Das pythagoreische und syntonische Komma: Joachim Mohr Mathematik Musik Delphi
Joachim Mohr   Mathematik Musik Delphi
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Sängerinnen und Sänger und viele Musikinstrumente können durch genaues Aufeinanderhören Quinten, Quarten und vor allem Terzen abweichend von der gleichstufigen Stimmung völlig rein erklingen lassen. Je besser dies gelingt, umso besser ist der Klang. Die Intonation erfolgt in reiner Stimmung.

Vor der Beschreibung der reinen Stimmung wird hier kurz erklärt, was das pythagoreische und syntonische Komma ist.

Bei einer Tastatur mit zwölf Tönen pro Oktave wird die reine Stimmung am besten durch die mitteltönige Stimmung verwirklicht, leider nur für sechs Durtonarten des Quintenzirkels. Deshalb sind heutzutage die Klaviere gleichstufig gestimmt mit dem Nachteil rauer Terzen.
Violnschlüssel Violnschlüssel

Die reine Intonation

Theorie und Tonbeispiele
Schnellkurs der Lektionen


Das pythagoreische Komma

Wir gehen aus vom Quintenzikel
... as es b f c g d a e h fis cis gis ...
Wir oktavieren passend Hinweisdie Töne: dann ist das Frequenzverhältnis stets 3/2 also
... b/es=3/2, f/b=3/2, c/f=3/2, g/c=3/2, d/g=3/2 ...

as und gis unterscheiden sich um das pythagoreische Komma. Geht man von as aus 12 Quinten nach oben und 7 Oktaven nach unten, so erhält man gis. Das Frequenzverhältnis des pythagoreischen Kommas ist also (3/2)12:27= 531441/524288 mit der Größe von 23,43 Cent.

Cent ist eine Größeneinheit für Intervalle, definiert durch
Oktave = 1200 Cent bzw. Halbton = 100 Cent (Berechnung: Lektion 4.)
Während Intervalle und ihre Größen in Cent addiert werden, müssen die entsprechenden Frequenzverhältnisse multipliziert werden.

Bei modernen Klavieren sind deshalb die Quinten um 1/12 des pythagoreischen Kommas verkleinert, so dass gis und as zusammenfallen. Das moderne Klavier ist gleichstufig gestimmt. Die Verstimmung der Quinten um 2 Cent ist vernachlässigbar, jedoch das Problem mit der reinen Terz nicht behoben, was viele heutige Musiker nicht (mehr) wissen. Der Cellist Pablo Casals schreibt dazu in "The Way They Play" (1972):
Erschrecke nicht, wenn Du eine andere Intonation als das Klavier hast. Das liegt am Klavier, das verstimmt ist. Das Klavier mit seiner gleichstufigen Stimmung ist ein Kompromiss in der Intonation.
Die gleichstufige Stimmung ist erst nach einem langen Entwicklungsprozess vom 16. Jahrhundert (Entdeckung der Mehrstimmigkeit) über die mitteltönigen und wohltemperierten Stimmungen bis Anfang des 20. Jahrhunderts entstanden. (Erst 1917 konnte man mit physikalischen Methoden exakt die gleichstufige Stimmung verwirklichen.)

Bei der reinen Terz spielt das syntonische Komma eine zentrale Rolle.

Das syntonische Komma

Die vier Quinten c g d a e haben oktaviert das Frequenzverhältnis (3/2)4:22=81/64 mit der Größe von 408 Cent.
Das Intervall c-e ist die pythagoreische Terz mit dem Frequenzverhältnis 81/64 und klingt unrein. Die reine Terz hat das Frequenzverhältnis 5/4 mit der Größe von 386 Cent und unterscheidet sich von der pythagoreischen Terz um das syntonische Komma mit dem Frequenzverhältnis 81/64:5/4=81/80 entsprechend 21,51 Cent.

Einschub: Die Eulerschreibweise

Die Eulerschreibweise mit "Tiefkomma" und "Hochkomma" ist hervorragend geeignet, die Besonderheiten der reinen Intonation zu beschreiben. Wie die Vorzeichen in der Notenschrift (# und b) andeuten, dass ein Ton um einen Halbton erhöht bzw. erniedrigt wird, handelt es sich bei der Eulerschreibweise um die Veränderung eines Tones um ein Komma.
Die große pythagoreische Terz c-e ist also unrein. Um sie rein zu intoniere müssen wir e um ein syntonisches Komma erniedrigen.
Wir schreiben dafür ,e ("Tiefkomma e"). Der Ton ,e erklingt also ein syntonisches Komma tiefer als der Ton e.
Die Terz c-,e ist dann eine reine Terz (Frequenzverhältnis 5/4). Dasselbe gilt für die Terzen f-,a und g-,h.
cgdae.gif
spiele die vier Quinten c g d a e
okokgt.gif
spiele drei Oktaven und dann die reine Terz c c c ,e
spiele erstes e, zweites ,e und beide gleichzeitig
c_e.gif spiele die pythagoreische Terz c-e (klingt rau)
spiele die Reine Terz c-,e

Weiter: Die reine Stimmung

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