Joachim Mohr   Mathematik Musik Delphi
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Siehe auch Berechnung mit Hilfe eines LSG

Die Faulhaber-Formel

Nach Johann Faulhaber ist folgende Formel zur Berechnung der Summe S(n,p) benannt.
          p    p    p          p    1   p+1     p+1    p+1     p         p+1
S(n,p) = 1  + 2  + 3  + ... + n  = ———[(   )B ·n    + (   )B ·n + ... + (   )B· n] mit
                                   p+1   0   0          1   1             p   p

                               m       m       m              m
                              ( )B    ( )B    ( )B          (   )B
             1      1    1     1  2    2  3    3  4          m-2  m-1
B  = 1; B  = -; B = - - ——— - ————— - ————— - ————— - ... - —————————  für m > 1
 0       1   2   m  2   m+1     2       3       4              m-1


                       1      1   1   1      1   1   1          1   1   1       1
Die Zahlen B = 1; B  = -; B = - - - = -; B = - - - - - = 0; B = - - - - - = -  ——;
            0      1   2   2  2   3   6   3  2   4   4       4  2   5   3      30

      1   1   5     1            1                1               5
B  =  - - - - —— + —— = 0; B  = ——; B = 0; B = - ——; B = 0; B  = ——; B  = 0;
 5    2   6   12   12       6   42   7      8    30   9      10  66   11

        691                7                  3617               43867
B  = - ————; B  = 0; B  =  -; B  = 0; B   = - ————; B  = 0; B  = —————; B  = 0; ...
 12    2730   13      14   6   15      16      510   17      18   798    19

heißen Bernoullizahlen.

                                                1
Im anderen Zusammenhang ist ausnahmsweise B = - -, die sonstigen Bernoullizahlen gleich,
                                           1    2

                                 n-1       n!
definiert durch B = 1 und B = - Summe B ·—————————  (k=1,2,3,...)
                 0         n     k=0   k k!(n-k+1)!

dann aber mit N=n+1

          p    p    p          p    1   p+1     p+1    p+1     p         p+1
S(n,p) = 1  + 2  + 3  + ... + n  = ———[(   )B ·N    + (   )B ·N + ... + (   )B· N]
                                   p+1   0   0          1   1             p   p

Die ist eine Erweiterung der folgenden Summenformeln, von denen die erste jedenfalls jedem Schüler wegen einer berühmten Anektode über den jungen Carl Friedrich Gauß bekannt ist:
                               n·(n+1)
S(n,1) = 1 + 2 + 3 + ... + n = ———————
                                  2

          2   2   2          2  1
S(n,2) = 1 + 2 + 3 + ... +  n = -n·(n + 1)·(2n + 1)
                                2

                                 2      2
          3   3   3          3  n ·(n+1)
S(n,3) = 1 + 2 + 3 + ... +  n = —————————
                                  4
Die Berechnung der Koeffizienten f(p,k) für

                   p+1          p               3          2          1
S(n,p) = f(p,p+1)·n   + f(p,p)·n  + ... f(p,3)·n + f(p,2)·n + f(p,1)·n

ist in folgendem Delphi-Programm dargelegt:
function n_ueber_k(n, k: integer): integer; //0<=k<=n
 {Hinweis: Diese Prozedur läßt sich beschleunigen, wenn man die
           Binominialkoeffizienten in einem Array speichert.}
begin
  if (k <=0) or (k >= n) then result := 1 else
    result := n * n_ueber_k(n - 1, k - 1) div k;  //rekursiv
end;

function bernoulli(m: integer): extended; //m=1,2,3,...
   {Hinweis: Diese Prozedur ist sehr ineffektiv. Sie läßt sich erheblich
             beschleunigen, wenn man die Bernoullizahlen in einem Array speichert}
  var j: integer;
begin
  if m <=0 then result := 1 else if m = 1 then result := 1/2 else Begin
     result := 1/2-1/(m+1);
     for j := 2 to m - 1 do
       result := result - n_ueber0(m,j-1)*bernoulli(j)/j; //rekursiv
  End;
end;

function f(p,k: extended): extended;   //k=1 ... p + 1
begin
  result := 1/(p+1)*n_ueber_k(p+1,k)*bernoulli(p+1-k); //Vorzahl von n^k
end;

Mit diesem Programm wurde errechnet:
1^1+2^1+3^1+ ... + n^1
=1/2*n^2 + 1/2*n^1

1^2+2^2+3^2+ ... + n^2
=1/3*n^3 + 1/2*n^2 + 1/6*n^1

1^3+2^3+3^3+ ... + n^3
=1/4*n^4 + 1/2*n^3 + 1/4*n^2

1^4+2^4+3^4+ ... + n^4
=1/5*n^5 + 1/2*n^4 + 1/3*n^3 - 1/30*n^1

1^5+2^5+3^5+ ... + n^5
=1/6*n^6 + 1/2*n^5 + 5/12*n^4 - 1/12*n^2

1^6+2^6+3^6+ ... + n^6
=1/7*n^7 + 1/2*n^6 + 1/2*n^5 - 1/6*n^3 + 1/42*n^1

1^7+2^7+3^7+ ... + n^7
=1/8*n^8 + 1/2*n^7 + 7/12*n^6 - 7/24*n^4 + 1/12*n^2

1^8+2^8+3^8+ ... + n^8
=1/9*n^9 + 1/2*n^8 + 2/3*n^7 - 7/15*n^5 + 2/9*n^3 - 1/30*n^1

1^9+2^9+3^9+ ... + n^9
=1/10*n^10 + 1/2*n^9 + 3/4*n^8 - 7/10*n^6 + 1/2*n^4 - 3/20*n^2

1^10+2^10+3^10+ ... + n^10
=1/11*n^11 + 1/2*n^10 + 5/6*n^9 - 1*n^7 + 1*n^5 - 1/2*n^3 + 5/66*n^1

1^11+2^11+3^11+ ... + n^11
=1/12*n^12 + 1/2*n^11 + 11/12*n^10 - 11/8*n^8 + 11/6*n^6 - 11/8*n^4 + 5/12*n^2

1^12+2^12+3^12+ ... + n^12
=1/13*n^13 + 1/2*n^12 + 1*n^11 - 11/6*n^9 + 22/7*n^7 - 33/10*n^5 + 5/3*n^3  - 691/2730*n^1

1^13+2^13+3^13+ ... + n^13
=1/14*n^14 + 1/2*n^13 + 13/12*n^12 - 143/60*n^10 + 143/28*n^8 - 143/20*n^6 + 65/12*n^4  - 691/420*n^2

1^14+2^14+3^14+ ... + n^14
=1/15*n^15 + 1/2*n^14 + 7/6*n^13 - 91/30*n^11 + 143/18*n^9 - 143/10*n^7 + 91/6*n^5 - 691/90*n^3 + 7/6*n^1

1^15+2^15+3^15+ ... + n^15
=1/16*n^16 + 1/2*n^15 + 5/4*n^14 - 91/24*n^12 + 143/12*n^10 - 429/16*n^8 + 455/12*n^6 - 691/24*n^4
 + 35/4*n^2

1^16+2^16+3^16+ ... + n^16
=1/17*n^17 + 1/2*n^16 + 4/3*n^15 - 14/3*n^13 + 52/3*n^11 - 143/3*n^9 + 260/3*n^7 - 1382/15*n^5
 + 140/3*n^3 - 3617/510*n^1

1^17+2^17+3^17+ ... + n^17
=1/18*n^18 + 1/2*n^17 + 17/12*n^16 - 17/3*n^14 + 221/9*n^12 - 2431/30*n^10 + 1105/6*n^8 - 11747/45*n^6
 + 595/3*n^4 - 3617/60*n^2

1^18+2^18+3^18+ ... + n^18
=1/19*n^19 + 1/2*n^18 + 3/2*n^17 - 34/5*n^15 + 34*n^13 - 663/5*n^11 + 1105/3*n^9 - 23494/35*n^7
  + 714*n^5 - 3617/10*n^3  + 43867/798*n^1

1^19+2^19+3^19+ ... + n^19
=1/20*n^20 + 1/2*n^19 + 19/12*n^18 - 323/40*n^16 + 323/7*n^14 - 4199/20*n^12 + 4199/6*n^10
 - 223193/140*n^8 + 2261*n^6 - 68723/40*n^4 + 43867/84*n^2
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