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FAQ

Frage: Was ist der Unterschied zwischen stetigem Wachstum und diskretem Wachstum?

(lineares, exponentielles und beschränktes Wachstum)



Antwort: stetiges (kontinuierliches) Wachstum bedeutet, dass in jedem Moment etwas hinzukommt (Beispiel: Vermehrung von Bakterien), diskretes Wachstum, dass erst nach jeder Zeiteinheit etwas hinzugeschlagen wird (Beispiel: Zinszahlung).

Häufig dient die Betrachtungsweise des diskreten Wachstums als Näherung des stetigen Wachstums, wenn nur die Zeiteinheit genügend klein gewählt wird.

Ebenso häufig beschreibt man mit stetigem Wachstum die Idealisierung eines diskreten Wachstums (zum Beispiel beim radioaktiven Zerfall das negative Wachstum: die Atome zerfallen diskret, aber in einer Winzigkeit, die zu erfassen sich nur im atomaren Bereich lohnt.)
Ich werde den Unterschied an Hand folgender Wachstumsvorgänge verdeutlichen
  1. Exponentielles Wachstum
  2. lineares Wachstum (kein Unterschied zwischen stetig und diskret)
  3. Beschränktes Wachstum (zwei Beispiele)

Dabei betrachten wir bei I. und II. die Funktion t -> f(t) mit f(0) = a mit a = 100, dem Wachstumsfaktor k mit k = 10% = 1/10 = 0,1 und der Zeiteinheit t mit t = 1 Jahr.

I Exponentielles Wachstum

a) Diskretes Wachstum mit folgender Voraussetzung: f(0) = 100 und nach jedem Jahr kommt 1/10 oder 10% des Bestandes dazu.

   f(0) = 100

   f(1) = 100 + 10      = 110

   f(2) = 110 + 11      = 121

   f(3) = 121 + 12,1    = 133,1

   f(4) = 133,1 + 13,31 = 146,41

   ....

   Allgemeiner formuliert:

   f(0) = 100

                1                 1
   f(1) = 100 + ——·100 = 100·(1 + - )
                10                10

                 1                   1   
   f(2) = f(1) + ——·f(1) = f(1)·(1 + ——) 
                 10                  10  

                   1        1              1  2
        = 100·(1 + ——)·(1 + ——) = 100·(1 + ——)                                                                       
                   10       10             10    

                 1       
   f(3) = f(2) + ——·f(2)  
                 10       
                         
                    1              1  3 
        = f(2)·(1 + ——) = 100·(1 + ——)                  
                    10             10     

   ...
                   1  t           t
   f(t) = 100·(1 + ——)   = 100·1,1   (t ganze Zahl)
                   10
Allgemein:

  f(0) = a

  f(1) = a·(1 + k)

                  2
  f(2) = a·(1 + k)

  ...

                  t
  f(t) = a·(1 + k)

b) Stetiges Wachstum mit folgender Voraussetzung: f(0) = 100 und in jedem Moment kommt 10% = 1/10 = 0,1 pro Zeiteinheit des Bestandes dazu.

Den letzten Satz müssen wir genau erklären. Es handelt sich um die "momentane Änderungsrate". Sie wird aber ausgedrückt als "Änderung pro Zeiteinheit". Das ist missverständlich, wenn man nicht die genaue Definition kennt.

Auch beim freien Fall, bei dem die Geschwindigkeit zunächst wächst, sagt man: Nach zwei Sekunden ist die momentane Fallgeschwindigkeit 71 km pro Stunde.

Das bedeutet: Ist ein Stein 2 Sekunden frei gefallen, dann legt er in

                           km
der Zeit Δt die Strecke 71 ——·Δt zurück, 
                            h

zum Beispiel in der Zeit von 0,1 Sekunden

                  km           1000m
die Strecke von 71——·0,1s = 71·——————·0,1s 
                   h           36000s

                          = 1,9 m.       

Aber genau genommen ist diese Rechnung schon nicht mehr genau, da die Geschwindigkeit beim freien Fall nach diesen 0,1 weiteren Sekunden schon auf 74 km/h angewachsen ist.

Ich versuche das stetige Wachstum beim exponentiellem Wachstum folgendermaßen zu erklären:

1. (grobe) Näherung:

   Hat man zu einem Zeitpunkt t den Bestand f(t) so ist 

   er nach einer Zeiteinheit angewachsen auf ungefähr

          1
   f(t) + ——f(t). Die Änderung pro Zeiteinheit 
          10

                   beträgt also 0,1·f(t).

2. (schon bessere) Näherung:

   Hat man zu einem Zeitpunkt t den Bestand f(t) 

   so ist er nach einer halben

   Zeiteinheit angewachsen auf ungefähr

          1
   f(t) + ——f(t). Die Änderung pro 1/2 Zeiteinheit 
          20

                  beträgt also 0,05·f(t).       

   Nach einer Zeiteinheit beträgt die Änderung 

   dann 0,05·f(t) + 0,05·f(t + 0,5).

   
   Beachte: Wenn f(t) nicht konstant ist, erhält man im Vergleich zu 1. 
   
   einen kleinen Unterschied.    

3. (schon ganz gute) Näherung:

   Hat man zu einem Zeitpunkt t den Bestand f(t) so ist er nach einer

    1                                                 1
   ———— Zeiteinheit angewachsen auf ungefähr f(t) +  ————·f(t)
   1000                                              1000

   Dasselbe in Dezimalzahlen:

   Hat man zu einem Zeitpunkt t den Bestand f(t) so ist er nach

   0.001 Zeiteinheiten angewachsen

                                1
   auf ungefähr f(t) +  0.001· ——·f(t).
                               10

   Die Änderung ist also

                                  1
   f(t + 0.001) - f(t)) = 0.001· ——f(t).
                                 10

4. (allgemeine, noch diskrete) Näherung:

   Der Zuwachs pro (sehr kleiner) Zeit Δt ist

                        1
   f(t + Δt) - f(t)= Δt·——f(t)  
                        10

   oder als Quotient geschrieben:

   f(t + Δt) - f(t)    1
   ———————————————— = ——·f(t)
           Δt         10

5. Definition (stetiges Wachstum von 10%):

   "In jedem Moment kommt 1/10 pro Zeiteinheit des Bestandes dazu"

    bedeutet:

          f(t + Δt) - f(t)   1
    lim   ———————————————— = ——·f(t)
    Δt->0        Δt          10

    Was links steht ist nichts anderes als die Ableitung 

    (Schulmathematiker sagen dazu auch "momentane Änderungsrate").  

    Wir erhalten somit:

             1
    f'(t) = ——·f(t).
            10


Die Lösung dieser Differentialgleichung mit f(0) = 100 ist, wie man leicht nachrechnen kann:

                0,1·t
    f(t) = 100·e
Allgemein:

    f'(t) = k·f(t) mit f(0) = a

              kt
    f(t) = a·e


Vergleich:
exponentielles Wachstum
exponentielles Wachstum
t diskretes Wachstum stetiges Wachstum
0 100 100
1 110 110,517
2 121 122,14
3 133,1 134,986
4 146,41 149,182
5 161,051 164,872
6 177,156 182,212
7 194,872 201,375
8 214,359 222,554
9 235,795 245,96
10 259,374 271,828


Bemerkung: Würden wir beim stetigen Wachstum die monentane Änderungsrate nicht mit k = 10% sondern nur mit k = ln1,1 = 9,531% angeben, dann hätten wir gleiches Wachstum wie beim dikreten Wachstum mit 10%.

Anders ausgrdrückt: Bei einer momentanen Änderungsrate von 9,531% pro Jahr wächst bei exponentiellem Wachstum ein Bestand durch den Zinseszinseffekt jählich um 10%.

Dann ist

         1  t   (ln1,1)·t
    (1 + ——) = e
         10
Allgemein bei jährlichem Wachstum
um den Faktor k = 100·k%

         t     (ln(1+k))·t 
    (1+k)   = e



                  2    3    4
                 k    k    k
Da ln(1+k) = k - —— + —— - —— + ...
                 2    3    4

folgt für "kleines" k und t:

ln(1+k)≈k und damit (1+k)t ≈ ek·t

Das heißt: Der "Zinseszinseffekt" des stetigen Wachstum ist bei kleinem Wachstumsfaktor und kleiner Zeit vernachlässigbar.

Vergleich: Diskretes Wachstum und stetiges Wachstum nach einer Zeiteinheit (zum Beispiel nach einem Jahr) bei einem Angangsbestand von 100:
diskret stetig
100·(1+k)
Wachstum ohne
"Zinseszinseffekt"
100·ek
Wachstum mit
"Zinseszinseffekt"
k=1% 101 101,01
k=2% 102 102,02
k=3% 103 103,05
k=4% 104 104,08
k=5% 105 105,13
k=6% 106 106,18
k=7% 107 107,25
k=8% 108 108,33
k=9% 109 109,41
k=10% 110 110,52


                    1              2            3
Zur Erinnerung: 1%=———=0,01 , 2% =———=0,02, 3%=———=0,03, ... und
                   100            100          100

1% von 100 = 1, 2% von 100 = 2, 3% von 100 = 3, ...


II Lineares Wachstum

a) Diskretes Wachstum mit folgender Voraussetzung:

f(0) = 100 und
nach jedem Jahr kommt 1/10 oder 10% des Anfangsbestandes dazu.

   f(0) = 100

   f(1) = 100 + 10

   f(2) = 110 + 10 = 120

   f(3) = 120 + 10 = 130

   ....

   f(t) = 100 + 10·t

b) Stetiges Wachstum mit folgender Voraussetzung:

f(0) = 100 und
in jedem Moment kommt 1/10 oder 10% pro Zeiteinheit des Anfangsbestandes dazu.

Oder:

nach jedem Jahr kommt 10 hinzu.

nach jedem halben Jahr kommt 5 hinzu (Der Zuwachs nach einem Jahr ist wieder 10).

nach je 0.001 Jahren kommt 0.001·10 hinzu (Der Zuwachs nach einem Jahr ist wieder 10). .

...

Es ändert sich nichts. Wie beim diskreten Wachstum erhält man:
  f(0) = 100

  f(1) = 100 + 10

  f(2) = 100 + 20

  ...

  f(t) = 100 + 10·t
Allgemein:

  f(0) = a

  f(1) = a·(1+k)

  ...

  f(t) = a (1 + k·t)
Oder mit m=ak und c = a
  f(0) = c

  f(1) = m + c

  ...

  f(t) = m·t + c


Fazit: Beim linearem Wachstum gibt es keinen Unterschied zwischen diskret und stetig.
(Jedenfalls, wenn man nur am Jahresanfang die Werte betrachtet.)
Die Änderung ist proportional zur Zeit.
lineares Wachstum
lineares Wachstum
t diskretes Wachstum stetiges Wachstum
0 100 100
1 110 110
2 120 120
3 130 130
4 140 140
5 150 150
6 160 160
7 170 170
8 180 180
9 190 190
10 200 200

III Beschränktes Wachstum. Anfangswachstum 10%.

a) Diskretes beschränktes Wachstum mit folgender Voraussetzung:

f(0) = 100 und Grenzwert G= 1000
nach jedem Jahr kommt 1/90 oder 1 1/9% des Sättigungsmankos G - f(t) hinzu.
(Das Sättigungsmanko ist der Betrag, der bis zu dem Grenzwert noch fehlt.)

Der Faktor 1/90 wurde gewählt, damit im 1. Jahr 1/10 hinzukommt.


   f(0) = 100

                1
   f(1) = 100 + ——·(1000 - 100) = 110
                90

                1
   f(2) = 110 + ——(1000 - 110) = 119,89
                90

                   1
   f(3) = 119,89 + ——·(1000 - 119,89) =129,67
                   90

                   1
   f(3) = 129,67 + ——·(1000 - 129,67) =139,34
                   90

                   1
   f(3) = 139,34 + ——·(1000 - 139,34) =128,90
                   90

   ...

   Herleitung mit der Rekursionsformel:

                   1                  89        100
   f(k+1) = f(k) + ——·(1000 - f(k)) = ——·f(k) + ———
                   90                 90         9

         89       100
   Mit q=—— und v=———  sowie f(k+1) = q·f(k) + v folgt:
         90        9

   f(0) = 100

   f(1) = q·100 + v

                               2
   f(2) = q·(q·100 + v) + v = q ·100 + q·v + v

              2                          3             2
   f(3) = q·(q ·100 + q·v + v) + v = 100q + v(1 + q + q )

   ...

              t             2   3         t-1
   f(t) = 100q + v(1 + q + q + q + ... + q   )

   Mit der Summenformel für geometrische Reihen

                                        t
            2   3          t-1    1 - q
   1 + q + q + q  + ... + q    =  ——————— ( q≠1) erhält man
                                  1 - q
                      t
              t    1-q               89 t                  89 t
   f(t) = 100q + v·——— = 1000 - 900·(——)  = 1000·(1 - 0,9·(——) )
                   1-q               90                    90

   Man sieht:  lim f(t) = 1000.
               t->∞


Allgemein:

   f(0) = a

   f(t+1) = f(t) + k(G - f(t)) = f(t)(1-k) + kG

   Daraus folgt:

   f(0) = a

   f(1) = a·(1-k) + kG

                 2
   f(2) = a·(1-k) + kG(1-k) + kG

                 3          2
   f(3) = a·(1-k) + kG((1-k) + (1-k) + 1)

   ... ( siehe oben geometrische Reihe)

                t               t                     t
  f(t) = a·(1-k) + G(1 - (1 - k) ) = G - (G - a)·(1-k)

b) Stetiges beschränktes Wachstum mit folgender Voraussetzung:

f(0) = 100 und Grenzwert G = 1000
und in jedem Moment kommt 1/90 oder 10/9% des Sättigungsmankos G - f(t) pro Zeiteinheit hinzu.

Wie beim stetigen exponentiellen Wachstum gezeigt wurde, wird dadurch folgende Differentialgleichung definiert.

          1
  f'(t) = ——·(1000 - f(t)) mit dem Anfangswert f(0) = 100.
          90

  Die Lösung dieser Differentialgleichung ist - wie man nachrechnen kann -

                          1
                        - ——·t
                          90
  f(t) = 1000·(1 - 0,9·e      )


Allgemein:

  Die Lösung der Differentialgleichung

  f'(t) = k·(G - f(t)) mit f(0) = a ist

                -kt
  f(t) = G - c·e    mit c = G - a

Vergleich:
beschränktes Wachstum
beschränktes Wachstum
t diskretes Wachstum stetiges Wachstum
0 100 100
1 110 109,945
2 119,889 119,779
3 129,668 129,506
4 139,338 139,124
5 148,901 148,636
6 158,358 158,044
7 167,709 167,347
8 176,957 176,547
9 186,102 185,646
10 195,145 194,645


VI Beschränktes Wachstum. Anfangswachstum 90%.

In diesem Fall ist das Wachstum schneller. Es kommt jeweils 10% des Sättigungsmankos hinzu.

a) Diskretes beschränktes Wachstum mit folgender Voraussetzung:

f(0) = 100 und Grenzwert G= 1000
nach jedem Jahr kommt 1/10 oder 10% des Sättigungsmankos G - f(t) hinzu.
(Das Sättigungsmanko ist der Betrag, der bis zu dem Grenzwert noch fehlt.)

   f(0) = 100

   f(1) = 100 + 0,1·(1000 - 100) = 190

   f(2) = 190 + 0,1·(1000 - 190) = 271

   f(3) = 271 + 0,1·(1000 - 271) = 343,9

   ...

   Herleitung mit der Rekursionsformel:

   f(k+1) = f(k) + 0.1·(1000 - f(k)) = 0,9·f(k) + 100

   f(0) = 100

   f(1) = 0,9·100 + 100

                                                        2
   f(2) = 0,9·(0,9·100 + 100) + 100 = 100·(1 + 0,9 + 0,9 )

                                 2                            2     3
   f(3) = 0,9·(100·(1 + 0,9 + 0,9 ) + 100 = 100·(1 + 0,9 + 0,9 + 0,9 )

   Mit der Summenformel für geometrische Reihen

                                    n+1
            2   3          n   1 - q
   1 + q + q + q  + ... + q  = ———————— ( q≠1) erhält man
                                1 - q
                     t+1
              1 - 0,9                  t + 1                  t
   f(t) = 100·————————  = 1000·(1 - 0,9     ) = 1000 - 900·0,9
              1 - 0,9

   Man sieht:  lim f(t) = 1000.
               t->∞


b) Stetiges beschränktes Wachstum mit folgender Voraussetzung:

f(0) = 100 und Grenzwert G= 1000
und in jedem Moment kommt 1/10 oder 10% des Sättigungsmankos G - f(t) hinzu.

Wie beim stetigen exponentiellen Wachstum gezeigt wurde, wird dadurch folgende Differentialgleichung definiert.

  f'(t) = 0,1·(1000 - f(t)) mit dem Anfangswert f(0) = 100.

  Die Lösung dieser Differentialgleichung ist - wie man nachrechnen kann -

                        -0,1·t
  f(t) = 1000·(1 - 0,9·e      )            [Allgemeiner Fall: siehe III]



Vergleich:
beschränktes Wachstum
beschränktes Wachstum
t diskretes Wachstum stetiges Wachstum
0 100 100
1 190 185,646
2 271 263,142
3 343,9 333,264
4 409,51 396,712
5 468,559 454,122
6 521,703 506,07
7 569,533 553,073
8 612,58 595,604
9 651,322 634,087
10 686,189 668,909
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