Joachim Mohr   Mathematik Musik Delphi
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Die mitteltönige Stimmung von Gioseffo Zarlino (1577)

Zur Bestimmung dieses Systems benötigt man die zwei reinen Intervalle Oktave und große Terz. Weitere Intervalle werden durch "Mittelungen" bestimmt. Diesen gemittelten Tönen kann kein rationales Frequenzverhältnis zugeordnet werden. Deshalb steht in Klammer die Centangabe):

(a) Die Oktave                 Ok                      (1200 Cent)
(b) Die große Terz             gT                      ( 386 Cent)
(c) Der mitteltönige Ganzton   mG mit mG+mG = gT       ( 193 Cent)
(d) Die mitteltönige Quinte    mQ mit mQ+mQ = Ok + mG  ( 697 Cent)

Für den Mathematiker:
  Ok                 = 1200    Cent  (Festlegung, Frequenzverhältnis 2)
  gT = lb(5/4)*Ok    = 386,314 Cent  (Frequenzverhältnis 5/4)
  mQ = (2*Ok + gT)/4 = 696,578 Cent  (Frequenzverhältnis 5^(1/4))

Als Grundintervalle in diesem System genügen:
(1) Die Oktave                 Ok  (1200 Cent)
(2) Der mitteltönige Ganzton   mG  ( 193 Cent)
(3) Die mitteltönige Quinte    mQ  ( 697 Cent)

Die weiteren Intervalle sind dann:
die große Terz           gT=2·mG
die mitteltönige Quarte  mq=Ok-mQ
der mitteltönige Halbton mH=mq-gT
Drei reine Terzen ergeben keine exakte Oktave. Der Unterschied - die kleine Diesis - ist 3gT-Ok (41 Cent).

Die mitteltönige Stimmung systematisch

Bei der mitteltönigen Stimmung werden 11 Quinten des Quintezirkels um je 1/4 des syntonischen Kommas verkleinert. Statt 702 Cent der reinen Quinte haben die Quinten den Abstand 697 Cent. Für die 12. Quinte, die Wolfsquinte, in Wahrheit eine verminderte Sexte, ergibt sich dann das unbrauchbare Intervall von 738 Cent.

Mit o=1200 (Oktave) und q=696,57 (mitteltönige Quinte) errechnen sich aus den elf Quinten die Töne zu
(alles in Cent):
es=-3q+2o     = 310
b=-2q+2o      =1007
f=-q+o        = 503
c=0           =   0
g=q           = 697
d=2q-o        = 193
a=3q-o        = 890
e=4q-2o       = 386
h=5q-2o       =1083
fis=6q-3o     = 579
cis=7q-4o     =  76
gis=8q-4o     = 773
Neu geordnet:
c=0           =   0
cis=7q-4o     =  76
d=2q-o        = 193
es=-3q+2o     = 310
e=4q-2o       = 386
f=-q+o        = 503
fis=6q-3o     = 579
g=q           = 697
gis=8q-4o     = 773
a=3q-o        = 890
b=-2q+2o      =1007
h=5q-2o       =1083
Spielbar sind alle Tonleitern mit maximal 2 B's (B-Dur / g-moll) oder maximal 3 Kreuze (A-Dur / fis-moll, natürliches moll, nicht harmonisch moll mit dis und eis).
Rechnung dazu:
B-Dur / g-moll  (bezogen auf den Grundton)

b_=-2q+2o-b   =   0
c_=0+o-b      = 193
d_=2q-o+o-b   = 386
es_=-3q+2o+o-b= 503
f_=-q+o+o-b   = 697
g_=q+o-b      = 890
a_=3q-o+o-b   =1083

F-Dur / d-moll (bezogen auf den Grundton)
f_=o-q-f      = 0
g_=q-f        = 193
a_=3q-o-f     = 386
b_=2o-2q-f    = 503
c_=0+o-f      = 697
d_=2q-o+o-f   = 890
e_=4q-2o+o-f  =1083

C-Dur / a-moll
c=0           = 0
d=2q-o        = 193
e=4q-2o       = 386
f=o-q         = 503
g=q           = 697
a=3q-o        = 890
h=5q-2o       =1083

G-Dur / e-moll
g_=q-g        =  0
a_=3q-o-g     = 193
h_=5q-2o-g    = 386
c_=0+o-g      = 503
d_=2q-o+o-g   = 697
e_=4q-2o+o-g  = 890
fis_=6q-3o+o-g=1083

D-Dur / h-moll
d_=d-d        =0
e_=e-d        =193
fis_=fis-d    =386
g_=g-d        =503
a_=a-d        =697
h_=h-d        =890
cis_=cis+o-d  =1083


A-Dur / fis-moll
a_=3q-o-a     =   0
h_=5q-2o-a    = 193
cis_=7q-4o+o-a= 386
d_=2q-o+o-a   = 503
e_=4q-2o+o-a  = 697
fis_=6q-3o+o-a= 890
gis_=8q-4o+o-a=1083

Die schwarzen Tasten doppelt belegt (fünf Subsemitonien)

Mehr Tonarten können gespielt werden, wenn die schwarzen Tasten doppelt belegt werden.
Cis/Des, Dis/Es, Fis/Ges, Gis/As und Ais/B. In diesem Fall wird der mitteltönige Quintenzirkel um fünf weitere Quinten erweitert. Man benützt dann also insgesamt die folgeden 17 (=12+5) Töne.
ges=-6q+4o    = 621
des=-5q+3o    = 117
as=-4q+3o     = 814
es=-3q+2o     = 310
b=-2q+2o      =1007
f=-q+o        = 503
c=0           =   0
g=q           = 697
d=2q-o        = 193
a=3q-o        = 890
e=4q-2o       = 386
h=5q-2o       =1083
fis=6q-3o     = 579
cis=7q-4o     =  76
gis=8q-4o     = 773
dis=9q-5o     = 269
ais=10q-5o    = 966
Neu geordnet:
c=0           =   0

cis=7q-4o     =  76
des=-5q+3o    = 117

d=2q-o        = 193

dis=9q-5o     = 269
es=-3q+2o     = 310

e=4q-2o       = 386
f=-q+o        = 503

fis=6q-3o     = 579
ges=-6q+4o    = 621

g=q           = 697

gis=8q-4o     = 773
as=-4q+3o     = 814

a=3q-o        = 890

ais=10q-5o    = 966
b=-2q+2o      =1007

h=5q-2o       =1083

c=o           =1200 (entspricht 0 Cent)
Man sieht, dass sich die "schwarzen" Tasten erheblich unterscheiden:
Des-Cis=Es-Des=Fis-Ges=Gis-As=H-B=41 Cent. Spielbar sind alle Tonleitern mit maximal 5 B's (Des-Dur / b-moll) oder maximal 5 Kreuze (H-Dur / gis-moll, natürliches Moll).
Rechnung dazu:
Es-Dur /c-moll
es_=es-es     =   0
f_=f-es       = 193
g_=g-es       = 386
as_=as-es     = 503
b_=b-es       = 697
c_=c+o-es     = 890
d_=d+o-es     =1083

As-Dur /f-moll
as_=as-as     =   0
b_=b-as       = 193
c_=c+o-as     = 386
des_=des+o-as = 503
es_=es+o-as   = 697
f_=f+o-as     = 890
g_=g+o-as     =1083

Des-Dur /b-moll
des_=des-des  =   0
es_=es-des    = 193
f_=f-des      = 386
ges_=ges-des  = 503
as_=as-des    = 697
b_=b-des      = 890
c_=c+o-des    =1083

E-dur / cis-moll 
e_=e-e        =   0
fis_=fis-e    = 193
gis_=gis-e    = 386
a_=a-e        = 503
h_=h-e        = 697
cis_=cis+o-e  = 890
dis_=dis+o-e  =1083

H-dur / gis-moll 
h_=h-h        =   0
cis_=cis+o-h  = 193
dis_=dis+o-h  = 386
e_=e+o-h      = 503
fis_=fis+o-h  = 697
gis_=gis+o-h  = 890
ais_=ais+o-h  =1083

Sieben Subsemitonien

Klaviatur mit unterteilten schwarzen Tasten sowie Eis und His
(c) siehe Wikipedia mitteltönige Stimmung

Erweitert man die bisherigen mitteltönigen Quinten noch um zwei weitere, das Eis und das His, die sich von F bzw. C ebenfalls um 41 Cent unterscheiden, so erhält man folgende Töne (gleich geordnet):
c=0           =   0

cis=7q-4o     =  76
des=-5q+3o    = 117

d=2q-o        = 193

dis=9q-5o     = 269
es=-3q+2o     = 310

e=4q-2o       = 386

eis=11q-6o     =462
f=-q+o        = 503

fis=6q-3o     = 579
ges=-6q+4o    = 621

g=q           = 697

gis=8q-4o     = 773
as=-4q+3o     = 814

a=3q-o        = 890

ais=10q-5o    = 966
b=-2q+2o      =1007

h=5q-2o       =1083

his=12q-6o    =1159
c=o           =1200

Spielbar sind alle Tonleitern mit maximal 5 B's (Des-Dur / b-moll) oder maximal 7 Kreuze (Cis-Dur / ais-moll, natürliches Moll).
Rechnung dazu:
Fis-dur / dis-moll 
fis_=fis-fis  =   0
gis_=gis-fis  = 193
ais_=ais-fis  = 386
h_=h-fis      = 503
cis_=cis+o-fis= 697
dis_=dis+o-fis= 890
eis_=eis+o-fis=1083

Cis-dur / ais-moll 
cis_=cis-cis  =   0
dis_=dis-cis  = 193
eis_=eis-cis  = 386
fis_=fis-cis  = 503
gis_=gis-cis  = 697
ais_=ais-cis  = 890
his_=his-cis  =1083
Wichtig: Cis ist um 41 Cent tiefer als Des und damit die Cis-Dur und die Des-Durtonleiter um 41 Cent - fast ein Viertel Ton -verschoben, eine enharmonische Verwechslung also nicht möglich.
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