Joachim Mohr Mathematik Musik Delphi
Kubischen Gleichungen reduzieren
x3+ax2+bx+c=0. Durch die Substitution x=y-a/3 lässt sich die Gleichung umformen zu:y3+py+q=0. Das führt zur Gleichung
3 2 1 2 3 1 3
y +0·y +(-—a+b)y+——a -—ba+c also zur einer Form y +py+q=0
3 27 3
Über die Lösungen für y bekommt man dann auch die Lösungen für x.
Satz von Vieta für die Gleichung 3. Grades
Sind x1, x2 und x3 die Nullstellen von x3+ax2+bx+c so gilt:
x1+x2+x3=-a
x1·x2+x1·x3+x2·x3=b
x1·x2·x3=-c
x3+ax2+bx+c=(x-x1)·(x-x2)·(x-x3).
Tschirnhaus-Transformation (1683)
a - 1
n n-1 n-1
Die Gleichung x + a x + ... + a lässt sich mit y=x+ ——————— (falsch!!!!)
n-1 0 n-1
a
n n-1 n-1
Die Gleichung x + a x + ... + a lässt sich mit y=x+ ————— (so richtig. korr. 4.11.2023)
n-1 0 n
reduzieren zu einem Polynom, bei der der Faktor vor yn-1 den Wert 0 animmt.
Beispiel: Die Gleichung x3-3x2-3x-1 =0 wird durch die Substitution y=x-1 reduziert zu y3-6y-6=0.
Diese Gleichung kann man mit Hilfe der Cardanoformel lösen (siehe unten mit Restubstitution x=1+y).
— — 1 — 1 — 1 — — 1 — 1 — 1 — — —
x =1+∛2+∛4, x = 1-—∛2-—∛4+—i√3(∛4-∛2) und x = 1-—∛2-—∛4-—i√3(∛4-∛2)
1 2 2 2 2 3 2 2 2
Siehe auch hier
mit vielen Beispielen
Die Cardanoformel für x3+px+q=0
BAE 6
Vorübung: (1) (u+v)3=u3+3u2v+3uv2+v3=u3+v3+3uv(u+v).
(2) Ist w2+pw+q=(w-a)(w-b), so ist (w-a)(w-b)=w2-w(a+b)+ab.
Ist also von zwei Zahlen a und b die Summe a+b=-p und das Produkt ab=q bekannt, so sind sie Lösungen der Gleichung w2+pw+q.
Es ergibt sich x3+px+q=(u3+v3)+(3uv+p)(u+v)+q=0, wenn 3uv=-p und u3+v3=-q ist.
Von u3 und u3 ist die Summe u3+v3=-q und das Produkt u3·u3=-(p/3)3 bekannt.
Sie erfülle also die quadratische Gleichung w2+qw-(p/3)3=0 (siehe oben).
Die Lösung dieser Gleichung ergibt
—————————
3 3 q /q 2 p 3
u bzw. v=-—±\/(—) + (—) also
2 2 3
— —
3/3 3/3 3 3
x=u+v=√u + √v (u mit + und v mit -)
p — —
Nebenbedingung uv=-— für die komplexen ∛u bzw. ∛v
3
Beispiel:
x3-6x-6=0.
Die Gleichung w2-6w+8=0 hat die Lösungen w1=2 und w2=4,
Die Gleichung w2-6w+8=0 hat die Lösungen w1=2 und w2=4,
— — — —
Also u=∛2 und v=∛4 (uv=2). Somit ist x =∛2+∛4
1
— —
Die weiteren Löungen ergeben sich aus u=∛2·cis(120°) und v=∛4cis(240°) zu
1 — — 1 — — — —
x = -—(∛2+∛4)+ —√3i(∛2-∛4) und aus u=∛2·cis(240°) und v=∛4cis(120°) zu
2 2 2
1 — — 1 — — —
x = -—(∛2+∛4)+ —√3i(-∛2+∛4). Hier stets uv=2.
3 2 2
Casus irreducibilis
Dieser tritt dann auf, wenn die Gleichung 3. Grades drei reellwertige Lösungen besitzt: Die Geburtsstunde der komplexen Zahlen.Die Gleichung x3-8x -3=0 führt bei Cardano nicht auf x=3 sondern auf
———————— ———————— ————
3/3 19 3/3 19 / 5
x=√ — + ——s + √ — - ——s für s=√ - -
2 6 2 6 3
(BAE 14) Mit Rechnung in komplexen Zahlen ergibt dies tatsächlich: x=3.
Die Lösung dieser Gleichung erfolgt über komplexe Zahlen.
Rechnung mit Formel ergibt:
a=-5415, b=9+i√15, p=3, q=1, x1=3, x2=-3/2-1/2√5 und x3=-3/2+1/2√5
Sonderfälle
Zerlegung: x3+ax2+bx+c=(x2+px+q)(x+s)
I Sonderfall c=a·b
In diesem Fall ist p=0, q=b und s=a, da (x2+q)·(x+s)=x3+s·x2+q·x+q·sBeispiele:
3 2 2 x + 3x + 2x + 6 = (x + 2)(x + 3) Beachte: 6 = 3·2 3 2 2 x + 4x - 3x - 12 = (x - 3)(x + 4) -12 = 4·(-3) 3 2 2 x - x - 5x + 5 = (x - 5)(x - 1) 5 = (-1)·(-5) implementierbar: x^3+3*x^2+2*x+6 = (x^2+2)*(x+3) x^3+4*x^2-3*x-12 = (x^2-3)*(x+4) x^3-x^2-5*x+5 = (x^2-5)*(x-1)
II Sonderfall 8c=4ab-a3
3
Ist 8c=4ab-a , dann ist
3 2 2 4c
x + ax + bx + c = (x + p·x + q)(x + s) mit q = ———
a·a
a 2c a
und daraus ergibt sich: p = -, q = —— und s = -
2 a 2
Beispiele:
3 2 2 x + 2x + 4x + 3 = (x + x + 3)(x + 1) 3 2 2 x + 2x + 3x + 2 = (x + x + 2)(x + 1) 3 2 2 x - 4x + 3x + 2 = (x - 2x - 1)(x - 2) 3 2 2 x - 4x - x + 10 = (x - 2x -5)(x - 2) 3 2 2 x + 14x - 11x - 420 = (x + 7x - 60)(x + 7) implementierbar: x^3+2*x^2+4*x+3 = (x^2+x+3)*(x+1) x^3+2*x^2+3*x+2 = (x^2+x+2)*(x+1) x^3-4*x^2+3*x+2 = (x^2-2*x-1)*(x-2) x^3-4*x^2-x+10 = (x^2-2*x-5)*(x-2) x^3+14*x^2-11*x-420=(x^2+7*x-60)*(x+7)