Start Musik Lektionenübersicht
4. Lektion: Das Centmaß für Intervalle
Siehe auch: Erläuterung für Nichtmathematiker zu den Cent-Angaben für Tonhöhenunterschiede
Vieles vn diesem Atikel wurde nach
Wikipedia
übertragen und dort (meist) von Mitautoren verbessert.
Kurzgefasst wird im Folgenden erklärt:
Als Einheit wählen wir die Oktave.
Jedes Intervall kann als Vielfaches der Oktav dargestellt
werden.
Zum Beispiel Qui=0,585Ok.
Die Oktave wird in 1200 Cent (12 Halbtöne) unterteilt:
1Ok = 1200Cent.
Dann gilt zum Beispiel für die Quinte
Qui=0,585Ok=0,585·1200 Cent =702Cent.
Der Zusammenhang Frequenzverhältnis zu Intervall ist ein
logarithmischer.
Die Centangabe wird vorteilhaft bei Verstimmungen
verwendet. Grob gesagt:
- Abweichung bis 10 Cent - wie bei mitteltönigen
Stimmungen, bei denen nur C-Dur nahe Akkorde verwendet
werden, bringen im Vergleich zur reinen Stimmung Farbe in die
Musik.
- Mit 15 Cent Abweichung hat man sich schweren Herzens
abgefunden. Anders könnte man auf Tasteninstrumenten
nicht alle Tonleitern spielen.
- Fürchterlich klingen Verstimmungen um die 40 Cent
(ein Fünftel eines Ganztones) wie zum Beispiel beim
"Wolf" bei der ansonsten so herrlichen mitteltönigen
Stimmung, bei Cis-Des oder bei
As-Fis.
Nun Ausführlich:
In unserer Vorstellung haben zwei gleiche Oktaven,
allgemein zwei gleiche Intervalle, immer denselben Abstand.
Wir sprechen von 1, 2, 3 Oktaven u.s.w. Die
Frequenzverhältnisse sind jedoch 2, 4, 8 u. s. w.
Veranschaulichung der Frequenzverhältnisse im Gegensatz zu
unserer Vorstellung:
|
Maßstab: Frequenzen:
|
Interpretation: -1Ok: Eine Oktave tiefer (Frequenzverhältnis 1:2)
0Ok: Prim (Frequenzverhältnis 1:1)
1Ok: Eine Oktave höher (Frequenzverhältnis 2:1)
2Ok: Zwei Oktaven höher (Frequenzverhältnis 4:1)
3Ok: Drei Oktaven höher (Frequenzverhältnis 8:1)
|
Maßstab: Unser Höreindruck (das
Weber-Fechnersche Gesetz):
|
Mit der Bezeichnung: lb ist der Logarithmus zur Basis 2 und der
Feinunterteilung: 1Ok = 1200Cent)
Intervall =
lb(Frequenzverhältnis)·Ok
y
= lb(x)Ok = lb(x)·1200Cent
(Das Intervall y als Teil der Oktave Ok in Abhängigkeit
vom Frequenzverhältnis x)
Zum Beispiel ist das
Frequenzverhältnis von 3 Okaven x = 2·2·2
= 23 = 8 und damit das Intervall y =
lb(8)Ok = 3Ok (muß ja so sein!).
Begründung:lb(8) ist der Zweierlogarithmus von 8, also die
Zahl, mit der ich zwei potenzieren muß, um 8 zu erhalten,
somit lb(8) = 3. Der Zweierlogarithmus macht das Potenzieren
rückgängig.
Allgemein ist der Zweierlogarithmus lb(x) als die Zahl
definiert, mit der man zwei potenzieren muß, um x zu
erhalten:
y
y=lb(x) <=> 2 = x Der Zweierlogatithmus und die Potenzen zur Basis 2 sind als
Funktionen betrachtet Umkehrfunktionen von einander.
Ausführlicher: siehe Einführung in den Logarithmus.
Jedes Intervall wird nun auf die Oktav bezogen mit dem Maß
Cent.
Zum Beispiel:
1 Ok = 1 200 Cent
2 Ok = 2 400 Cent
3 Ok = 3 600 Cent
...
Das Frequenzverhältnis von einer, von zwei, von drei, ...
Oktaven ist 2,4,8 ...
Mit den Beziehungen 1 = lb(2), 2 = lb(4), 3 = lb(8), ...
können wir deshalb auch schreiben:
1 Ok = lb(2)·1200 Cent
2 Ok = lb(4)·1200 Cent
3 Ok = lb(8)·1200 Cent.
Die übrigen Intervalle berechnen sich dann entsprechend:
3
Qui = lb(-)·1200 Cent = 702 Cent
2
4
Qua = lb(-)·1200 Cent = 498 Cent
3
...
Bemerkung:
In der gleichförmigen Stimmung mit dem Halbton h = 100
Cent gilt:
Qui(gleichstufig) = 7 h = 700 Cent und
Qua(gleichstufig) = 5 h = 500 Cent.
Die feinen Unterschiede zwischen reiner und gleichstufiger
Stimmung werden in Lektion 5 erklärt.
Noch ein Beispiel:
gT = lb(5/4)Ok = 0,321 928Ok = 0,321 928·1200 Cent = 386
Cent
Mit gT = 0,321 928Ok wird zum Ausdruck gebracht:
Die große Terz ist das 0,321 928-Vielfache der Oktave.
Grob abgeschätzt: Die große Terz ist
ungefähr ein Drittel einer Oktav, da drei
große Terzen aufeinandergetürmt ungefähr eine
Oktave ergeben.
Da 1 Oktave = 1200 Cent umfaßt, ist mit dem feinen
Maß Cent ausgedrückt:
gT = 0,321 928·1200 Cent = 386 Cent (gerundet).
Der große Nachteil ist, dass die Reinheit von Intervallen,
deren Frequenzverhältnis einfache Verhältnisse sind,
in der Centschreibeweise nicht erkennbar ist, der Vorteil ist
ihre gute Vergleichbarkeit.
Bemerkung: In dem Werk "Teilung des Kanons" (siehe 6. Lektion) addiert Euklid die Intervalle
Qua+Qui=Ok und bemerkt dazu, dass dies der Multiplikation der
Verhältnisse (4:3)·(3:2) = (2:1) entspricht.
Er wußte auch, dass die Qui ungefähr der 7/12-te Teil
der Oktave ist (12 Quinten fast gleich 8 Oktaven). Er kannte
noch keine Dezimalzahlen (7/12 = 0,583) und noch
keine Logarithmen (lb(3/2)=0,585).
Wenn wir Qua + Qui = 498 Cent + 702 Cent = 1 200 Cent, oder
etwas genauer Qua + Qui = 498,044 999 135 Cent + 701,955
000 865 Cent = 1 200 Cent, schreiben, wird nicht einmal
erkennbar, dass das zugehörige Zahlenverhältnis
rational ist.
Die Probe:
498,044 999 135 Cent 498,044999135/1200
2 = 2 = 1,333 333 333
zeigt uns ebenfalls nicht mit absoluter Sicherheit, dass das
Verhältnis 4/3, also die Quart, dahinter steckt.
Vom Höhren her ist Qui=lb(3/2)Ok (Interpretation Qui =
0,585-te Teil der Oktave) nicht nachvollziebar, da lb(3/2)
irrational ist. Das heißt: Es gibt kein gemeinsames
kleineres Intervall, dessen Vielfaches die Oktave und ein
anderes Vielfaches die Quinte ist.
Allgemein gilt: Vom Hören her kann man Intervalle nicht
beliebig teilen. Ich kann nur feststellen, ob Vielfache eines
Intervalls größer als Vielfache eines anderen
Intervalls sind und damit Intervalle äußerst genau
vergleichen.
Durch die geniale pythagoreische Zuordnung von Intervallen zu
Verhältnissen wurde die Vergleichbarkeit
mathematisiert.
Auch für uns "moderne" Menschen ist die Aussage Qui =
lb(3/2)Ok unwesentlich. Wir können damit allenfalls
musikalische Aussagen besser nachrechnen.
Berechnung von Frequenzverhältnissen
Wie kann ich nun umgekehrt aus
Intervallen als Teil der Oktave die Frequenzverhältnisse
wieder berechnen?
1. Beispiel: Welches Frequenzverhältnis x hat das
Intervall y=7 Oktaven?
Lösung: Wir müssen die Gleichung y=lb(x)=7 nach x
auflösen.
Erinnern wir uns:
y=lb(x) <=> 2y = x. Auf unser Beispiel
angewandt: 7 = lb(x) <=>27=x.
Somit gilt für das Frequenzverhältnis x von 7
Oktaven: x = 27=128.
2. Beispiel: Welches Frequenzverhältnis x hat das
Intervall y = gT = 0,322Ok?
0,322 4
Lösung: lb(x)=0,322 <=> x=2 =1,25 = - (Frequenzverhältnis der großen Terz)
5
Wir haben hier mit Näherungswerten gerechnet. Die exakte Rechnung lautet:
5
lb(-)
5 4 5
y=lb(-) = lb(x) => x =2 = - .
4 4
y lb(x)
Allgemein gilt: lb(2 ) = y und 2 = x.
3. Beispiel Wir wiederholen das 2. Beispiel, diesmal
jedoch im Centmaß:
Welches Frequenzverhältnis x hat das Intervall y = gT =
386Cent?
Lösung: Wir müssen zunächst durch 1200
dividieren, da 1Ok = 1200 Cent sind.
386
y=lb(x)Ok=lb(x)·1200Cent=383Cent => lb(x) = ———— = 0,322
1200
0,322 5
und damit wieder x = 2 = 1,25 = -
4
Allgemein:
Aus dem Centmaß y = lb(x)·1200 Cent berechnet sich
das Frequenzverhältnis über die Umformung
y
—————————
y 1200 Cent
lb(x) = ———————— zu x = 2
1200Cent
702
————
1200
Beispiel: a) y = 702 Cent => x = 2 = 1,500 038
3
Ohne Rundungsfehler wäre x = -, also y = reine Quinte.
2
b) y = 400 Cent (die große Terz bei der gleichstufigen Stimmung)
400 1
———— -
1200 3
=> x = 2 = 2 = 1,25992 (auf 5 Dezimalen gerundet)
Das Frequenzverhältnis ist irrational, kann also nicht als Bruch angegeben werden.
Überlegungen zum
Zweierlogarithmus für Mathematiker und Informatiker.
