Joachim Mohr   Mathematik Musik Delphi
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Siehe auch Direkte Berechnung des Zweierlogarithmus

Einführung in den Logarithmus

Vorübung zum Zweierlogarithmus:

a) Mit welcher Zahl muss man 2 potenzieren, um 32 zu erhalten?
b) Wie wird diese Zahl geschrieben?

Schauen Sie sich dazu die folgende Tabelle an.

Tabelle zum Logarithmus der Basis 2:

lb2=1,da 21 = 2
lb4=2,da 22 = 4
lb8=3,da 23 = 8
lb16=4,da 24 = 16
lb32=5,da 25 = 32
lb64=6,da 26 = 64
lb128=7,da 27 = 128
lb256=8,da 28 = 256
lb512=9,da 29 = 512
lb1024=10,da 210 = 1024
......

  1
lb-= - 1
  2
    -1  1
da 2  = -
        2

  1
lb-= - 2
  4
    -2  1
da 2  = -
        4
......
y=lb(x) 2y = x


y= lb(x) ist die Zahl, mit der ich zwei potenzieren muss, um x zu erhalten.

y= lb(x) «=» x=2y

Lösung der Vorübung:
a) Die gesuchte Zahl ist 5, da 25 = 32 ist.
b) Sie wird als lb(32) geschieben, da lb(32) = 5 dasselbe bedeutet wie 25 = 32.

Bemerkung: Auf den üblichen Schultaschenrechnern findet man nur den 10-Logarithmus log oder den natürlichen Logarithmus ln. Den Zweierlogarithmus erhalten Sie dann mit der Formel:
        log(x)              ln(x)
lb(x) = —————  oder lb(x) = —————
        log(2)              ln(2)



                         log32   1,505
Rechnen Sie nach: lb32 = ————— = ————— = 5
                         log2    0,301

Beispiele:
IntervallFrequenzverhältnisLogarithmusin Cent
Prim1:1lb(1)=00
1 Oktav2:1lb(2)=11200
2 Oktaven4:1lb(4)=22400
3 Oktaven8:1lb(8)=33600
1 Quint3:2lb(3/2)=0,585702
2 Quinten9:4lb(9/4)=1,1701404
G=2Qui-1Ok (großer Ganzton)9:8lb(9/8)=0,170204
Quart4:3lb(4/3)=0,415498
große Terz5:4lb(5/4)=0,322386
kleine Terz6:5lb(6/5)=0,263316
G-=gT - G (kleiner Ganzton)10:9lb(10/9)=0,152182
Halbton16:15lb(16/15)=0,093112
große Sext5:3lb(5/3)=0,737884
kleine Sext8:5lb(8/5)=0,678814
große Septime15:8lb(15/8)=0,9071088
kleine Septime (in C-Dur gf)16:9lb(16/9)=0,830996


Wer sich etwas im logarithmischen Rechnen üben will, sei an folgende logarithmischen Regeln erinnert
                          u                            z
lb(u·v) = lb(u)+lb(v), lb(-) = lb (u)  - lb(v) und lb(u ) = z·lbu
                          v
(Interpreation: Frequenzverhältnisse werden mulipliziert oder dividiert, die zugehörigen Intervalle aber addiert oder subtrahiert.)


Damit können Sie folgende Rechnung nachvollziehen:

        3               5                     3     5        3 5       6
Qui = lb-Ok und  gT = lb-Ok  =» Qui - gT = (lb- - lb-)Ok = lb-:-Ok = lb-Ok
        2               4                     2     4        2 4       5

                        6
Bekanntlich ist Qua = lb-Ok. Wir haben also Qua = Qui - gT nachgerechnet.
                        5

—————————————————————————————————————————————————————————————

                       log(x)
Auch die Regel lb(x) = —————— läßt sich damit herleiten:
                       log(2)


Herleitung: Setze y = lb(x). Dann folgt:


                   y                                         y
                  2 = x   Auf beiden Seiten log ... mit log(2 ) = y·log(2)


           y·log(2) = log(x)


                      log(x)
                  y = ——————
                      log(2)


                                     log(x)
Somit ist nachgewiesen, dass lb(x) = —————— ist.
                                     log(2)

Bemerkung zu Logarithmengleichungen:
                                          a             a
Die Gleichung lb x = a hat die Löung x = 2 . Probe: lb 2 = a


Beispiele:

                 3                              3
lb x = 3 =» x = 2 = 8      Probe: lb 8 = 3, da 2 = 8

                  -5   1              1            -5    1    1
lb x = - 5 » x = 2  = ——   Probe: lb —— = - 5, da 2  =  —— = ——
                      32             32                  5   32
                                                        2
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