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Beliebige Beispiele mit Erläuterungen vorrechnen lassen

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Was muss ein Oberstufenschüler häufig rechnen?
TTMathe rechnet es ihm vor!

Für besonders Wissbegierige wird vorgerechnet:


Download TTMathe

Lineare Gleichungssysteme

Wie werden diese in TTMathe eingegeben und gerechnet?

Beispiel 1:TTMathe erläutert zunächst wie Sie die Werte eingeben müssen

n=2 (Zahl der Unbekannten) m=2 (Zahl der Gleichungen)
5   -7  |9
-3   2  |4
Nach Klicken auf "Rechne" wird das folgende Gleichungssystem gelöst.
*************************************************
5*x1  - 7*x2 =9
-3*x1 + 2*x2 =4
*************************************************
*    Jetzt auf "Rechne Lin. Gl.-System" klicken *
*  (vorher Koeffizienten ändern)                *
*************************************************
Es wird versucht, ganzzahlig auf der linken Seite zu rechnen und das Ergebnis
als Bruch auszugeben.
Tipps *: Löschen Sie vorher dieses Feld mit "alles löschen".
      *: Übertragen Sie die Aufgabe und Ergebnisse mit "Kopieren" und "Einfügen".
      *: Der Trennstrich "|" kann, muss aber nicht eingegeben sein.
      *: Brüche - allgemein alle Rechenausdrücke ohne Leerstelle- sind erlaubt.
      *: Dezimalzahlen sind mit Punkt oder Komma erlaubt.
      *: Die Probe rechnet mit dem Ausgangsgleichungssystem.

TTMathe rechnet mit Ihren Werten folgendermaßen

n=2 (Zahl der Unbekannten) m=2 (Zahl der Gleichungen)
5   -7  |9
-3   2  |4
*********************
5       -7      | 9
-3      2       | 4
*********************
5       -7      | 9
0       1       | -47/11
*********************
1       0       | -46/11
0       1       | -47/11
*********************
x1=-46/11                        =-4,181 818 181 818 181 818
x2=-47/11                        =-4,272 727 272 727 272 727
o.K.  Probe mit Lösung (-46/11;-47/11)

Beispiel 2:TTMathe erläutert zunächst wie Sie die Werte eingeben müssen

n=5 (Zahl der Unbekannten) m=4 (Zahl der Gleichungen)
1/2   -0.5   0      0     -0,5     |1/2
0      0     -1      1     -1      |1/3
10/9   0    -20/9    0     10/9    |1/4
0     20      0    -10    -10      |1/5
******* Lineare Gleichungssysteme ********
Die Koeffizienten des LGS stehen in den ersten Zeilen.
Es handelt sich um 4 Gleichungen mit 5 Unbekannten.
Nach Klicken auf "Rechne" wird das folgende Gleichungssystem gelöst.
******************************************
1/2*x1  - 0,5*x2              -0,5*x5=1/2
        ...
           20*x2      -10*x4 - 10 *x5=1/5
*************************************************
*    Jetzt auf "Rechne Lin. Gl.-System" klicken *

*  (vorher Koeffizienten ändern)               *
*************************************************

TTMathe rechnet mit Ihren Werten folgendermaßen

n=5 (Zahl der Unbekannten) m=4 (Zahl der Gleichungen)
1/2   -0.5   0      0     -0,5     |1/2
0      0     -1      1     -1      |1/3
10/9   0    -20/9    0     10/9    |1/4
0     20      0    -10    -10      |1/5
*********************
1       -1      0       0       -1      | 1
0       0       1       -1      1       | -1/3
-1      0       2       0       -1      | -9/40
0       -2      0       1       1       | -1/50
*********************
1       -1      0       0       -1      | 1
0       0       1       -1      1       | -1/3
0       -1      2       0       -2      | 31/40
0       -2      0       1       1       | -1/50
*********************
1       -1      0       0       -1      | 1
0       0       1       -1      1       | -1/3
0       1       0       -2      4       | -173/120
0       -2      0       1       1       | -1/50
*********************
1       0       0       -2      3       | -53/120
0       0       1       -1      1       | -1/3
0       1       0       -2      4       | -173/120
0       0       0       1       -3      | 871/900
*********************
1       0       0       0       -3      | 2689/1800
0       0       1       0       -2      | 571/900
0       1       0       0       -2      | 889/1800
0       0       0       1       -3      | 871/900
*********************
x1=2689/1800  +3*x5              =1,493 888 888 888 888 889 +3*x5
x2=889/1800   +2*x5              =0,493 888 888 888 888 889 +2*x5
x3=571/900    +2*x5              =0,634 444 444 444 444 444 +2*x5
x4=871/900    +3*x5              =0,967 777 777 777 777 778 +3*x5
x5 beliebig
o.K.  Probe mit Lösung (2689/1800;889/1800;571/900;871/900;0)
o.K.  Probe(Variation mit x5) mit Lösung (8089/1800;4489/1800;2371/900;3571/900;1)

TTMathe-Menü "Rechne|Algebra Geometrie|Geometrie" führt auf ...

... Ebenen Geraden und Punkte im Raum
Berechnungen und Visualisierung

Umformung Parameterform der Ebene in Koordinatengleichung

TTMathe erläutert zunächst wie Sie die Werte eingeben müssen

Ebene Parameterform  p(4 2 3)    u(-3 -1 2)   v(-5 -4 1)
                      Aufpunkt      RV          RV
——————— Umformung Parameterform der Ebene in Normalform ————————
Hier im Beispiel handelt es sich um eine Ebene mit dem Punkt P
und den Richtungsvektoren u und v (Trennzeichen " " oder "|")
Alternativ können Sie auch drei Punkte eingeben.
(Dazu "Alles löschen" und "Ebene ABC" klicken)
—————————————————————————————————————————————————————
   Jetzt noch einmal auf "Ebene Parameterform klicken!
   Vorher die Werte überschreiben
——————————————————————————————————————————————
Die Normalenform a*x1+b*x2+c*x3=d wird dann berechnet.
Bei  "Zeichne" wird anschließend das Spurdreieck gezeigt.

TTMathe rechnet mit Ihren Werten folgendermaßen

Ebene Parameterform p(4|2|3) u(-3 -1 2) v(-5 -4 1)
Ebene DREIECK  A(4|2|3)B(1|1|5)C(-1|-2|4)
*** Koordinatengleichung der Ebene ***
         1*x1-1*x2+1*x3=5
DREIECK der Spurpunkte  S1(5|0|0) S2(0|-5|0) S3(0|0|5)
Ebenenpunkte:  (0|0|5)      (0|1|6)     (1|0|4)     (-1|0|6)    (1|0|4)
               (-1|0|6)     (0|2|7)     (1|1|5)     (-1|1|7)    (1|-1|3)
               (-1|-1|5)    (2|0|3)     (-2|0|7)    (2|0|3)     (-2|0|7)
               (0|3|8)      (1|2|6)     (-1|2|8)    (1|-2|2)    (-1|-2|4)
               (2|1|4)      (-2|1|8)    (2|-1|2)    (-2|-1|6)   (3|0|2)
               (-3|0|8)     (3|0|2)     (-3|0|8)    (0|4|9)     (1|3|7)
               (-1|3|9)     (1|-3|1)    (-1|-3|3)   (2|2|5)     (-2|2|9)
Ähnlich erhalten Sie die Koordinatengleichung der Ebene, wenn Sie die Koordinaten dreier Punkte eingeben.

Abstand Punkt Ebene

TTMathe erläutert zunächst wie Sie die Werte eingeben müssen

Abstand Punkt Ebene
2 -1 -5 3   (Ebene E: 2x1-x2-5x3=3)
-1 2 1      (Punkt P(-1 2 1))
Ändern Sie die Werte und klicken Sie den Punkt noch mal an!

TTMathe rechnet mit Ihren Werten folgendermaßen

Abstand Punkt Ebene
2     -1    -5    3    (Ebene E: 2*x1-1*x2+-5*x3=3)
-1    2     1          (Punkt P(-1|2|1))
DREIECK der Spurpunkte  S1(1'1/2|0|0) S2(0|-3|0) S3(0|0|-3/5)
±Abstand=-2,19089023=-2,190 9
Fußpunkt=F(-1/5|1'3/5|-1)=F(-0,2|1,6|-1) s=2/5
STRECKE P(-1|2|1) F(-1/5|1'3/5|-1)

Abstand zweier windschiefer Geraden

TTMathe erläutert zunächst wie Sie die Werte eingeben müssen

Gerade p(9 10 -2)  u(-2 1 0)  Gerade g: x=p+s*u
Gerade q(1 -3 -4) v(0 1 3)  Gerade h: x=q+t*v
Ändern Sie die Werte und klicken Sie den Punkt noch mal an!

TTMathe rechnet mit Ihren Werten folgendermaßen

Gerade p(9 10 -2)  u(-2 1 0)  Gerade g: x=p+s*u
Gerade q(1 -3 -4) v(0 1 3)  Gerade h: x=q+t*v
g=p+s*u h=q+t*v mit GH senkrecht g und senkrecht h führt auf LGS
1*s-5*t=-3
10*s-1*t=19
s=1 t=2 G(7|11|-2) H(1|-1|2)
Abstand d(g,h)=g(G,H)=14
Winkel zwischen u und v: cos(phi)=1/(sqrt(5)*sqrt(10))=0,1414213562
 =»  phi=8,1301023542°
—————————— Jetzt "Zeichne" klicken!—————————————————
STRECKE G(7|11|-2) H(1|-1|2)

Schnittpunkt Gerade-Ebene

TTMatge erläutert zunächst wie Sie die Werte eingeben müssen

p(2 2 1)  u(1 -1 1)  Gerade g: x=p+s*u
-1 7 2 16            Ebene  E: -x1+7x2+2x3=16
Ändern Sie die Werte und klicken Sie den Punkt noch mal an!

TTMathe rechnet mit Ihren Werten folgendermaßen

p(2|2|1) u(1 -1 1)  Gerade g: x=p+s*u
-1 7 2 16  Ebene n*x=d bzw. ax1+bx2+cx3=d
"g in E" führt auf n*u*s+n*p=d, hier: -6*s+14=16
Schnittpunkt S(1'2/3|2'1/3|2/3)  s=-1/3

Berechnung der Kugelgleichung aus vier Punkten

TTMathe erläutert zunächst wie Sie die Werte eingeben müssen

Kugel durch A(4|4|6) B(0|3|6) C(5|4|5) D(-1|3|1)
Ändern Sie die Werte und klicken Sie den Punkt noch mal an!

TTMathe rechnet mit Ihren Werten folgendermaßen

Kugel durch A(4|4|6) B(0|3|6) C(5|4|5) D(-1|3|1)
Ansatz Kugel: x1^2+x2^2+x3^2+ax1+bx2+cx3=d
 =»  M(-a/2|-b/2|-c/2) r=d(A,M)
Punktprobe mit A,B,C und D führt mit Umformung
ax1+bx2+cx3-d=-(x1^2+x2^2+x3^2) auf das LGS für a,b,c und d:
n=4 m=4
4     4     6     -1 |-68
0     3     6     -1 |-45
5     4     5     -1 |-66
-1    3     1     -1 |-11
(1)-(2), (1)-(3), (1)-(4) führt auf das LGS für a,b und c:
n=3 m=3
4     1     0    |-23
-1    0     1    |-2
5     1     5    |-57
Lösung: a=-4 b=-7 c=-6
        in (1) =»  d=-12
Mittelpunkt M(2|3'1/2|3) Radius r=3,6400549446
KUGEL M(2|3'1/2|3) Radius r=3,640 054 944 640 259 136
Probe  MA=3,6400549446
       MB=3,6400549446
       MC=3,6400549446
       MD=3,6400549446

Schnittpunkt Kugel Gerade

TTMathe erläutert zunächst wie Sie die Werte eingeben müssen

Gerade p(-8 8 14) u(4 0 -3)
Kugel M(3 8 4) r=5
Ändern Sie die Werte und klicken Sie den Punkt noch mal an!

TTMathe rechnet mit Ihren Werten folgendermaßen

Gerade p(-8 8 14) u(4 0 -3)
Kugel M(3 8 4) r=5
Gerade in Kugel führt auf Gleichung 25*s^2-148*s+196=0
Lsg.: s1=3'23/25 s2=2 Schnittpunkte Gerade Kugel
STRECKE S1(7'17/25|8|2'6/25)S2(0|8|8)

TTMathe erfindet Beispiele zur Polynommultiplikation und -Division und rechnet diese vor

Beispiele zur Polynommultiplikation

(x^4+4x^3-5x^2+2x+4)*(3x^3+7x^2-x+2) = 3x^7+19x^6+12x^5-31x^4+39x^3+16x^2+8
(1/2x^2+5/3x+7)*(1/2x+2/3) = 1/4x^3+7/6x^2+83/18x+14/3
Lesbarer geschrieben rechnet TTMathe also:
  4    3    2             2    2             7     6    5     4     3     2
(x + 4x - 5x + 2x + 4)·(3x + 7x - x + 2) = 3x + 19x +12x - 31x + 39x + 16x + 8

 1 2   5        1    2    1 3  7 2  83    14
(-x  + -x + 7)·(-x + -) = -x + -x + ——x + ——)
 2     3        2    3    4    6    18     3

Beispiele zur Polynomdivision

 (x^5+1):(x+1) = x^4-x^3+x^2-x+1 Rest 0
-(x^5+x^4)
——————————
    -x^4+1
  -(-x^4-x^3)
  ————————————
         x^3+1
       -(x^3+x^2)
       ———————————
            -x^2+1
          -(-x^2-x)
          ——————————
                 x+1
               -(x+1)
               ——————
                   0

(x^3-8):(x-2) = x^2+2x+4 Rest 0
-(x^3-2x^2)
———————————
    2x^2-8
  -(2x^2-4x)
  ——————————
        4x-8
      -(4x-8)
      ———————
            0

 (x^5+243):(x+3) = x^4-3x^3+9x^2-27x+81 Rest 0
-(x^5+3x^4)
———————————
     -3x^4+243
   -(-3x^4-9x^3)
   ————————————————
           9x^3+243
         -(9x^3+27x^2)
         —————————————
               -27x^2+243
             -(-27x^2-81x)
             —————————————
                      81x+243
                    -(81x+243)
                    ——————————
                             0

 (x^10-1):(x-1) = x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 Rest 0
-(x^10-x^9)
———————————
       x^9-1
     -(x^9-x^8)
     ——————————
           x^8-1
         -(x^8-x^7)
         ——————————
               x^7-1
             -(x^7-x^6)
             ——————————
                   x^6-1
                 -(x^6-x^5)
                 ——————————
                       x^5-1
                     -(x^5-x^4)
                     ——————————
                           x^4-1
                         -(x^4-x^3)
                         ——————————
                               x^3-1
                             -(x^3-x^2)
                             ——————————
                                   x^2-1
                                 -(x^2-x)
                                 ————————
                                       x-1
                                     -(x-1)
                                     ——————
                                         0

 (2x^7-3x^6+5x^5+2x^3+5):(2x^2-3x+5) = x^5+x+3/2 Rest -1/2x-5/2
-(2x^7-3x^6+5x^5)
—————————————————————
                 2x^3+5
               -(2x^3-3x^2+5x)
               —————————————————
                     3x^2-5x+5
                   -(3x^2-9/2x+15/2)
                   —————————————————
                         -1/2x-5/2

 (1/2x^4+1/3x^3+1/4x^2+1/5x+1/6):(1/3x^2+1/4x+1/5) = 3/2x^2-1/8x-9/160 Rest 153/640x+427/2400
-(1/2x^4+3/8x^3+3/10x^2)
————————————————————————
       -1/24x^3-1/20x^2+1/5x+1/6
     -(-1/24x^3-1/32x^2-1/40x)
     ———————————————————————————
              -3/160x^2+9/40x+1/6
            -(-3/160x^2-9/640x-9/800)
            —————————————————————————
                      153/640x+427/2400

 (x^9-x^8+2x^6-x^5+2x+1):(x^3-x^2+x+1) = x^6-x^4+x+1 Rest 0
-(x^9-x^8+x^7+x^6)
——————————————————
         -x^7+x^6-x^5+2x+1
       -(-x^7+x^6-x^5-x^4)
       ———————————————————
                      x^4+2x+1
                    -(x^4-x^3+x^2+x)
                    ————————————————
                          x^3-x^2+x+1
                        -(x^3-x^2+x+1)
                        ——————————————
                                    0

 (x^12+4x^11-5x^9-x^8+8x^6-x^5+2x^4-5x^3+x-1):(x^3+3x^2-2x+1)
                                = x^9+x^8-x^7-x^6-x^5+2x^4+x^3+x^2-x-1 Rest 0
-(x^12+3x^11-2x^10+x^9)
———————————————————————
        x^11+2x^10-6x^9-x^8+8x^6-x^5+2x^4-5x^3+x-1
      -(x^11+3x^10-2x^9+x^8)
      ——————————————————————
             -x^10-4x^9-2x^8+8x^6-x^5+2x^4-5x^3+x-1
           -(-x^10-3x^9+2x^8-x^7)
           ——————————————————————
                   -x^9-4x^8+x^7+8x^6-x^5+2x^4-5x^3+x-1
                 -(-x^9-3x^8+2x^7-x^6)
                 —————————————————————
                        -x^8- x^7+9x^6-x^5+2x^4-5x^3+x-1
                      -(-x^8-3x^7+2x^6-x^5)
                      —————————————————————
                             2x^7+7x^6+2x^4-5x^3+x-1
                           -(2x^7+6x^6-4x^5+2x^4)
                           ——————————————————————
                                   x^6+4x^5-5x^3+x-1
                                 -(x^6+3x^5-2x^4+x^3)
                                 ————————————————————
                                        x^5+2x^4-6x^3+x-1
                                      -(x^5+3x^4-2x^3+x^2)
                                      ————————————————————
                                            -x^4-4x^3-x^2+x-1
                                          -(-x^4-3x^3+2x^2-x)
                                          ———————————————————
                                                 -x^3-3x^2+2x-1
                                               -(-x^3-3x^2+2x-1)
                                               —————————————————
                                                              0
TTmathe sucht "günstige" Beispiele für Multiplikations- bzw. Divisionsaufgaben ohne Rest:
(x^4-x^3+x^2-x+1)*(x+1) = x^5+1
(-x^4+x^3-x^2+x-1)*(x+1) = -x^5-1
(x^4-x^3+x^2-x+2)*(x+1) = x^5+x+2
(x^4-x^3+x^2-x-1)*(x+1) = x^5-2x-1
(x^4-x^3+x^2-1)*(x+1) = x^5+x^2-x-1
(-x^4+x^3-x^2+x-2)*(x+1) = -x^5-x-2
(-x^4+x^3-x^2+x+1)*(x+1) = -x^5+2x+1
(x^4-x^3+x^2-2x+2)*(x+1) = x^5-x^2+2
(x^4-x^3-x^2+x-1)*(x+1) = x^5-2x^3-1
(x^4+x^3-x^2+x-1)*(x+1) = x^5+2x^4-1
(-x^4+x^3-x^2+1)*(x+1) = -x^5-x^2+x+1
(-x^4+x^3+x-1)*(x+1) = -x^5+x^3+x^2-1
(2x^4-x^3+x^2-x+1)*(x+1) = 2x^5+x^4+1
(-x^4+x^3-x+1)*(x+1) = -x^5+x^3-x^2+1
(x^4-x^3+x^2-3x+3)*(x+1) = x^5-2x^2+3
(-x^4+x^3-x^2+2x-2)*(x+1) = -x^5+x^2-2
(-x^4-x^3+x^2-x+1)*(x+1) = -x^5-2x^4+1
(x^4-x^3+x^2-2x+3)*(x+1) = x^5-x^2+x+3
(2x^4-2x^3+x^2-x+1)*(x+1) = 2x^5-x^3+1
(x^4-x^3+x^2-2x+1)*(x+1) = x^5-x^2-x+1
(2x^4+x^3-x^2+x-1)*(x+1) = 2x^5+3x^4-1
(x^4-x^3-x-1)*(x+1) = x^5-x^3-x^2-2x-1
(-x^4+x^3+x^2-x+1)*(x+1) = -x^5+2x^3+1
(-2x^4+x^3-x^2+x-1)*(x+1) = -2x^5-x^4-1
(-x^4+x^3-x^2-2x+2)*(x+1) = -x^5-3x^2+2
(-x^4+x^3-2x+2)*(x+1) = -x^5+x^3-2x^2+2
(x^4-x^3+x^2-2x+9)*(x+1) = x^5-x^2+7x+9
(x^4-x^3+x^2-3x+4)*(x+1) = x^5-2x^2+x+4
(x^4-x^3+x^2-4x+3)*(x+1) = x^5-3x^2-x+3
(x^4-x^3+2x^2-2x+1)*(x+1) = x^5+x^3-x+1
(x^4-x^3+2x^2-2x+3)*(x+1) = x^5+x^3+x+3
(x^4-x^3+x^2-2x+4)*(x+1) = x^5-x^2+2x+4
(3x^4-3x^3+x^2-x+1)*(x+1) = 3x^5-2x^3+1
(x^4-x^3+x^2-3x+2)*(x+1) = x^5-2x^2-x+2
(-x^4+x^3-x^2+3x-3)*(x+1) = -x^5+2x^2-3
(3x^4-3x^3-x^2+x-1)*(x+1) = 3x^5-4x^3-1

TTMathe-Menü "Gleichungen" führt auf ...

... Lösungsformel nach Cardano

Die reduzierte Gleichung 3. Grades

TTMathe erläutert zunächst den Lösungsweg

        3
       x  + px + q  = 0

reduzierte kubische Gleichung.

                                    3
Die Lösung der kubischen Gleichung x + px + q = 0 ist nach Cardano:

           3    q     -      3     q     -
x=u+v für u = - - + \/d und v  = - - - \/d.
                2                  2

         q 2   p 3                            p
für d = (-) + (-)   mit Nebenbedingung u·v= - -.
         2     3                              3

Beispiele (p,q)=(2/3;-20/27), (-7;6), (-3;2), (6;2), (1;-2), ...

Herleitung der Formel von Cardano: Setze x=u+v

      3    2       2   3
 =»  u + 3u v + 3uv + v + p(u+v)+q = 0

      3              3
 =»  u + 3uv(u+v) + v + p(u+v)+q   = 0

      3                     3
 =»  u  + (3uv+p)·(u+v)   +v +q    = 0

                                               3   3
 Mit 3uv+p=0 (*) (kann gesetzt werden) folgt: u + v = -q (**)

          6     3  3    6    2            3  3    4   3
 (**)=»  u  + 2u ·v  + v  = q   (*) =»  4u ·v = - —— p
                                                  27

               6     3  3    6    2   4   3
 Subtraktion: u  - 2u ·v  + v  = q  + —— p
                                      24

                3    3 2                 q 2  p 3
 d.h          (u  - v )    = 4·d  für d=(-) +(-)  (***)
                                         2    3
                3    3
 Somit gilt:   u  + v   = -q

                3    3       -
               u  - v   = 2\/d

                     3      q     -
 Summe/2            u   = - - + \/d
                            2

                     3      q     -
 Differenz/2        v   = - - - \/d
                            2

 Literatur:Gregor Milla (Gammertingen):Gleichungen dritten und vierten Grades.

TTMathe rechnet mit Ihren Werten folgendermaßen

        3   7    20
       x  - -x + ——  = 0
            3    27

reduzierte kubische Gleichung p=-7/3 q=20/27

Die Lösung der kubischen Gleichung x^3+px+q=0 ist nach Cardano:

x=u+v für u^3=-q/2+sqrt(d) und v^3=-q/2-sqrt(d)

d=(q/2)^2+(p/3)^3=-1/3

d « 0 Casus irreducibilis ergibt reelle Lösungen über komplexe u und v

   Hinweis:cis(phi)=cos(phi)+i*sin(phi)=e^(i*phi)

           3.Wurzel(cis(phi)=cis(phi/3+k*120°) (k=0,1,2 120°=2/3*Pi)

u^3=-10/27+i*1/3*sqrt(3)=7/27*sqrt(7)*cis(1 22,680 183 947 392 716 821°)

v^3=-10/27-i*1/3*sqrt(3)=7/27*sqrt(7)*cis(-1 22,680 183 947 392 716 821°)

————— 1. Lösung —————————————

u=2/3+i*1/3*sqrt(3)=1/3*sqrt(7)*cis(40,893 394 649 130 905 608°)

v=2/3-i*1/3*sqrt(3)=1/3*sqrt(7)*cis(-40,893 394 649 130 905 608°)

x=u+v=4/3 Probe:x^3+p*x+q=0

————— 2. Lösung —————————————

u=-5/6+i*1/6*sqrt(3)=1/3*sqrt(7)*cis(1 60,893 394 649 130 905 605°)

v=-5/6-i*1/6*sqrt(3)=1/3*sqrt(7)*cis(-1 60,893 394 649 130 905 605°)

x=u+v=-5/3 Probe:x^3+p*x+q=0

————— 3. Lösung —————————————

u=1/6+i*-1/2*sqrt(3)=1/3*sqrt(7)*cis(2 80,893 394 649 130 905 605°)

v=1/6-i*-1/2*sqrt(3)=1/3*sqrt(7)*cis(-2 80,893 394 649 130 905 605°)

x=u+v=1/3 Probe:x^3+p*x+q=0

Ein Beispiel für den Casus reducibilis (d » 0)


        3   1    52
       x  - -x + ——  = 0
            3    27

reduzierte kubische Gleichung p=-1/3 q=52/27

Die Lösung der kubischen Gleichung x^3+px+q=0 ist nach Cardano:

x=u+v für u^3=-q/2+sqrt(d) und v^3=-q/2-sqrt(d)

d=(q/2)^2+(p/3)^3=25/27

d»0 Casus reducibilis ergibt eine reelle Lösung

u^3=-26/27+5/9*sqrt(3)

v^3=-26/27-5/9*sqrt(3)

————— reelle Lösung ————————————————————————————

u=(-2+sqrt(3))/3

v=(-2-sqrt(3))/3

x=u+v=-1'1/3 Probe:x^3-1/3*x+1'25/27=0,000 000 000 000 000 004

————— komplexe Lösungen mit i^2 = -1   ————————

x2 = u2 + v2 und x3 = u3 + v3

mit u2=u/2(-1 + i*sqrt(3)) und v2 :=v/2(-1 - i*sqrt(3)) und

    u3=u/2(-1 - i*sqrt(3)) und v3 :=v/2(-1 + i*sqrt(3)), also

x2 =  -(u+v)/2 + i(u-v)/2*sqrt(3)) = 2/3 + i

x3 =  -(u+v)/2 - i(u-v)/2*sqrt(3)) = 2/3 - i


Die allgemeine Gleichung 3. Grades

TTMathe erläutert zunächst den Lösungsweg


        3     2
      ax  + bx + cx + d =0

   allgemeine kubische Gleichung

   a*z^3+b*z^2+c*z+q=0 bzw. z^3+A*z^2+B*z+C=0

   wird auf die reduzierte kubische Gleichung x^3+p*x+q=0 zurückgeführt.

   Substitution z=x-A/3 führt auf p=B-A^2/3 q=2/27A^3-1/3AB+C

TRMathe rechnet mit Ihren Werten folgendermaßen

        3     2
       x  - 4x + x + 6 =0

   kubische Gleichung a=1 b=-4 c=1 d=6

   a*z^3+b*z^2+c*z+q=0 bzw. z^3+A*z^2+B*z+C=0

   wird auf die reduzierte kubische Gleichung x^3+p*x+q=0 zurückgeführt.

   Substitution z=x-A/3 führt auf p=B-A^2/3 q=2/27A^3-1/3AB+C

A=-4 B=1 C=6   z^3-4*z^2+1*z+6=0

reduzierte kubische Gleichung mit x=z-4/3 =»  p=-13/3 q=70/27

x^3-13/3*x+70/27=0

Eine Lösung: x=5/3 Probe:x^3-13/3*x+70/27=0

             z=3 Probe: 1*z^3-4*z^2+1*z+6=0

Weitere Lösungen sind die Lösungen der quadratischen Gleichung

   1*z^2-1*z-2=0

Rechnung:z1=1/2+3/2            z2=1/2-3/2

Lösung:z1=2                    z2=-1

       z1+z2=1   z1*z2=-2


Die allgemeine Gleichung 4. Grades

TTMathe erläutert zunächst den Lösungsweg

    4    3    2
  ax + bx + cx + dx + e = 0

  Gleichung vierten Grades.

Die Lösung der Gleichung a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e=0 bzw.

x^4+A*x^3+B*x^2+C*x+D=0 für  A=b/a B=c/a C=d/a und D=e/a

1. Schritt: Löse y^3-B/2*y^2+1/4*(AC-4*D)*y+1/8*(4BD-A^2*D-C^2)=0

2. Schritt: Löse (x^2+(A/2+s)*x+(y+t))*(x^2+(A/2-s)*x+(y-t))=0

            für s=sqrt(1/4*A^2+2*y-B) und t=(Ay-C)/(2s)

            bzw. t=sqrt(y^2-D) (falls s=0)

Literatur:Gregor Milla (Gammertingen):

Gleichungen dritten und vierten Grades S.33

TTMathe rechnet mit Ihren Werten folgendermaßen

    4     3     2
   x - 10x + 35x - 50x + 24 = 0

Gleichung vierten Grades a=1 b=-10 c=35 d=-50 e=24

Die Lösung der Gleichung a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e=0 bzw.

x^4+A*x^3+B*x^2+C*x+D=0 für A=-10 B=35 C=-50 D=24

1. Schritt: Löse y^3-B/2*y^2+1/4*(AC-4*D)*y+1/8*(4BD-A^2*D-C^2)=0

2. Schritt: Löse (x^2+(A/2+s)*x+(y+t))*(x^2+(A/2-s)*x+(y-t))=0

            für s=sqrt(1/4*A^2+2*y-B) und t=(Ay-C)/(2s)

            bzw. t=sqrt(y^2-D) (falls s=0)

1.Schritt:

y^3-35/2*y^2+101*y-385/2=0

reduzierte kubische Gleichung p=-13/12 q=-35/108

z^3-13/12*z-35/108=0

Eine Lösung: z=7/6

             y=7

2. Schritt: s=2 t=-5

Zu lösen bleibt:(x^2-3*x+2)*(x^2-7*x+12)=0

Rechnung:x1=1'1/2+1/2          x2=1'1/2-1/2

Lösung:x1=2                    x2=1

       x1+x2=3   x1*x2=2

Rechnung:x3=3'1/2+1/2          x4=3'1/2-1/2

Lösung:x3=4                    x4=3

       x3+x4=7   x3*x4=12

TTMathe Kettenbrüche

Siehe auch: weiter Lektionen über Kettenbrüche und Reell Zu Bruch
Kettenbrüche, die Sie zum Beispiel von Hand folgendermaßen entwickeln, berechnet Ihnen TTMathe:

Beispiel für eine (endliche) Kettenbruchentwicklung)

43       13         1          1             1
—— = 1 + —— = 1 + ———— = 1 + —————— = 1 + ————————
30       30        30            4             1
                   ——        2 + ——       2 + ————
                   13            13              1
                                              3 +-
                                                 4

Er wird abgekürzt zu [1,2,3,4].
Weitere Beispiele:
  -
\/2 = [1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,...]

  -
\/5 - 1
——————— = [0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,...]
   2

e = [2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1,1,14,...]

Berechnung in TTMathe: Sie geben ein

q=77708431/2640858

TTMathe erläutert und rechnet mit Ihrem Wert

Die Kettenbruchentwicklung für q (Bruch oder Dezimalzahl)

dient dazu, q durch einen möglichst genauen Bruch anzunähern.

Wichtig:q im Parameterfeld eingeben.

——————————————————————   Theorie   ———————————————

q=q0=v1+q1, wobei v1=int(q0) der ganzzahlige Teil von q0

                                               1                              1
1/q1=v2+q2, wobei v2=int(1/q1) =»  q = v1 + —————        q(1.Näherung)= v1 + ——
                                            v2+q2                            v2

                                             1                                 1
1/q2=v3+q3, wobei v3=int(1/q2) =»  q = v1+ ————————      q(2.Näherung)= v1+ ———————
                                                 1                                1
                                         v2 + —————                         v2 + ——
                                              v3+q3                              v3

Schreibweise für Kettenbruch q = [v1,v2,v3,v4,...]

z.B. q(2.Näherung) = [v1,v2,v3]

                    A
                     n
Die Näherungsbrüche —— für q = [v , v , v , ... ]
                    B            1   2   3
                     n

kann man nach folgender Rekursionsformel berechnen:

A  = 0 für n = - 2; A = 1 für n = -1; A = v ·A   + A    sonst
 n                   n                 n   n  n-1   n-2

B  = 1 für n = - 2; B = 0 für n = -1; B = v ·B   + B   sonst
 n                   n                 n   n  n-1   n-2


Anwendung: Christaan Huygens (niederländischer Physiker 1629-1695, der das Licht als Welle erklärte) fand für die Umlaufzeit Saturn zur Erde das Verhältnis 77708431:2640858. Für eine passende Astronomische Uhr mussten die Zahnräder mit weniger Zähnen als die hier genannten Zahlen auskommen. Deswegen suchte man für dieses Verhältnis Näherungen.

TTMathe erläutert und rechnet mit Ihrem Wert

q=29,425 448 471 670 949 365=77708431/2640858
                          Näherung=29/1             Fehler:0,425
q0=29+1/2,350 460 905 576 Näherung=59/2             Fehler:-0,0746
q1=2+1/2,853 385 310 849  Näherung=147/5            Fehler:0,0254
q2=2+1/1,171 803 624 091  Näherung=206/7            Fehler:-0,00312
q3=1+1/5,820 598 984 947  Näherung=1177/40          Fehler:0,000448
q4=5+1/1,218 622 028 961  Näherung=1383/47          Fehler:-8,34E-5
q5=1+1/4,574 104 470 406  Näherung=6709/228         Fehler:9,88E-6
q6=4+1/1,741 843 255 970  Näherung=8092/275         Fehler:-6,07E-6
q7=1+1/1,347 993 652 232  Näherung=14801/503        Fehler:1,16E-6
q8=1+1/2,873 615 635 179  Näherung=37694/1281       Fehler:-3,96E-7
q9=2+1/1,144 668 158 090  Näherung=52495/1784       Fehler:4,12E-8
q10=1+1/6,912 371 134 063 Näherung=352664/11985     Fehler:-5,59E-9
q11=6+1/1,096 045 197 688 Näherung=405159/13769     Fehler:4,68E-10
q12=1+1/10,411 764 711 46 Näherung=4404254/149675   Fehler:-1,77E-11
q13=10+1/2,428 571 395 63 Näherung=9213667/313119   Fehler:3,63E-12
q14=2+1/2,333 333 512 675 Näherung=22831588/775913  Fehler:-4,88E-13
q15=2+1/2,999 998 385 919 Näherung=54876843/1864945 Fehler:2,03E-13
q16=2+1/1,000 001 614 082 Näherung=77708431/2640858 Fehler:0
q=[29,2,2,1,5,1,4,1,1,2,1,6,1,10,2,2,2,1]
Lösung der diophantische Gleichung
77708431·n+2640858·m=1 ist n=1864945 und m=-54876843
Probe: 77708431·1864945-2640858·54876843=1
d.h.Es ist 77708431*Z+2640 858*Z=Z
Allgemein: ggT(a,b)=t =» Es gibt m,n in Z mit m·a+n·b=t (Lösung wird von TTMathe mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus ermittelt)

Sie geben ein

q=sqrt(2) (Quadratwurzel von 2)

TTMathe erläutert und rechnet mit Ihrem Wert

                    ...
——————————————————————————Praxis——————————————————————————————————————————
q=1,414 213 562 373 095 049
q0=1+1/2,414 213 562  Näherung=3/2             Fehler:-0,0858
q1=2+1/2,414 213 562  Näherung=7/5             Fehler:0,0142
q2=2+1/2,414 213 562  Näherung=17/12           Fehler:-0,00245
q3=2+1/2,414 213 562  Näherung=41/29           Fehler:0,00042
q4=2+1/2,414 213 562  Näherung=99/70           Fehler:-7,22E-5
q5=2+1/2,414 213 562  Näherung=239/169         Fehler:1,24E-5
q6=2+1/2,414 213 562  Näherung=577/408         Fehler:-2,12E-6
q7=2+1/2,414 213 562  Näherung=1393/985        Fehler:3,64E-7
q8=2+1/2,414 213 562  Näherung=3363/2 378      Fehler:-6,25E-8
q9=2+1/2,414 213 562  Näherung=8119/5 741      Fehler:1,07E-8
q10=2+1/2,414 213 562 Näherung=19601/13860     Fehler:-1,84E-9
q11=2+1/2,414 213 562 Näherung=47321/33461     Fehler:3,16E-10
q12=2+1/2,414 213 562 Näherung=114243/80782    Fehler:-5,42E-11
q13=2+1/2,414 213 560 Näherung=275807/195025    Fehler:9,3E-12
———————————————————————————————————————————————————————————
q=[1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,...]

Sie geben ein

q=Pi ... und TTMathe berechnet Ihnen die Näherungsbrüche.
Näherung=3/1               Fehler:0,142
Näherung=22/7              Fehler:-0,00126
Näherung=333/106           Fehler:8,32E-5
Näherung=355/113           Fehler:-2,67E-7
Näherung=103993/33102      Fehler:5,78E-10
Näherung=104348/33215      Fehler:-3,32E-10
...
q=[3,7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,...]

Sie sehen: Die klassischen Näherungswerte sind dabei:

           3                  (I. Könige 7 Vers 23; II. Chronik 4 Vers 2)
           22/7 =    3'1/7    (Archimedes)
           355/113 = 3'16/113 (Tsu Ch'ung-Chih, 430-501, China)
Näheres zu Pi

Sie geben ein

q=lb(3/2) ... und TTMathe berechnet Ihnen mit Hilfe der Kettenbruchentwicklung die Näherungsbrüche.
Näherung=1/2             Fehler:0,085
Näherung=3/5             Fehler:-0,015
Näherung=7/12            Fehler:0,00163
Näherung=24/41           Fehler:-0,000403
Näherung=31/53           Fehler:5,68E-5
Näherung=179/306         Fehler:-4,82E-6
Näherung=389/665         Fehler:9,47E-8
Näherung=9 126/15 601    Fehler:-1,68E-9
Näherung=18 641/31 867   Fehler:3,29E-10
...
q=[0,1,1,2,2,3,1,5,2,23,2,2,1,1,55,1,4,...]

Für den Musiktheoretiker sind die Näherungsbrüche von lb(3/2) = Logarithmus 3/2 zur Basis 2 geläufig, weiß er doch, dass zwei Quinten (grob) eine Oktave oder 12 Quinten (schon besser) 7 Oktaven annähern.
Siehe: Die Ordnung im Tonsystem
Allgemein bekannt: lb(3/2)=7/12, d.h. +12 Quinten (hoch),
                   -7 Oktaven (tief) ergibt ungefähr denselben Ton.
                   Fehler: das "pythagoreische Komma" = 23,5 Cent.
(Der Quintenzirkel besteht aus 11 reinen und einer "Wolfs"-Quinte, die um etwa 1/8 Ton zu klein ist.)
lb(3/2)=Logarithmus zur Basis 2 von (3/2) ergibt sich durch das Frequenzverhältnis der Quinte. Da aber Intervalle addiert werden und nicht wie Frequenzverhältnisse multipliziert werden, muss man zum Logarithmus übergehen. Der Fehler ist noch gut hörbar, ebenso noch bei 41 Quinten -24 Oktaven, aber kaum noch bei 53 Quinten - 31 Oktaven.
Verallgemeint ergibt sich folgendes Schema für die Näherungsbrüche:

Formel
                    m
                 1,5
für Diff=1200·lb—————  [in Cent]
                   n
                  2

Quinten m +2 +5 +12 +41 +53 +306 +665
Oktaven n -1 -3 -7 -24 -31 -179 -389
Diff.[Cent] 204 -90 23,5 -19,8 3,62 -1,77 0,076
Lit.: Wilfried Neumaier: Was ist ein Tonsystem. Quellen und Studien zur Musikgeschichte von der Antike bis zur Gegenwart Bd. 9. Verlag: Peter Lang, 1986

Sie geben ein

q=q = (sqrt(5)-1)/2 ... (siehe "Der goldene Schnitt") und TTMathe berechnet Ihnen die Näherungsbrüche.
Näherung=1/1
Näherung=1/2
Näherung=2/3
Näherung=3/5
Näherung=5/8
Näherung=8/13
Näherung=13/21
Näherung=21/34
Näherung=34/55
Näherung=55/89
Näherung=89/144
...
q=[0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,...]

Der Zusammenhang mit der Fibonacci-Folge
 1, 1, 2, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987... liegt auf der Hand.

TTMathe-Menü "Rechne|Primzahlen"führt auf ...

Berechnung von Primzahlen

In TTMathe ist die Funktion n -» PrZ(n) integriert.

Sie wünschen z.B. die 1. Primzahl bis zur 2000. Primzahl. TTMathe schreibt:
            Primzahlen (*=Zwillinge)

 2 3*5*7 11*13 17*19 23 29*31 37 41*43 47 53 59*61 67 71*73 79 83 89
 97 101*103 107*109 113 127 131 137*139 149*151 157 163 167 173 179
*181 191*193 197*199 211 223 227*229 233 239*241 251 257 263 269*271
 277 281*283 293 307 311*313 317 331 337 347*349 353 359 367 373 379
 383 389 397 401 409 419*421 431*433 439 443 449 457 461*463 467 479
 487 491 499 503 509 521*523 541 547 557 563 569*571 577 587 593 599
*601 607 613 617*619 631 641*643 647 653 659*661 673 677 683 691 701
 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809*811 821*823
 827*829 839 853 857*859 863 877 881*883 887 907 911 919 929 937 941
 947 953 967 971 977 983 991 997 1009 1013 1019*1021 1031*1033 1039
 1049*1051 1061*1063 1069 1087 1091*1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129
 1151*1153 1163 1171 1181 1187 1193 1201 1213 1217 1223 1229*1231 1237
 1249 1259 1277*1279 1283 1289*1291 1297 1301*1303 1307 1319*1321 1327
 1361 1367 1373 1381 1399 1409 1423 1427*1429 1433 1439 1447 1451*1453
 1459 1471 1481*1483 1487*1489 1493 1499 1511 1523 1531 1543 1549 1553
 1559 1567 1571 1579 1583 1597 1601 1607*1609 1613 1619*1621 1627 1637
 1657 1663 1667*1669 1693 1697*1699 1709 1721*1723 1733 1741 1747 1753
 1759 1777 1783 1787*1789 1801 1811 1823 1831 1847 1861 1867 1871*1873
 1877*1879 1889 1901 1907 1913 1931*1933 1949*1951 1973 1979 1987 1993
 1997*1999 2003 2011 2017 2027*2029 2039 2053 2063 2069 2081*2083 2087
*2089 2099 2111*2113 2129*2131 2137 2141*2143 2153 2161 2179 2203 2207
 2213 2221 2237*2239 2243 2251 2267*2269 2273 2281 2287 2293 2297 2309
*2311 2333 2339*2341 2347 2351 2357 2371 2377 2381*2383 2389 2393 2399
 2411 2417 2423 2437 2441 2447 2459 2467 2473 2477 2503 2521 2531 2539
 2543 2549*2551 2557 2579 2591*2593 2609 2617 2621 2633 2647 2657*2659
 2663 2671 2677 2683 2687*2689 2693 2699 2707 2711*2713 2719 2729*2731
 2741 2749 2753 2767 2777 2789*2791 2797 2801*2803 2819 2833 2837 2843
 2851 2857 2861 2879 2887 2897 2903 2909 2917 2927 2939 2953 2957 2963
 2969*2971 2999*3001 3011 3019 3023 3037 3041 3049 3061 3067 3079 3083
 3089 3109 3119*3121 3137 3163 3167*3169 3181 3187 3191 3203 3209 3217
 3221 3229 3251*3253 3257*3259 3271 3299*3301 3307 3313 3319 3323 3329
*3331 3343 3347 3359*3361 3371*3373 3389*3391 3407 3413 3433 3449 3457
 3461*3463 3467*3469 3491 3499 3511 3517 3527*3529 3533 3539*3541 3547
 3557*3559 3571 3581*3583 3593 3607 3613 3617 3623 3631 3637 3643 3659
 3671*3673 3677 3691 3697 3701 3709 3719 3727 3733 3739 3761 3767*3769
 3779 3793 3797 3803 3821*3823 3833 3847 3851*3853 3863 3877 3881 3889
 3907 3911 3917*3919 3923 3929*3931 3943 3947 3967 3989 4001*4003 4007
 4013 4019*4021 4027 4049*4051 4057 4073 4079 4091*4093 4099 4111 4127
*4129 4133 4139 4153 4157*4159 4177 4201 4211 4217*4219 4229*4231 4241
*4243 4253 4259*4261 4271*4273 4283 4289 4297 4327 4337*4339 4349 4357
 4363 4373 4391 4397 4409 4421*4423 4441 4447 4451 4457 4463 4481*4483
 4493 4507 4513 4517*4519 4523 4547*4549 4561 4567 4583 4591 4597 4603
 4621 4637*4639 4643 4649*4651 4657 4663 4673 4679 4691 4703 4721*4723
 4729 4733 4751 4759 4783 4787*4789 4793 4799*4801 4813 4817 4831 4861
 4871 4877 4889 4903 4909 4919 4931*4933 4937 4943 4951 4957 4967*4969
 4973 4987 4993 4999 5003 5009*5011 5021*5023 5039 5051 5059 5077 5081
 5087 5099*5101 5107 5113 5119 5147 5153 5167 5171 5179 5189 5197 5209
 5227 5231*5233 5237 5261 5273 5279*5281 5297 5303 5309 5323 5333 5347
 5351 5381 5387 5393 5399 5407 5413 5417*5419 5431 5437 5441*5443 5449
 5471 5477*5479 5483 5501*5503 5507 5519*5521 5527 5531 5557 5563 5569
 5573 5581 5591 5623 5639*5641 5647 5651*5653 5657*5659 5669 5683 5689
 5693 5701 5711 5717 5737 5741*5743 5749 5779 5783 5791 5801 5807 5813
 5821 5827 5839 5843 5849*5851 5857 5861 5867*5869 5879*5881 5897 5903
 5923 5927 5939 5953 5981 5987 6007 6011 6029 6037 6043 6047 6053 6067
 6073 6079 6089*6091 6101 6113 6121 6131*6133 6143 6151 6163 6173 6197
*6199 6203 6211 6217 6221 6229 6247 6257 6263 6269*6271 6277 6287 6299
*6301 6311 6317 6323 6329 6337 6343 6353 6359*6361 6367 6373 6379 6389
 6397 6421 6427 6449*6451 6469 6473 6481 6491 6521 6529 6547 6551*6553
 6563 6569*6571 6577 6581 6599 6607 6619 6637 6653 6659*6661 6673 6679
 6689*6691 6701*6703 6709 6719 6733 6737 6761*6763 6779*6781 6791*6793
 6803 6823 6827*6829 6833 6841 6857 6863 6869*6871 6883 6899 6907 6911
 6917 6947*6949 6959*6961 6967 6971 6977 6983 6991 6997 7001 7013 7019
 7027 7039 7043 7057 7069 7079 7103 7109 7121 7127*7129 7151 7159 7177
 7187 7193 7207 7211*7213 7219 7229 7237 7243 7247 7253 7283 7297 7307
*7309 7321 7331*7333 7349*7351 7369 7393 7411 7417 7433 7451 7457*7459
 7477 7481 7487*7489 7499 7507 7517 7523 7529 7537 7541 7547*7549 7559
*7561 7573 7577 7583 7589*7591 7603 7607 7621 7639 7643 7649 7669 7673
 7681 7687 7691 7699 7703 7717 7723 7727 7741 7753 7757*7759 7789 7793
 7817 7823 7829 7841 7853 7867 7873 7877*7879 7883 7901 7907 7919

Hinweis: Große Primzahlen benötigen Zeit. (Bei den Primzahlen von
Einer Million bis  bis 1 001 000 dauert es einige Minuten.

TTMathe-Menü "Gleichungen|Pytagororeische Zahlen..."führt auf ...

Berechnung aller pythagoreischer Zahlentripel

         Pythagoreische Zahlentripel
         ———————————————————————————
(a,b,c) erfüllen die Gleichungen a^2+b^2 = c^2 und ggT(a,b)=1

   (3,4,5)  ( 5,12,13)  ( 8,15,17)  ( 7,24,25)  (20,21,29)
(12,35,37)  ( 9,40,41)  (28,45,53)  (11,60,61)  (16,63,65)
(33,56,65)  (48,55,73)  (13,84,85)  (36,77,85)  (39,80,89)
   (65,72,97)  ( 20, 99,101)  ( 60, 91,109)  ( 15,112,113)
( 44,117,125)  ( 88,105,137)  ( 17,144,145)  ( 24,143,145)
( 51,140,149)  ( 85,132,157)  (119,120,169)  ( 52,165,173)
( 19,180,181)  ( 57,176,185)  (104,153,185)  ( 95,168,193)
( 28,195,197)  ( 84,187,205)  (133,156,205)  ( 21,220,221)
(140,171,221)  ( 60,221,229)  (105,208,233)  (120,209,241)
( 32,255,257)  ( 23,264,265)  ( 96,247,265)  ( 69,260,269)
(115,252,277)  (160,231,281)  (161,240,289)  ( 68,285,293)
(136,273,305)  (207,224,305)  ( 25,312,313)  ( 75,308,317)
( 36,323,325)  (204,253,325)  (175,288,337)  (180,299,349)
(225,272,353)  ( 27,364,365)  ( 76,357,365)  (252,275,373)
(135,352,377)  (152,345,377)  (189,340,389)  (228,325,397)
...
Hinweis: Mit (a,b,c) ist auch (r·a,r·b,r·c) pyth. Zahletripel (r ε Q)

Berechnung aller pythagoreischer Zahlenquadrupel

         Pythagoreische Zahlenquadrupel
         ——————————————————————————————
(a,b,c,d) erfüllen die Gleichungen a^2+b^2+c^2=d^2 und ggT(a,b,c)=1

(1,2,2,3)  (2,3,6,7)  (1,4,8,9)  (4,4,7,9)
( 2, 6, 9,11)  ( 6, 6, 7,11)  ( 3, 4,12,13)  ( 2, 5,14,15)
( 2,10,11,15)  ( 1,12,12,17)  ( 8, 9,12,17)  ( 1, 6,18,19)
( 6, 6,17,19)  ( 6,10,15,19)  ( 4, 5,20,21)  ( 4, 8,19,21)
( 4,13,16,21)  ( 8,11,16,21)  ( 3, 6,22,23)  ( 3,14,18,23)
( 6,13,18,23)  ( 9,12,20,25)  (12,15,16,25)  ( 2, 7,26,27)
( 2,10,25,27)  ( 2,14,23,27)  ( 7,14,22,27)  (10,10,23,27)
( 3,16,24,29)  (11,12,24,29)  (12,16,21,29)  ( 5, 6,30,31)
( 6,14,27,31)  ( 6,21,22,31)  (14,18,21,31)  ( 1, 8,32,33)
( 4, 7,32,33)  ( 4,17,28,33)  ( 7,16,28,33)  ( 8, 8,31,33)
( 8,20,25,33)  (17,20,20,33)  ( 1,18,30,35)  ( 6,10,33,35)
( 6,17,30,35)  (15,18,26,35)  ( 3, 8,36,37)  ( 3,24,28,37)
( 8,24,27,37)  (12,21,28,37)  ( 2,19,34,39)  ( 2,26,29,39)
(10,14,35,39)  (13,14,34,39)  (14,22,29,39)  (19,22,26,39)
( 4,12,39,41)  ( 4,24,33,41)  ( 9,24,32,41)  (12,24,31,41)
(23,24,24,41)  ( 2, 9,42,43)  ( 2,18,39,43)  ( 6, 7,42,43)
( 7,30,30,43)  ( 9,18,38,43)  (18,25,30,43)  ( 4,28,35,45)
( 5, 8,44,45)  ( 8,19,40,45)  (13,16,40,45)  (16,20,37,45)
(20,28,29,45)  ( 2,21,42,47)  ( 6,18,43,47)  ( 6,27,38,47)
(11,18,42,47)  (18,21,38,47)  (18,27,34,47)  ( 4, 9,48,49)
( 4,33,36,49)  ( 9,32,36,49)  (12,24,41,49)  (12,31,36,49)
(15,24,40,49)  (23,24,36,49)  ( 1,10,50,51)  ( 1,22,46,51)
...
Hinweis: Mit (a,b,c) ist auch (r·a,r·b,r·c,r·d) pyth. Zahlequadrupel (r ε Q)

TTW-Menü "Rechne|Rechnen..|Folgen"führt auf ..

... Verhulst-Iteration

      Iteration

      x    = 4·p·x·(1-x )  x  Anfangswert, 0« p« 1, n=0, 1, 2,...
       n+1             n    0

x  = Bestand der Population im Jahre n, wobei die Population des
 n

Folgejahres proportional zu x und zu (1-x ) ist, d.h.
                             n           n

   proportional zum Bestand als auch

   proportional zum Nahrungsangebot.

Der Mathematiker spricht von der logistischen Abbildung

Verhulst p=0,892(ein eindimensionales Beispiel der nichtlinearen Dynamik).
Zu beobachten ist:

In TTW geben Sie ein:

von=1501         Ab dieser Nummer wird der Iterationswert berechnet
bis=1501+32      Bis zu dieser Nummer wird gerechnet
x0=0,5           Anfangswert
p=0,892          Der entscheidende Parameter

TTW rechnet mit Ihren Werten

   Verhulst p=0,892

   x(neu)=4*p*x*(1-x) für x=x(alt)

   ———————————————————————
     n  :     x
               n
   ———————————————————————
   1501 :0,550 208 561 07

   1502 :0,883 005 430 21

   1503 :0,368 598 806 652

   1504 :0,830 393 935 748

   1505 :0,502 516 574 885

   1506 :0,891 977 403 324

   1507 :0,343 790 056 132

   1508 :0,804 935 281 862

   1509 :0,560 227 642 789

   1510 :0,879 057 547 565

   1511 :0,379 333 260 261

   1512 :0,840 048 271 302

   1513 :0,479 422 073 923

   1514 :0,890 489 126 684

   1515 :0,347 945 087 249

   1516 :0,809 505 354 917

   ————— Periode=16 ——————

   1517 :0,550 208 561 07

   1518 :0,883 005 430 21

   1519 :0,368 598 806 652

   1520 :0,830 393 935 748

   1521 :0,502 516 574 885

   1522 :0,891 977 403 324

   1523 :0,343 790 056 132

   1524 :0,804 935 281 862

   1525 :0,560 227 642 789

   1526 :0,879 057 547 565

   1527 :0,379 333 260 261

   1528 :0,840 048 271 302

   1529 :0,479 422 073 923

   1530 :0,890 489 126 684

   1531 :0,347 945 087 249

   1532 :0,809 505 354 917

   1533 :0,550 208 561 07


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