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Schrittstabile Funktionen

Definition: Eine Funktion heißt schrittstabil, wenn es für alle h ε R ein k ε R gibt,
so dass für alle x ε R mit h ≠ 0, x ε Df und x+h ε Df gilt:
  f(x+h) - f(x)
  ————————————— = k·f'(x)
         h
Das heißt: Für festes h ist die
                       f(x+h) - f(x)
diskrete Änderungsrate ————————————— proportional zur Ableitung f'(x)
                              h
und zwar für alle x mit dem gleichen Proportionalitätsfaktor.
Siehe Michael Bürker: "Über die gute Modellierbarkeit bestimmter Wachstumsprozesse"
Math. Semesterber. (2007) 54: 39–52 DOI 10.1007/s00591-006-0009-4
Im folgenden betrachten wir nur differenzierbare Funktionen mit demselben zusammenhängenden Definitionsbereich.

Dann gilt für die schrittstabilen Funktionen ST.

I) Ist f ε ST und a ε R, dann ist auch g ε ST für g: x -> a·f(x).

Beweis:
g(x+h) - g(x)    a·f(x+h) - a·f(x)
————————————— = —————————————————— = k·a·f'(x)= k·g'(x)
       h                 h
Daraus ersehen wir, dass mit f ε ST auch g ε ST ist, da aus g(x)=a·f(x) folgt: g'(x) = a·f'(x).

II) Ist f ε ST und b ε R, dann ist auch g ε ST für g: x ->f(x) + b.

Beweis:
g(x+h) - g(x)   f(x+h) - f(x)
————————————— = ————————————— = k·f'(x)= k·g'(x)
       h               h
Daraus ersehen wir, dass mit f ε ST auch g ε ST ist, da aus g(x)=f(x) + b folgt: g'(x) = f'(x).

III) Ist f ε ST und c ε R, dann ist auch g ε ST für g: x ->f(c·x).

Beweis:
g(x+h) - g(x)   f(cx+ch) - f(cx)     f(cx+ch) - f(cx)
————————————— = ———————————————— = c·———————————————— = c·kf'(cx) = k·g'(x)
       h               h                  ch
Daraus ersehen wir, dass mit f ε ST auch g ε ST ist, da aus g(x)=f(cx) folgt: g'(x) =c·f'(cx).

IV) Die identische Funktion f: x->x ist schrittstabil.

Beweis:
f(x+h) - f(x)   x+h - x
————————————— = ——————— = 1 = k·f'(x) für k = 1.
    h              h
Daraus ersehen wir, dass mit f ε ST ist, da aus f(x) =x folgt: f'(x) = 1.

V) Die natürliche Exponentialfunktion f: x -> ex ist schrittstabil.

Beweis:
                 x+h   x     h                          h
f(x+h) - f(x)   e   - e    (e - 1) x                   e - 1
————————————— = ———————— = —————— e  = k·f'(x) für k = —————
    h              h         h                           h
Daraus ersehen wir, dass f ε ST ist.

Aus I) bis V) folgt:
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