Joachim Mohr   Mathematik, Musik, Delphi
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8. Lektion: mitteltönige und wohltemperierte Stimmungen

Bei Modulationen ändern sich Frequenzen von Tönen. Zum Beispiel bei der Modulation von C-Dur nach F-Dur nicht nur h in b um einen Halbton, sondern auch d in d- um ein syntonisches Komma. Dass die chromatischen Töne jeweils eine andere Funktion haben, sieht man (zum Glück) schon am Notenbild, zum Beispiel ist Cis von Des verschieden.

Bei den folgenden Harmonisierungen ist Des 41 Cent höher als Cis.



C-Dur Neapolitaner
cdes.gif



C-Dur Doppeldoppel-
dominante
ccis.gif



descis.gif
Im Beispiel "Vom Himmel hoch" ist der Unterschied zwisches Dis und Es "nur" 20 Cent.

Das richtig zu intonieren ist für einen Chor (oder TTMusik) kein Problem. Die SängerInnen hören sich in die Harmonie ein. Weitere Beispiele dazu findet man im Beitrag "As-Fis" und Passus Duriusculus

Schwierig wird es für ein Tasteninstrument, mehr als eine Tonart rein spielen zu können. In der Tat wurden im 16. Jahrhundert Tasteninstrumente mit vielerlei zusätzlichen Tasten gebaut (zum Beispiel 31 Töne in der Oktave). Spielbar waren diese jedoch kaum, technisch zu anspruchsvoll, noch mehr theoretisch, musste der Spielende doch die Funktion eines Tones ermitteln und danach die richtige Taste schlagen.

Heutzutage sind die Tasteninstrumente gleichstufig gestimmt. Und manchmal übt ein Chor nach der Klaviervorgabe und wird unsensibel für reine Akkorde. (Wenn Sie im obigen Beispiel rein und gleichstufig vergleichen und Ihnen erscheint gleichstufig richtiger, dann hat sich Ihr Gehör an die geschärfte gleichstufige Terz gewöhnt. Aber bitte achten Sie bei "C-Dur Cis" auf die Schwebungen).

Seit einigen Jahrzehnten orientiert man sich wieder mehr an der historischen Aufführungspraxis. Daher besteht ein wachsendes Interesse an historischen Stimmungen. Orgeln gewinnen durch historische Stimmungen mehr Farbe und harmonischen Klang.

Hören Sie sich zunächst einmal die verschieden Stimmungen an!

a cis e







Kadenz








Nun zur Theorie: Da die reine Stimmung, das (Quint-Terz-System) auf dem Griffsystem der Lauten oder bei Tasteninstrumenten nicht zu verwirklichen ist (für "gleiche" Töne braucht man bei Modulationen eigene Tasten), versuchte man durch Abwandlung der reinen Stimmung mit möglichst wenigen Tönen auszukommen.

Als Beispiel werde die mitteltönige Stimmung von Gioseffo Zarlino (1577) erwähnt.


Bei der mitteltönigen Stimmung wird versucht,
möglichst viele reine Terzen zu verwenden.
Die Quinten im Quintenzirkel werden entsprechend angepasst.
(697 Cent im Vergleich zur reinen Quint mit 702 Cent).

Die zwölfte Quinte wird dabei viel zu groß.
Man nennt sie die "Wolfsquinte".

Terzen, die nicht über die Wolfsquinte reichen, sind rein (386 Cent).

Terzen über die Wolfsquinte sind deutlich verstimmt.

In der Skizze ist der gleichstufige Quintenzirkel als 12-Eck gezeichnet.
Das mitteltönige Gis und das (theoretische) As unterscheiden sich um 41 Cent.
  Für den Mathematiker:
      CGis(mitteltönig) = 2*gT = 8*mQ - 4*Ok = 772,6 Cent
      CAs(mitteltönig) = 3*Ok - 4 mQ = 813,7 Cent
      Differenz = 41,1 Cent (ein Fünftelton)
Die Zeichnung vergröbert (entsprechend der Wahrnehmung des Gehörs):
  Für den Mathematiker:
      Gleichstufige Quint (700 Cent) hier ≈ 20 mm
      41,1 Cent ≈ 1,2 mm

Vertiefende Erläuterungen

Die Oktaven und "viele" Terzen sind rein, d.h. dieselben wie im Quint-Terz-System. Der Ganzton jedoch gemittelt zwischen großem und kleinem Ganzton (204 Cent und 182 Cent), die Quinte entsprechend angepasst (Zum Vergleich: reine Quinte = 702 Cent. Quinte des zwölfstufigen Tonraumes = 700 Cent).

Damit kann man wohltönende Tonleitern aufbauen, die Modulationen (beschränkt) ermöglichen. Allerdings ist der Quintenzirkel nicht wie beim zwölfstufige Tonraum geschlossen. Und: Modulationen in entferntere Tonlagen sind mit solch einem gestimmten Tasteninstrument nur bedingt möglich. Manche unreine Quinten zum Beispiel EsAs=EsGis wurden deshalb als "Wolf" bezeichnet.

Hörbeispiel: Kadenzen F-Dur und As-Dur


Kadenzen f-Dur As-Dur
In mitteltöniger Stimmung wird statt As und Des
das um 41 Cent tiefere Gis bzw. Cis gespielt.
Spiele F-Dur und As-Dur



(genauer "viertel mitteltönig")



(genauer Werkmeister III)

Wohltemperierten Stimmungen waren ca. 1700-1870 weit verbreitet.

Zu Johann Sebastian Bachs Zeit fand ein Umbruch zu den wohltemperierten Stimmungen statt, die es ermöglichte, in mehr Tonarten zu modulieren. Bei diesen Stimmungen erhält man eine Klangfarbenabstufung der Tonarten. Die C-Dur-nahen Tonarten klingen harmonisch, daher kraftvoll, während andere geschärft bzw. gespannt klingen. Komponisten des 18. und 19. Jahrhunderts richteten sich nach diesen Stimmungen.


Bei den wohltemperierten Stimmungen werden die Quinten unterschiedlich verstimmt mit der Tendenz zu "geschärften" Terzen. In letzter Konsequenz führte das zur gleichstufigen Stimmung.

Zunächst wurde - vereinfacht dargestellt - die zweite Terz im Quintenzirkel E-Gis geschärft (erhöht), später auch die erste, damit keine Wolfsquinten mehr auftraten.

In zahlreichen Versuchen behielt man zunächst verkleinerte Quinten (mQ = 697 Cent) bei, so dass in C-Dur nahen Tonarten die Terzen rein erklangen, ersetzte jedoch im Quintenzirkel andere Quinten durch (die im Vergleich zu 700 Cent, zur gleichstufigen Stimmung zu hohen) reine Quinten (Q = 702 Cent). Die Terzen wurden "geschärft" (erhöht), sodass die Wolfsquinte verschwand.

Bei der Diskussion über historische Stimmungen muss man sich heute stets vor Augen halten, dass es keine physikalischen Stimmgeräte gab. Man konnte leicht reine Terzen und reine Quinten stimmen. Die "verstimmten" musste man jedoch durch Auszählen von Schwebungen ermitteln. Dies wurde noch dadurch erschwert, dass sich die Schwebungen bei Intervallen in höheren Lagen erhöhen, zum Beispiel in Oktavlage verdoppeln.

weiter Hörbeispiele und noch mehr Hörbeispiele.

Wer sich für Berechnungen dieser Art interessiert, kann die die Tonleiter nach Kirnberger III studieren:

Mit Programm TTMusik kann man sehen, wie charakteristisch noch die einzelnen Tonarten im Vergleich zur gleichstufigen Stimmung klingen.

Anhang: Wie stimmte J. S. Bach sein Instrument?

Es wird berichtet, dass J. S. Bach sein Clavichord in weniger als 15 Minuten stimmte. Lange rätselte man, wie er seine Quinten stimmte. Es gibt hierüber von Bach selbst oder seinen Zeitgenossen keine brauchbaren Aufzeichnungen.

Andreas Sparschuh entdeckte 1998 (und berichtete 1999 bei der Jahrestagung der Deutschen Mathematiker Vereinigung darüber) , dass man die Girlande auf dem Titelblatt von Bachs wohltemperierten Klavier, I. Teil, 1722 als Stimmungsanweisung interpretieren könnte.

Bachs Girlande


Es ist erstaunlich, dass man dies Jahrhunderte lang übersehen hatte.

Die Girlande kann als Vorschrift zum Stimmen des Quintenzirkels gesehen werden, war es doch damals üblich, die Quinten, die im Quintenzirkel ja angepasst werden müssen, durch Auszählung der Schwebungen zu ermitteln und die Schleifen in den Kringeln können dazu Hinweise geben.

Inzwischen (Stand 2010) ist diese Stimmung nicht mehr unbestritten. Es gibt darüber eine umfangreiche Diskussion. Siehe ↑Wikipedia.
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