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FAQ

Wie löse ich die Gleichung x·ex=a nach x auf?

y=x*exp(x) Die Gleichung x·ex=a läßt sich elementar nicht nach x auflösen.

Du musst dazu ein numerisches Verfahren (zum Beispiel das Newton- oder Intervallhalbierungsverfahren) verwenden.

Da die Gleichung jedoch immer wieder mal auftaucht, gibt es Tabellen für die Lösung: die sogenannte Lambert'sche W-Funktion. (Manche Computerprogramme, zum Beispiel TTMathe haben diese Funktion integriert.)

Beachte jedoch, dass es für -1/e < a < 0 zwei Lösungen gibt.

Beispiele:
a) x·ex=2,2 => x=0,897
b) x·ex=-0,1
    => x1=-0,112 und x2=-3,577

Hinweis für Programmierer: Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, kann man für jeden y-Wert die Nullstelle der Hilfsfunktion h(x) = x·ex - y berechnen. Für y > 0 ist das Newtonverfahren das geeignete, für y < 0 nicht, da die Funktion h bei -1 eine waagrechte Tangente hat. Mit dem Intervallhalbierungsverfahren ist die Ermittlung der Nullstelle von h jedoch kein Problem. Für den Hauptwert lam(y) beginnt man mit dem Intervall (-1,0) für den Nebenwert Lam(y) mit dem Intervall (x,-1), wobei x < -1 so "eingefädelt" wird, dass h(x) positiv ist, da h(-1) negativ ist.

Viele andere Gleichungen lassen sich auf diese Fragestellung zurückführen:

lambert.gif
Dazu muss man beachten x·ex = a => x = lam(a).

Für -1/e < a < 0 gibt es noch die 2. Lösung x = Lam(a)
lam_neben.gif

Die Lambertsche W-Funktion

y=lam(x) Hauptzweig der Lambertsche W-Funktion

y=Lam(x) Nebenzweig der Lambertsche W-Funktion

Mehr zur Lambert'schen W-Funktion siehe MathWorld

Beispiel 1:
    x
    -                          x
    3     1                  - -
3·e   = - -x                   3
          e       =>     x·e     = -3e

                   x                              z
Substitution z = - -  führt auf die Gleichung: z·e = e
                   3

Die Lösung ist z = lam(e)=1 und somit x = - 3·lam(e) = -3

Beispiel 2:

   x
x·b = a  (a>0, b>0)

             x   xlnb                          xlnb
Lösung: Mit b = e     lautet die Gleichung  x·e    = a

                                        z   z
        Substitution z=xlnb führt auf  ———·e = a
                                       lnb

                    z
        Fertig!  z·e = a·lnb

        Die Lösung lautet: z = lam(a·lnb) (Für a>0,b>0 genau eine Lösung)

        Rücksubstition: xlnb = lam(a·lnb)

                      lam(a·lnb)
        Ergebnis: x = ——————————
                        lnb

                         x                        lam(10ln2)
        Zum Beispiel: x·2 = 10 hat die Lösung x = —————————— = 2,190 601 218
                                                     ln2

Beispiel 3:

x + lnx = a

          x + lnx    a       u + v   e  v      lnx
Lösung:  e        = e . Mit e     = e ·e  und e   = x folgt:

            x   a                   a
         x·e = e . Lösung: x = lam(e )

                                                           2
         Zum Beispiel: x + lnx = 2 hat die Lösung x = lam(e ) = 1,557 146

Beispiel 4:

a·x + b·lnx = c
                            a          c
                            -x + lnx   -
         a          c       b          a
Lösung:  -x + lnx = -  =>  e        = e   =>
         b          a

           a      c
           -x     -
           b      a                     a
        x·e    = e   Substitution:  z = -x
                                        b
               c              c
               -              -
       b   z   a       z  a   a
       -z·e = e  => z·e = -·e   . Fertig!
       a                  b

                    c
                    -
                a   a
       z = lam( -· e ) und somit:
                b

                             c
                             -
                         a   a
                   b·lam(-·e   )
                         b
         Also: x = —————————————
                        a

                                                    1      3
         Zum Beispiel: 2x+lnx=3 hat die Lösung: x = -lam(2e ) = 1,349 962
                                                    2

                                             2x    3            3
         Der Geübte rechnet: 2x+lnx=3 => 2x·e  = 2e => 2x=lam(2e ) Fertig!

Beispiel 5:

ax + q· log x = c, wobei   log der Logarithmus zur Basis p sei.
       p                  p

             lnx          q
Mit  log x = ——— und b = ——— kann man wie in Beispiel 4 rechnen.
    p        lnp         lnp

Beispiel 6:

 x   a                                    a       lna
a = x    hat die Lösung x = a und  x = - ———lam(- ———) für x,a > 0.
                                         lna       a

             x   a
Herleitung: a = x  => xlna - alnx = 0. Nun kann man wie in Beispiel 4 rechnen:

                       lna
                     - ———x
  lna                   a                           lna              a
- ———x - lnx =0 => xe       = 1. Substitution z = - ———x oder x = - ———z ergibt:
   a                                                 a              lna

  z    lna                   lna             a       lna
ze = - ——— . Somit z = lam(- ———) und x = - ———lam(- ———)
        a                     a             lna       a

                             lna
I Genau eine Lösung, wenn  - ——— ≥ 0 , d.h. 0 < a ≤ 1.
                              a

                               1     lna
II Genau zwei Lösungen, wenn - - < - ——— < 0. d.h. a > 1.
                               e      a

                                         lna      1
III Grenzfall: Genau eine Lösung, wenn - ———  = - -, also a = e.
                                          a       e

                                    lna                       1
Hilfsmittel: Das Schaubild von a -> ——— hat den Hochpunkt H(e|-).
                                     a                        e

Zusammenfassung

 x   a
a = x  hat für 0 < a ≤ 1 und a = e die

triviale Lösung x = a.

Für a > 1 und a ≠ e gibt es außer der

trivialen Lösung x=a noch eine zweite

              a       lna
Lösung x = - ———lam(- ———).
             lna       a

Diese Werte lassen sich nur näherungsweise

berechnen.


Hochinteressant sind die beiden Zweige
        a       lna
x1 = - ———lam(- ———)  und
       lna       a

        a       lna
x2 = - ———Lam(- ———).
       lna       a
lam3.gif
Siehe dazu auch die folgende Fragestellung?
Wann hat die Gleichung xy = yx eine weitere Lösung außer x=y?
Beispiel 7:

                                                   y
Die Gleichung y=a·x·ln(b·x) hat die Lösung  x = —————————
                                                       y
                                                a*lam(——)
                                                      ba

                            y                  y
Herleitung: y=ax·ln(bx) => —— = ln(bx) => exp(——) = bx
                           ax                 ax

                  y        y                  by
Substitution z = —— , x = —— ergibt: exp(z) = ——
                 ax       az                  az

                          by
Daraus folgt:  z·exp(z) = ——. Also mit der Lambert'schen W-Funktion:
                           a

         y            y               y
z = lam(——)   Mit x= ——  folgt: x = ——————————
        ba           az                   by
                                    a·lam(——)
                                           a

Beispiel 8: Die Gleichung xx = a kann durch x·ln(x)=ln(a) auf Beipiel 7 zurückgeführt werden:

Lösung:
   ln(a)
x= ——————————
   lam(ln(a))

Für a=7 ist zum Beispiel mit x=2,316 454 958 785 612 3

                  2,3164549587856123
2,3164549587856123                   = 7


Wann hat die Gleichung xy = yx eine weitere Lösung außer x=y?

Anwort: Wir setzen im Folgenden x > 0 und y > 0 voraus.

 y   x                     lnx   lny
x = y  <=> ylnx = xlny <=> ——— = ———
                            x     y
                                       lnx
Betrachten wir nun die Funktion f(x) = ———.
                                        x
Dann lautet unsere Frage: Wann ist f(x) = f(y) für x ≠ y ?

lnxdurchx.gif
Zu untersuchen ist also: Wann ist f nicht injektiv (nicht eineindeutig)?

Am besten sieht man das am Schaubild: Für x > 1 gibt es außer für x ≠ e noch eine zweite Lösung der Gleichung f(x) = f(y).

                               ln2   ln4        4   2
Zum Beispiel f(2) = f(4), d.h. ——— = ———  also 2 = 4   oder
                                2     4

                              ln1,371288575   ln10                 10    1,371288575
f(1,371288575) = f(10), d.h.  ————————————— = ———— also 1,371288575  = 10           .
                               1,371288575     10

Siehe dazu auch das Beispiel 6 zu der Lambertschen Funktion

Was ist hier faul?

        ——   ——     —————————     -
 -1 = \/-1·\/-1 = \/(-1)·(-1) = \/1 = 1
Bei den "komlexen Zahlen" handelt es sich um einen Zahlenbereich, der die reellen Zahlen umfaßt, bei dem es aber noch eine weitere Zahl i gibt mit i2 = -1. Diese Zahl wird fälschlicherweise häufig mit "Wurzel von -1" bezeichnet.

Das Falsche daran ist, dass "Wurzel von -1" als Lösung der Gleichung x2= -1 nicht eindeutig ist. Im reellen Zahlenbereich hat die Gleichung keine Lösung, im komplexen Zahlenbereich jedoch zwei Lösungen.


Antwort: Das Problem ist hier, dass Du eine für reelle Zahlen>=0 gültige Regel
      -   -     ———
    \/a·\/b = \/a·b (Produktregel)
ohne Bedenken auch fuer andere Werte verwendest. Es gibt keine Funktion
   ——                         -2
"\/  "  mit der Eigenschaft \/x  = x
für Werte ausserhalb der reellen Zahlen ≤ 0, die die obigen Eigenschaft hat. Man könnte zwar willkürlich
    ——
  \/-1 := i
definieren, aber dann darf man die obige Produktregel nicht anwenden, weil sie halt nicht gilt.

Nochmal das Fazit: Es gibt keine eindeutig definierte Wurzelfunktion für Werte ausserhalb der Zahlen ≥ 0, für die die Produktregel gilt.(Horst Kraemer).


    


- Manchmal spricht man vom Hauptwert √a der Quadratwurzel aus a ε C. Es ist aber davor zu warnen, das Wurzelzeichen gedankenlos zu verwenden.

Noch ein Beispiel gedankenloses Rechnens:
             ——      -
      ——   \/-1    \/1    1
i = \/-1 = ———— = ———— =  - = - i => i = 0 (falsch!!!)
             -      ——    i
           \/1    \/-1

Frage:

Ich schreibe gerade an einem Programm zur ganzzahligen Optimierung. Dabei rufe ich ein externes Programm auf, das mir einfache Brüche als Dezimalzahlen zurückliefert. Zum Beispiel: statt 4/3 wird 1.333...33 geliefert.

Das Dumme: Mein Computer kann ja nicht "sehen", dass 1.333...33 ein einfacher Bruch ist. Gibts für solche Probleme einen Algorithmus, der das dann auf ganzzahlige Koeffizienten bis auf eine gewisse Ungenauigkeit annähert?

Antwort: Ja. Das Stichwort dazu heißt Kettenbruch. Dort ist auch ein Algorithmus dazu aufgeführt (Euklidischer Algorithmus). Diesen Algorithmus findest Du umgesetzt in Delphi als Funktion Reell Zu Bruch
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