Joachim Mohr   Mathematik Musik Delphi
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Notenschlüssel

Die musikalische Feinanalyse
II Zur Lehre der Modulationen
Notenschlüssel

Der Beitrag des Programms TTMusik zur Lehre der Modulationen


Dieses Kapitel verwendet nicht die Schreibweise des Eulerschen Tonnetzes
Statt c-d-,e-f-g-,a-,h-c wird die C-Dur-Tonleiter noch als c-d-e-f-g-a-h-c (ohne Tiefkomma) geschrieben u.s.w.
Einführung: Lektionen zur Musiktheorie

Hier werden Modulationen unter dem Gesichtspunkt der reinen Stimmung betrachtet.

Bei Dreiklängen handelt es sich eigentlich nicht um Modulationen. Der Einfachheit wegen wird trotzdem zum Beispiel die Dominante als Modulation bezeichnet. Es handelt sich in diesem Sinne einfach um die Entfernung von der Tonika, dem ruhenden Ton. Dabei wird diese Entfernung gemessen, die Dominante erhält die Maßzahl "dD", denn wie weiter unten erläutert wird, ändern sich beim Übergang von C-Dur nach G-Dur zwei Töne, einer um einen Halbton "D" und ein zweiter um ein syntonisches Komma "d", beide in Richtung Dominante.

Abweichend von der üblichen Beschreibung im "Quint-Terz-Tonnetz" erscheint mir eine Beschreibung übersichtlicher, die angibt, welche Töne der Tonleiter sich ändern und um welchen Betrag diese sich ändern. So sieht man bei folgenden Kadenzen sofort, dass es sich um eine Kommafalle handelt: Am Schluss sind die Töne ein Terzkomma zu tief bzw. zu hoch.

Es handelt sich um die Kadenz: Tonika (C-Dur), Parallele zur Subdominante (d-moll), Dominante (G-Dur), Tonika (C-Dur)

(Die Zwischentonarten verdeutlichen den Ort im Tonnetz)

C-dur C d e f g a h (Alle Tonleitern rein gestimmt)
F-Dur F g a b(S) c d-(s) e (eine Quinte tiefer)
(d-)-moll d-(s) e f g-(s) a b(S) c (eine Terz tiefer)
(D-)Dur D-(s) e fis-(Ds) g-(s) a h-(s) cis-(Ds) (Wechsel Dur-moll) [Hilfstonleiter zu G-Dur]
(G-)-Dur G(s) a h-(s) c-(s) D-(s) e-(s) fis-(Ds) (eine Quinte tiefer)
(C-)-Dur C-(s) d-(s) e-(s) f-(s) g-(s) a-(s) h-(s) (eine Quinte tiefer)
s = -21,5 Cent, S = -92,2 Cent, Ds = 70,7 Cent (wird weiter unten erklärt)
Interpretation:
"C d e f g a h c" bedeutet Tonleiter der Tonika C-Dur("C" gross geschrieben "Dur").
"F g a b(S) c d-(s) e" bedeutet Tonleiter der Subdominante F-Dur mit folgenden Veränderungen im Vergleich zu C-Dur:
    "h" wurde erniedrigt zu "b" um einen Halbtonschritt "(S)" in Richtung Subdominante und
    "d" wurde erniedrigt zu "d-" um ein Komma "(s)" in Richtung Subdominante.
d-(s) e f g-(s) a b(S) c bedeutet Tonleiter von d-moll ("d" klein geschrieben "moll") mit folgenden Veränderungen im Vergleich zu C-Dur:
    "d" wurde erniedrigt zu "d-" um ein Komma "(s)" in Richtung Subdominante,
    "g" wurde erniedrigt zu "g-" um ein Komma "(s)" in Richtung Subdominante und
    "h" wurde erniedrigt zu "b" um einen Halbtonschritt "(S)" in Richtung Subdominante.

und so weiter und schließlich (letzte Zeile)
"C-(s) d-(s) e-(s) f-(s) g-(s) a-(s) h-(s)" bedeutet:
    Zur ursprünglichen C-Dur Tonleiter hat sich jeder Ton um ein Komma "(s)" erniedrigt.

Das ist die klassische Kommafalle (siehe Riemann, 1896, S.130). In meinem System ist der D-Dur-Akkord nur ein gedachter Hilfasakkord zwischen dem d-moll und dem G-Dur-Akkord. Durch diesen gedachten Übergang "Dur-moll" und umgekehrt genügt es, nur noch Tonleitern im harmonischen Gefüge zu betrachten. Die Ergebnisse, die man auf diese Weise erhält, sind dieselben, die man mit Überlegungen über die Quinten- und Terzverwandschaften nach Helmholtz-Riemann erhalten würde. Ich finde: Auf diese Art sind die Ergebnisse sicherer zu erhalten. Jendfalls konnte ich dazu ein Computerprogramm erstellen.
(Meine ersten Versuche mit Quinten- und Terzschritten waren erfolglos. Der zusätzliche Schritt "Dur-Moll" und umgekehrt brachte den Durchbruch.)


Bemerkung: Riemann schreibt (nach Helmholz) die C-Dur Tonleiter folgendermaßen: c d e f g a h (e, a und h unterstrichen), um sichtbar zu machen, dass der Ganztonschritt von c nach d bzw. f nach g ein großer Ganztonschritt (G) mit dem (Frequenzverhältnis 9/8) und der Ganztonschritt von d nach e bzw. g nach a ein kleiner Ganztonschritt (G-) (mit dem Frequenzverhältnis 10/9) ist. Und damit sind die großen Terzen c-e, f-a und g-h rein und nicht mehr pythagoreisch. Im Vergleich zur pythagoräischen Tonleiter ist deshalb e, a und h ein Komma tiefer (deshalb unterstrichen). Zu erwähnen bleibt noch: Der Ganztonschritt von a nach h ist ein großer.

Auf diese Schreibweise wird hier verzichtet, da jede Tonleiter als rein angenommen wird. Das Augenmerk wird bei Modulationen auf die Veränderungen der Töne im Vergleich zur Ausgangstonart gelenkt. Im (d-)-Moll-Akkord (siehe 3. Zeile) schreibe ich jedoch "d-", um anzudeuten, dass hier das "d" im Vergleich zur C-Dur-Tonleiter um ein syntonisches Komma erniedrigt wurde.


Das zweite Beispiel ist konstruiert: Dur-Tonika, Moll-Tonika, Durparalle und im Quintenzirkel zurück.

C d e f g a h Dur
c d es+(Sd) f g as+(Sd) b+(Sd) moll (Wechsel Dur-moll)
Es+(Sd) f+(d) g as+(Sd) b+(Sd) c d Dur (eine Terz höher)
B+(Sd) c+(d) d es+(Sd) f+(d) g a+(d) Dur (eine Quinte höher)
F+(d) g+(d) a+(d) b+(Sd) c+(d) d e+(d) Dur (eine Quinte höher)
C+(d) d+(d) e+(d) f+(d) g+(d) a+(d) h+(d) Dur (eine Quinte höher)



Modulationen nach Stufen geordnet

Siehe auch: 7. Lektion.
Bezeichnungen bei Modulationen:
Wird ein Ton um einen Halbton erhöht, wird er zum Beispiel statt mit "f" mit "fis" bezeichnet.
In den Tonleitern weiter unten wird der erhöhte Ton genauer mit "fis(D)" bezeichnet. ("Modulation in Richtung Dominante").

Wird ein Ton um einen halben Ton erniedrigt, wird er zum Beispiel statt mit "g" mit "ges" bezeichnet (mit den üblichen Ausnahmen "es", "as" und "b".)
In den Tonleitern weiter unten wird der erniedrigte Ton genauer mit "ges(S)" bezeichnet. ("Modulation in Richtung Subdominante").

Wird ein Ton um ein (Terz-)Komma erhöht, wird er zum Beispiel statt mit "a" mit "a+" bezeichnet. In den Tonleitern weiter unten wird der erhöhte Ton genauer mit "a+(d)" bezeichnet. ("Modulation in Richtung Dominante").

Wird ein Ton um ein Komma erniedrigt, wird er zum Beispiel statt mit "d" mit "d-" bezeichnet.
In den Tonleitern weiter unten wird der erniedrigte Ton genauer mit "d-(s)" bezeichnet. ("Modulation in Richtung Subdominante").

Die Frequenzverhältnisse sind folgende:
fis:f = g:ges = 135:128 (D = 92,2 Cent, S = -92,2 Cent). Es handelt sich hierbei um den Unterschied Großer Ganzton (9/8) zum Halbton (16/15).
(a+):a = a:(a-) = 81:80 (d = 21,5 Cent. s = -21,5 Cent). Es handelt sich hierbei um den Unterschied zwei mal Großer Ganzton (9/8*9/8) zu großen Terz (5/4).
Modulation 1. Stufe Geänderte Töne  
C-Dur -> e-Moll f->fis(D) Übergang in die Paralleltonart (D:in Richtung Dominante)
c-Moll -> Es-Dur f->f+(d) Übergang in die Paralleltonart (d:in Richtung Dominante)
C-Dur -> a-Moll d->d-(s) Übergang in die Paralleltonart (s:in Richtung Subdominante)
c-Moll -> As-Dur d->des(S) Übergang in die Paralleltonart (S:in Richtung Subdominante)
     Der Übergang zur Paralleltonart wird hier unter dem Gesichtspunkt der reinen Stimmung als "Modulation 1. Stufe" bezeichnet, weil sich genau ein Ton ändert.

In dieser Untersuchung ist es gleichgültig, ob sich die Änderung um einen Halbton oder um ein Komma bezieht.

Und deshalb gibt es auch nicht die Bezeichung "Übergang in die Paralleltonart der Dominante". Sinnvoller ist dafür die Bezeichnung Übergang in die Paralleltonart in Richtung Dominante.

    (Genauer:
    D: um einen Halbton in Richtung Dominante.
    d: um ein syntonisches Komma in Richtung Dominante.)

Die Modulation 2. Stufe zur Dominante ist dann "dD" bzw. "Dd" und zur Subdominante "sS" bzw. "Ss" (siehe unten).

Im Kapitel Feinanalyse wird die "Mollparallele in Richtung Dominante" auch "dominantische Mollparallele" genant.



In den nächsten Tabellen erscheinen bei den "Übergängen" folgende Bezeichnungen für Modulationen und deren Hintereinanderausführungen. Dieses sind die Menüpunkte in TTMusik, um sich Tonleitern "ausrechnen" zu lassen.
T: Modulation 1. Stufe um eine Terz höher.
   Dur-Tonleiter in moll-Tonleiter: Große Terz.
   moll-Tonleiter in Dur-Tonleiter: Kleine Terz.

t: Modulation 1. Stufe um eine Terz tiefer.
   Dur-Tonleiter in moll-Tonleiter: kleine Terz.
   moll-Tonleiter in Dur-Tonleiter: große Terz.

Q=TT: Modulation 2. Stufe um eine Quinte höher (Zur Dominante).
q=tt: Modulation 2. Stufe um eine Quinte tiefer(Zur Subdominante).

m: Modulation von Dur in Moll und umgekehrt.
Modulationen 2. Stufe: Übergang Geänderte Töne
C-Dur -> G-Dur C e G(Q=TT) f->fis(D), a ->a+(d)
c-Moll -> g-Moll c Es g(Q=TT) f->f+(d), as->a(D)
C-Dur -> F-Dur C a F(q=tt) d->d-(s), h ->b(S)
c-Moll -> f-Moll c As f(q=tt) d->des(S), b ->b-(s)




Modulationen 3. Stufe: Übergang geänderte Töne
C-Dur -> h-Moll C e h(TQ)=C G h(QT) c->cis(d), f->fis(D), a ->a+(d)
c-Moll -> B-Dur c Es B(TQ)=c g B(QT) c->c+(d), f->f+(d), as->a(D)
C-Dur -> (d-)-Moll C a d(tq)C F d(TQ) d->d-(d), g->g-(s), h->b(S)
c-Moll -> Des-Dur c As Des(tq)=c f Des(qt) d->des(S), g->ges(S), b->b-(s)
     
c-Moll -> C-Dur (m) es->e(Ds), as->a(Ds), b->h(Ds)
C-dur -> c-Moll (m) e->es(Sd), a->as(Sd), h->b(Sd)


Das Frequenzverhältnis beim Übergang Dur in moll und umgekehrt ist e:es = d: des = 25/24. Es handelt sich hier um den Unterschied von großer zu kleiner Terz (Ds = 92,2 Cent - 21,5 Cent = 70,7 Cent. Sd = - 70,7 Cent).

Modulationen 4. Stufe: Übergang geänderte Töne
C-Dur -> D-Dur C G D(QQ) = C h D(QTT) c->cis(D), e->e+(d), f->fis(D), a->a+(d)
c-Moll-> d-Moll c g d(QQ) = c B d(QTT) c->c+(d), es->e(D), f->f+(d), as->a(D)
C-Dur -> B-Dur C F B(qq) = C d B(tqt) d->d-(s), e->es(S), g->g-(s), h->b(S)
c-Moll -> (b-)-Moll c f b-(qq) = C des b(tqt) d->des(S), es->es-(s),g->ges(S),b->b-(s)
     
C-Dur -> (Es+)-Dur C c Es+(mT) e->es+(Sd), f->f+(d), a>as+(Sd), h->b+(Sd)
C-Dur -> E-Dur C e E(Tm) c->cis-(Ds), d->dis(Ds), f->fis(D), g->gis-(Ds)
C-Dur -> (As+)-Dur C c As+(mt) d->des(S), e->es+(Sd), a->as+(Sd), h->b(Sd)
C-Dur -> A-Dur C a A(tm) c->cis-(Ds), d->d-(s), f->fis-(Ds), g->gis-(Ds)
     
c-Moll -> (e-)-Moll c C e(mT) es->e-(Ds), f->fis(D), as->a-(Ds), b->h-(Ds)
c-moll -> es-Moll c Es es(Tm) c->ces+(Sd), d->des+(Sd), f->f+(d), g->ges+(Sd)
c-moll -> (a-)-Moll c C a-(mt) d->d-(s), es->e-(Ds), as->a-(Ds), b->h-(Ds)
c-moll -> as-Moll c As a(tm) c->ces+(Sd), d->des(S), f->fes+(Sd), g->ges+(Sd)
     
C-dur -> g-Moll C c g(mQ)=C G g(Qm) e->es+(Sd), f->f+(d),a->a+(d),h->b+(Sd)
C-dur -> f-Moll C c f(mq)=C F f(qm) d->des(S), e->es+(Sd), a->a+(Sd),h->b(S)
c-moll -> G-Dur c C G(mQ)=c g G(Qm) e->e-(Ds), f->fis(D),aa->a(D), b->h-(Ds)
c-moll -> F-Dur c C F(mq)=c f F(qm) d->d-(s), es->e-(Ds), as->a-(Ds), b->b-(s)
C-dur -> (cis-)-Moll C e E cis-(Tmt=tmT) c->cis-(Ds), d->dis-(sD), f->fis-(Ds), g->gis-(Ds)
c-moll -> (Ces+)-Dur c Es es Ces+(Tmt=tmT) c->ces(Sd), d->des+(Sd), f->fes+(Sd), g->ges+(Sd)


Modulationen 5. Stufe: Übergang geänderte Töne
C-Dur -> fis-moll C G D fis(QQT) c->cis(D), e->e+(d), f->fis(D), g->gis(D), a->a+(d)
c-Moll-> (F+)-Dur c g d f+(QQT) c->c+(d), es->e(D), f->f+(d), g->g+(d), as->a(D)
C-Dur -> (g-)-moll C F B g-(qqt) c->c-(s), d->d-(s), e->es(S), g->g-(s), h->b(S)
c-Moll -> Ges-Dur c f b- Ges(qqt) c->ces(S), d->des(S), es->es-(s),g->ges(S),b->b-(s)
     
C-Dur -> H-Dur C e h H(TQm=QTm) c->cis(D), d->dis-(Ds), f->fis(D), g->gis-(Ds), a->ais(D)
c-moll -> b-Moll c Es B b(TQm=QTm) c->c+(d), d->des+(Sd), f->f+(d), g->ges+(Sd), as->as+(d)
C-Dur -> (D-)-Dur C a d- D-(tqm=qtm) c->cis-(Ds), d->d-(s), f->fis-(Ds), g->g-(s), h->h-(s)
c-moll -> des-Moll c f Des des(qtm=tqm) c->ces+(Sd), d->des(S), f->fes+(Sd), g->ges(S), b=bes(S)


Die Modulation "abcd..." kann durch die Modulation "...d'c'b'a'" rückgängig gemacht werden, wobei gilt:

Modulationx T t Q q m
Inverse Modulationx' t T q Q m


Zum Beispiel ist "TQm" die Modulation von C-Dur nach H-Dur und "mqt" die Modulation von H-Dur nach C-dur oder von C-Dur nach Des-Dur.

In der folgenden Zusammenfassung erkennt man leicht die "Kommaverwechslungen".

Zum Beispiel: C-Dur nach D-Dur "QQ" (in "dominantische" Richtung) oder C-Dur nach (D-)-Dur "qtm" (in subdominantischer Richtung).

Die falsche Umkehrung "qq" zu "qtm" führt unweigerlich zum Komma-Falle, nämlich nicht nach C-Dur sondern (C-)-Dur: Ein (Terz-)Komma zu tief.

TTMusik zeigt dies folgendermaßen:

C-Dur C d e f g a h Ausgangstonart
F-Dur F g a b(S) c d-(s) e (eine Quinte tiefer)
(d-)-moll d-(s) e f g-(s) a b(S) c (eine Terz tiefer)
(D-)-Dur D-(s) e fis-(Ds) g-(s) a h-(s) cis-(Ds) (Wechsel Dur-moll)
(G-)-Dur G-(s) a h-(s) c-(s) d-(s) e-(s) fis-(Ds) (eine Quinte tiefer)
(C-)-Dur C-(s) d-(s) e-(s) f-(s) g-(s) a-(s) h-(s) (eine Quinte tiefer)

Zusammenfassung: Wie in TTmusik Modulationen berechnet werden

Die Reihenfolge ist, wenn nicht "m" vorkommt, beliebig!

C-Dur->Dur Cis Des(mqt) D-(qtm) D(QQ) Dis Es(qqq) Es+(mT) E(Tm) E+(QQQQ) F(q) Fis
  Ges G(Q) Gis As(qqqq) As+(mt) A(tm) A+(QQQ) Ais B(qq) H  
Interpretaion:
Für die Modulation von C-Dur nach Cis-Dur wird kein Vorschlag gemacht.
Die Modulation von C-Dur nach Des-Dur erfolgt durch "mqt", d.h.:
"m": Modulation von C-Dur nach c-moll,
"q": Modulation von c-moll um eine Quinte nach unten nach f-moll und
"t": Modulation von f-moll um eine Terz nach unten zur Paralleltonart Des-Dur.
...

C-Dur->moll c-(tqqq) c(m) cis-(tmT) cis(TQQQ) des d-(tq) dis es e(T) f(mq) fis(QQT)
  fis-(tMt) ges g-(qqt) g(Qm) gis as a(t) ais b h(TQ)  


c-moll->Dur C(m) Ces(tqqq) Ces+(Tmt) C(m) Cis Des(tq) D(mQQ) Dis Es(T) E F(mq)
  F+(QQT) Fis Ges(qqt) G(mQ) Gis As(T) A(t) Ais B(TQ) H  


c-moll->moll cis des(qtm) d(QQ) dis es-(qqq) es(Tm) e-(mT) e(QQQQ) f(q) fis
  ges(ggt) g(Q) gis as-(qqqq) as(tm) a-(mt) a(QQQ) ais b-(qq) b(QTm)
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