 für b = 0 (hier ausnahmsweise sign0(0)= +1 statt sign(0)=0) | | - 1 für b < 0 Man sieht: x = - x 2 1 Die Formeln für TTMathe oder TTMathe lesbarer Foem: x1 = u + i·v und x2 = -u - i·v für b ≥ 0 x1 = u - i·v und x2 = -u + i·v für b < 0 wobei u=1/2*sqrt(2)*sqrt(sqrt(a^2+b^2)+a) v=1/2*sqrt(2)*sqrt(sqrt(a^2+b^2)-a) Beispiel d) z = 3 - 4i Die Formel liefert für a=3 und b=4 u=1/2*sqrt(2)*sqrt(sqrt(a^2+b^2)+a)=2 v=1/2*sqrt(2)*sqrt(sqrt(a^2+b^2)-a)=1 Da b < 0 folgt x1 = 2 - i und x2 = - 2 + i Beispiel e) z = 5 + 2i Die Formel liefert u=1/2*sqrt(2)*sqrt(sqrt(29)+5) v=1/2*sqrt(2)*sqrt(sqrt(29)-5) x1 = 1/2*sqrt(2)*sqrt(sqrt(29)+5) + 1/2*sqrt(2)*sqrt(sqrt(29)-5)·i x2= - 1/2*sqrt(2)*sqrt(sqrt(29)+4) - 1/2*sqrt(2)*sqrt(sqrt(29)-4)·i

2. Lösungsweg (unter Verwendung der Polarform)

Polarkoordinaten von z
Hier gehen wir von der trigonometrischen Darstellung
der komplexen Zahl z = a + bi = r(cos(α) + i·sin(α)) aus.

Die Umrechnungen lauten:

a = r·cos(α)
b = r·sin(α)

und umgekehrt
       —————
      /2   2
r = \/a + b

         b
tan(α) = -
         a


Nebenbei bemerkt:

                b                      π        π                       b
Statt tan(α) =  -  kann man auch für - -  ≤ α ≤ - schreiben  α = arctan(-)
                a                      2        2                       a

Man muß jedoch beachten dass der Tangens keine Umkehrfunktion besitzt.

                                  π  π
Nur bei dem Definitionsbereich [- -, -]  ist die Funktion α -> tan(α) umkehrbar.
                                  2  2
Für die Verwendung von arctan für 0 ≤ α ≤ 2·π gilt:

         b                b                     π
tan(α) = - <=> α = arctan(-)        für 0 ≤ α ≤ -, a ≥ 0 und b ≥ 0 (I. Quadrant)
         a                a                     2

         b                b             π
tan(α) = - <=> α = arctan(-) + π    für - ≤ α ≤ π, a ≤ 0 und b ≥ 0 (II. Quadrant)
         a                a             2

         b                b                     3
tan(α) = - <=> α = arctan(-) + π    für π ≤ α ≤ -π, a ≤ 0 und b ≤ 0 (III. Quadrant)
         a                a                     2

         b                b             3
tan(α) = - <=> α = arctan(-) + 2·π  für -π ≤ α ≤ 2π, a ≥ 0 und b ≤ 0 (IV. Quadrant)
         a                a             2

Am folgendem Beispiel wird dies demonstriert (gerechnet mit TTRechenblatt).
    I. Quadrant
al=30°=Pi/6
a=cos(al)=1/2*sqrt(3)
b=sin(al)=1/2
al=arctan(b/a)=1/6*Pi

    II. Quadrant
al=150°=5/6*Pi
a=cos(al)=-1/2*sqrt(3)
b=sin(al)=1/2
al=arctan(b/a)+Pi=5/6*Pi

   III.Quadrant
al=210°=7/6*Pi
a=cos(al)=-0,866025404
b=sin(al)=-1/2
al=arctan(b/a)+Pi=7/6*Pi

   IV.Quadrant
al=330°=11/6*Pi
a=cos(al)=1/2*sqrt(3)
b=sin(al)=-1/2
al=arctan(b/a)+2*Pi=11/6*Pi


Bei der Darstellung in Polarform läßt sich die Quadratwurzel sehr einfach berechnen;

Gesucht x = s·(cos(β) + i·sin(β)) mit x2 = s2·(cos(2·β) + i·sin(2·β)) = r·(cos(α) + i·sin(α)).

Für diese Gleichung gibt es zwei Lösungen für 0<β<2·π:
    -               α          α
s=\/r (r>0) und β = - oder β = - + π.
                    2          2

                             -      α          α
Also sind die Lösungen x = \/r·(cos(-) + i·sin(-)  und
                        1           2          2

                               -    α          α
                       x = - \/r(cos-) - i·sin(-) = - x .
                        2           2          2       1

            α              α          α              α
Beachte cos(- + π) = - cos(-) und sin(- + π) = - sin(-).
            2              2          2              2

Die folgenden Beispiele wurden mit TTRechenblatt gerechnet.
Beispiel a) z = -1 = cos(π) + i·sin(π) 

   z=a+b*i=-1

a=-1

b=0

r=sqrt(a^2+b^2)=1

   Beachte die Korrektur zu arctan

al=arctan(b/a)+Pi=Pi

u1=sqrt(r)*cos(al/2)=0

v1=sqrt(r)*sin(al/2)=1

u2=sqrt(r)*cos(al/2+Pi)=0

v2=sqrt(r)*sin(al/2+Pi)=-1

Lösung: x = u +i·v  = i
         1   1    1

        x = u + i·v  = -i
         2   2     2


                        π          π
Beispiel b) z = i = cos(-) + i·sin(-)
                        2          2


    z=a+b*i=i

a=0

b=1

r=sqrt(a^2+b^2)=1

   arctan(b/a) existiert nicht!

al=Pi/2=1/2*Pi

u1=sqrt(r)*cos(al/2)=1/2*sqrt(2)

v1=sqrt(r)*sin(al/2)=1/2*sqrt(2)

u2=sqrt(r)*cos(al/2+Pi)=-1/2*sqrt(2)

v2=sqrt(r)*sin(al/2+Pi)=-1/2*sqrt(2)

                      1  -
Lösung: x = u +i·v  = -\/2(1+i)
         1   1    1   2

                         1  -
        x = u + i·v  = - -\/2(1+i)
         2   2     2     2



                         -      π          π
Beispiel c)z = 1 + i = \/2·(cos(-) + i·sin(-)
                                4          4


   z=a+b*i=1+i

a=1

b=1

r=sqrt(a^2+b^2)=sqrt(2)

al=arctan(b/a)=1/4*Pi

u1=sqrt(r)*cos(al/2)=1,098684113

v1=sqrt(r)*sin(al/2)=0,455089861

u2=sqrt(r)*cos(al/2+Pi)=-1,098684113

v2=sqrt(r)*sin(al/2+Pi)=-0,455089861

Lösung: x = u +i·v  = 1,098684113 + i·0,455089861
         1   1    1

        x = u + i·v  = - -1,098684113 - i·0,455089861
         2   2     2


Beispiel d) z = 3 - 4i 

   z=a+b*i=3-4*i

a=3

b=-4

r=sqrt(a^2+b^2)=5

   Beachte die Korrektur zu arctan

al=arctan(b/a)+2*Pi=5,355890089

u1=sqrt(r)*cos(al/2)=-2

v1=sqrt(r)*sin(al/2)=1

u2=sqrt(r)*cos(al/2+Pi)=2

v2=sqrt(r)*sin(al/2+Pi)=-1

Lösung: x = u +i·v  = - 2 +i
         1   1    1

        x = u + i·v  = 2 + i
         2   2     2


Beispiel e) z = 5 + 2i 

   z=a+b*i=5+2*i

a=5

b=2

r=sqrt(a^2+b^2)=sqrt(29)

al=arctan(b/a)=0,380506377

u1=sqrt(r)*cos(al/2)=2,278723854

v1=sqrt(r)*sin(al/2)=0,438842117

u2=sqrt(r)*cos(al/2+Pi)=-2,278723854

v2=sqrt(r)*sin(al/2+Pi)=-0,438842117

Lösung: x = u +i·v  = 2,278723854 + 0,438842117·i
         1   1    1

        x = u + i·v  = - 2,278723854 - 0,438842117·i
         2   2     2

Nebenebei bemerkt:

Indem man den 1. und 2. Lösungsweg vergleicht, kann man folgende Formeln herleiten:

cos(arctan(x)/2) = sqrt(1/2)*sqrt(1+1/sqrt(1+x^2)) für alle x ε R

sin(arctan(x)/2) = sign(x)*sqrt(1/2)*sqrt(1-1/sqrt(1+x^2)) für alle x ε R
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