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Lösungsformel von Cardano
reduzierte Gleichung 3. Grades
allgemeine Gleichung 3. Grades
allgemeine Gleichung 4. Grades
Lineare Gleichungssysteme
Punkte, Geraden, Ebenen, Kugeln im Raum Rechnung und Visualisierung
Kettenbrüche
Primzahlen
pythagoreische Zahlentripel und -Quadrupel
Verhulstiteration

TTW-Menü "Rechne|Algebra und Geometrie" führt auf ...

... Lösungsformel nach Cardano

Die reduzierte Gleichung 3. Grades

TTW erläutert zunächst den Lösungsweg

        3
       x  + px + q  = 0

reduzierte kubische Gleichung
Die Lösung der kubischen Gleichung x^3+px+q=0 ist nach Cardano:
x=u+v für u^3=-q/2+wur(d) und v^3=-q/2-wur(d)
für d=(q/2)^2+(p/3)^3 mit Nebenbedingung u*v=-p/3.
Beispiele (p,q)=(2/3;-20/27), (-7;6), (-3;2), (6;2), (1;-2), ...
Herleitung der Formel von Cardano: Setze x=u+v
 =>  u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+p(u+v)+q=0
 =>  u^3+ 3uv(u+v)+  v^3+p(u+v)+q=0
 =>  u^3 + (3uv+p)*(u+v)   +v^3+q=0
 Mit 3uv+p=0 (*) (kann gesetzt werden) folgt: u^3+v^3=-q (**)
 (**)=>  u^6+2u^3v^3+v^6=q^2 (*) =>  4u^3v^3=-4/27p^3
 Subtraktion: u^6-2u^3v^3+v^6=q^2+4/27p^3
 d.h          (u^3-v^3)^2  =4*d für d=(q/2)^2+(p/3)^3 (***)
 Somit gilt:   u^3+v^3 =-q
               u^3-v^3 =2*wur(d)
 Summe/2         u^3   =-q/2+wur(d)
 Differenz/2     v^3   =-q/2-wur(d)
 Literatur:Gregor Mila (Gamertingen):Gleichungen dritten und vierten Grades

TTW rechnet mit Ihren Werten folgendermaßen

        3   7    20
       x  - -x - ——  = 0
            3    27
reduzierte kubische Gleichung p=-7/3 q=20/27
Die Lösung der kubischen Gleichung x^3+px+q=0 ist nach Cardano:
x=u+v für u^3=-q/2+wur(d) und v^3=-q/2-wur(d)
d=(q/2)^2+(p/3)^3=-1/3
d < 0 Casus irreducibilis ergibt reelle Lösungen über komplexe u und v
   Hinweis:cis(phi)=cos(phi)+i*sin(phi)=e^(i*phi)
           3.Wurzel(cis(phi)=cis(phi/3+k*120°) (k=0,1,2 120°=2/3*Pi)
u^3=-10/27+i*1/3*wur(3)=7/27*wur(7)*cis(1 22,680 183 947 392 716 821°)
v^3=-10/27-i*1/3*wur(3)=7/27*wur(7)*cis(-1 22,680 183 947 392 716 821°)
----- 1. Lösung -------------
u=2/3+i*1/3*wur(3)=1/3*wur(7)*cis(40,893 394 649 130 905 608°)
v=2/3-i*1/3*wur(3)=1/3*wur(7)*cis(-40,893 394 649 130 905 608°)
x=u+v=4/3 Probe:x^3+p*x+q=0
----- 2. Lösung -------------
u=-5/6+i*1/6*wur(3)=1/3*wur(7)*cis(1 60,893 394 649 130 905 605°)
v=-5/6-i*1/6*wur(3)=1/3*wur(7)*cis(-1 60,893 394 649 130 905 605°)
x=u+v=-5/3 Probe:x^3+p*x+q=0
----- 3. Lösung -------------
u=1/6+i*-1/2*wur(3)=1/3*wur(7)*cis(2 80,893 394 649 130 905 605°)
v=1/6-i*-1/2*wur(3)=1/3*wur(7)*cis(-2 80,893 394 649 130 905 605°)
x=u+v=1/3 Probe:x^3+p*x+q=0

Ein Beispiel für den Casus reducibilis (d > 0)

        3   1    52
       x  - -x - ——  = 0
            3    27
reduzierte kubische Gleichung p=-1/3 q=52/27
Die Lösung der kubischen Gleichung x^3+px+q=0 ist nach Cardano:
x=u+v für u^3=-q/2+wur(d) und v^3=-q/2-wur(d)
d=(q/2)^2+(p/3)^3=25/27
d > 0 Casus reducibilis ergibt eine reelle Lösung
u^3=-26/27+5/9*wur(3)=-0,000 712 514 313 586 689
v^3=-26/27-5/9*wur(3)=-1,925 213 411 612 339 237
----- Lösung -------------
u=-0,089 316 397 477 040 901
v=-1,244 016 935 856 292 431
x=u+v=-4/3 Probe:x^3-1/3*x+52/27=0
Weitere Lösungen sind die Lösungen der quadratischen Gleichung
   x^2-4/3*x+13/9=0
Rechnung:x1=2/3+wur(-4)/2      x2=2/3-wur(-4)/2
Keine reelle Lösung.

Die allgemeine Gleichung 3. Grades

TTW erläutert zunächst den Lösungsweg

        3     2
      ax  + bx + cx + d =0
   allgemeine kubische Gleichung
   a*z^3+b*z^2+c*z+q=0 bzw. z^3+A*z^2+B*z+C=0
   wird auf die reduzierte kubische Gleichung x^3+p*x+q=0 zurückgeführt.
   Substitution z=x-A/3 führt auf p=B-A^2/3 q=2/27A^3-1/3AB+C

TTW rechnet mit Ihren Werten folgendermaßen

        3     2
       x  - 4x + x + 6 =0
   kubische Gleichung a=1 b=-4 c=1 d=6
   a*z^3+b*z^2+c*z+q=0 bzw. z^3+A*z^2+B*z+C=0
   wird auf die reduzierte kubische Gleichung x^3+p*x+q=0 zurückgeführt.
   Substitution z=x-A/3 führt auf p=B-A^2/3 q=2/27A^3-1/3AB+C
A=-4 B=1 C=6   z^3-4*z^2+1*z+6=0
reduzierte kubische Gleichung mit x=z-4/3 =>  p=-13/3 q=70/27
x^3-13/3*x+70/27=0
Eine Lösung: x=5/3 Probe:x^3-13/3*x+70/27=0
             z=3 Probe: 1*z^3-4*z^2+1*z+6=0
Weitere Lösungen sind die Lösungen der quadratischen Gleichung
   1*z^2-1*z-2=0
Rechnung:z1=1/2+3/2            z2=1/2-3/2
Lösung:z1=2                    z2=-1
       z1+z2=1   z1*z2=-2

Die allgemeine Gleichung 4. Grades

TTW erläutert zunächst den Lösungsweg

    4    3    2
  ax + bx + cx + dx + e = 0
  Gleichung vierten Grades.
Die Lösung der Gleichung a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e=0 bzw.
x^4+A*x^3+B*x^2+C*x+D=0 für  A=b/a B=c/a C=d/a und D=e/a

1. Schritt: Löse y^3-B/2*y^2+1/4*(AC-4*D)*y+1/8*(4BD-A^2*D-C^2)=0
2. Schritt: Löse (x^2+(A/2+s)*x+(y+t))*(x^2+(A/2-s)*x+(y-t))=0
            für s=wur(1/4*A^2+2*y-B) und t=(Ay-C)/(2s)
            bzw. t=wur(y^2-D) (falls s=0)
Literatur:Gregor Mila (Gamertingen):
Gleichungen dritten und vierten Grades S.33

TTW rechnet mit Ihren Werten folgendermaßen

    4     3     2
   x - 10x + 35x - 50x + 24 = 0
Gleichung vierten Grades a=1 b=-10 c=35 d=-50 e=24
Die Lösung der Gleichung a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e=0 bzw.
x^4+A*x^3+B*x^2+C*x+D=0 für A=-10 B=35 C=-50 D=24

1. Schritt: Löse y^3-B/2*y^2+1/4*(AC-4*D)*y+1/8*(4BD-A^2*D-C^2)=0
2. Schritt: Löse (x^2+(A/2+s)*x+(y+t))*(x^2+(A/2-s)*x+(y-t))=0
            für s=wur(1/4*A^2+2*y-B) und t=(Ay-C)/(2s)
            bzw. t=wur(y^2-D) (falls s=0)

1.Schritt:
y^3-35/2*y^2+101*y-385/2=0
reduzierte kubische Gleichung p=-13/12 q=-35/108
z^3-13/12*z-35/108=0
Eine Lösung: z=7/6
             y=7
2. Schritt: s=2 t=-5
Zu lösen bleibt:(x^2-3*x+2)*(x^2-7*x+12)=0
Rechnung:x1=1'1/2+1/2          x2=1'1/2-1/2
Lösung:x1=2                    x2=1
       x1+x2=3   x1*x2=2
Rechnung:x3=3'1/2+1/2          x4=3'1/2-1/2
Lösung:x3=4                    x4=3
       x3+x4=7   x3*x4=12

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... Lineare Gleichungssysteme

Wie werden diese in TTW eingegeben und gerechnet?

Beispiel 1:TTW erläutert zunächst wie Sie die Werte eingeben müssen

n=2 (Zahl der Unbekannten) m=2 (Zahl der Gleichungen)
5   -7  |9
-3   2  |4
Nach Klicken auf "Rechne" wird das folgende Gleichungssystem gelöst.
*************************************************
5*x1  - 7*x2 =9
-3*x1 + 2*x2 =4
*************************************************
*    Jetzt auf "Rechne Lin. Gl.-System" klicken *
*  (vorher Koeffizienten ändern)                *
*************************************************
Es wird versucht, ganzzahlig auf der linken Seite zu rechnen und das Ergebnis
als Bruch auszugeben.
Tipps *: Löschen Sie vorher dieses Feld mit "alles löschen".
      *: Übertragen Sie die Aufgabe und Ergebnisse mit "Kopieren" und "Einfügen".
      *: Der Trennstrich "|" kann, muss aber nicht eingegeben sein.
      *: Brüche - allgemein alle Rechenausdrücke ohne Leerstelle- sind erlaubt.
      *: Dezimalzahlen sind mit Punkt oder Komma erlaubt.
      *: Die Probe rechnet mit dem Ausgangsgleichungssystem.

TTW rechnet mit Ihren Werten folgendermaßen

n=2 (Zahl der Unbekannten) m=2 (Zahl der Gleichungen)
5   -7  |9
-3   2  |4
*********************
5       -7      | 9
-3      2       | 4
*********************
5       -7      | 9
0       1       | -47/11
*********************
1       0       | -46/11
0       1       | -47/11
*********************
x1=-46/11                        =-4,181 818 181 818 181 818
x2=-47/11                        =-4,272 727 272 727 272 727
o.K.  Probe mit Lösung (-46/11;-47/11)

Beispiel 2:TTW erläutert zunächst wie Sie die Werte eingeben müssen

n=5 (Zahl der Unbekannten) m=4 (Zahl der Gleichungen)
1/2   -0.5   0      0     -0,5     |1/2
0      0     -1      1     -1      |1/3
10/9   0    -20/9    0     10/9    |1/4
0     20      0    -10    -10      |1/5
******* Lineare Gleichungssysteme ********
Die Koeffizienten des LGS stehen in den ersten Zeilen.
Es handelt sich um 4 Gleichungen mit 5 Unbekannten.
Nach Klicken auf "Rechne" wird das folgende Gleichungssystem gelöst.
******************************************
1/2*x1  - 0,5*x2              -0,5*x5=1/2
        ...
           20*x2      -10*x4 - 10 *x5=1/5
*************************************************
*    Jetzt auf "Rechne Lin. Gl.-System" klicken *

*  (vorher Koeffizienten ändern)               *
*************************************************

TTW rechnet mit Ihren Werten folgendermaßen

n=5 (Zahl der Unbekannten) m=4 (Zahl der Gleichungen)
1/2   -0.5   0      0     -0,5     |1/2
0      0     -1      1     -1      |1/3
10/9   0    -20/9    0     10/9    |1/4
0     20      0    -10    -10      |1/5
*********************
1       -1      0       0       -1      | 1
0       0       1       -1      1       | -1/3
-1      0       2       0       -1      | -9/40
0       -2      0       1       1       | -1/50
*********************
1       -1      0       0       -1      | 1
0       0       1       -1      1       | -1/3
0       -1      2       0       -2      | 31/40
0       -2      0       1       1       | -1/50
*********************
1       -1      0       0       -1      | 1
0       0       1       -1      1       | -1/3
0       1       0       -2      4       | -173/120
0       -2      0       1       1       | -1/50
*********************
1       0       0       -2      3       | -53/120
0       0       1       -1      1       | -1/3
0       1       0       -2      4       | -173/120
0       0       0       1       -3      | 871/900
*********************
1       0       0       0       -3      | 2689/1800
0       0       1       0       -2      | 571/900
0       1       0       0       -2      | 889/1800
0       0       0       1       -3      | 871/900
*********************
x1=2689/1800  +3*x5              =1,493 888 888 888 888 889 +3*x5
x2=889/1800   +2*x5              =0,493 888 888 888 888 889 +2*x5
x3=571/900    +2*x5              =0,634 444 444 444 444 444 +2*x5
x4=871/900    +3*x5              =0,967 777 777 777 777 778 +3*x5
x5 beliebig
o.K.  Probe mit Lösung (2689/1800;889/1800;571/900;871/900;0)
o.K.  Probe(Variation mit x5) mit Lösung (8089/1800;4489/1800;2371/900;3571/900;1)

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... Ebenen Geraden und Punkte im Raum
Berechnungen und Visualisierung

Umformung Parameterform der Ebene in Koordinatengleichung

TTW erläutert zunächst wie Sie die Werte eingeben müssen

Ebene Parameterform  p(4 2 3)    u(-3 -1 2)   v(-5 -4 1)
                      Aufpunkt      RV          RV
------- Umformung Parameterform der Ebene in Normalform --------
Hier im Beispiel handelt es sich um eine Ebene mit dem Punkt P
und den Richtungsvektoren u und v (Trennzeichen " " oder "|")
Alternativ können Sie auch drei Punkte eingeben.
(Dazu "Alles löschen" und "Ebene ABC" klicken)
-----------------------------------------------------
   Jetzt noch einmal auf "Ebene Parameterform klicken!
   Vorher die Werte überschreiben
----------------------------------------------
Die Normalenform a*x1+b*x2+c*x3=d wird dann berechnet.
Bei  "Zeichne" wird anschließend das Spurdreieck gezeigt.

TTW rechnet mit Ihren Werten folgendermaßen

Ebene Parameterform p(4|2|3) u(-3 -1 2) v(-5 -4 1)
Ebene DREIECK  A(4|2|3)B(1|1|5)C(-1|-2|4)
*** Koordinatengleichung der Ebene ***
         1*x1-1*x2+1*x3=5
DREIECK der Spurpunkte  S1(5|0|0) S2(0|-5|0) S3(0|0|5)
Ebenenpunkte:  (0|0|5)      (0|1|6)     (1|0|4)     (-1|0|6)    (1|0|4)
               (-1|0|6)     (0|2|7)     (1|1|5)     (-1|1|7)    (1|-1|3)
               (-1|-1|5)    (2|0|3)     (-2|0|7)    (2|0|3)     (-2|0|7)
               (0|3|8)      (1|2|6)     (-1|2|8)    (1|-2|2)    (-1|-2|4)
               (2|1|4)      (-2|1|8)    (2|-1|2)    (-2|-1|6)   (3|0|2)
               (-3|0|8)     (3|0|2)     (-3|0|8)    (0|4|9)     (1|3|7)
               (-1|3|9)     (1|-3|1)    (-1|-3|3)   (2|2|5)     (-2|2|9)
Ähnlich erhalten Sie die Koordinatengleichung der Ebene, wenn Sie die Koordinaten dreier Punkte eingeben.

Abstand Punkt Ebene

TTW erläutert zunächst wie Sie die Werte eingeben müssen

Abstand Punkt Ebene
2 -1 -5 3   (Ebene E: 2x1-x2-5x3=3)
-1 2 1      (Punkt P(-1 2 1))
Ändern Sie die Werte und klicken Sie den Punkt noch mal an!

TTW rechnet mit Ihren Werten folgendermaßen

Abstand Punkt Ebene
2     -1    -5    3    (Ebene E: 2*x1-1*x2+-5*x3=3)
-1    2     1          (Punkt P(-1|2|1))
DREIECK der Spurpunkte  S1(1'1/2|0|0) S2(0|-3|0) S3(0|0|-3/5)
±Abstand=-2,19089023=-2,190 9
Fußpunkt=F(-1/5|1'3/5|-1)=F(-0,2|1,6|-1) s=2/5
STRECKE P(-1|2|1) F(-1/5|1'3/5|-1)

Abstand zweier windschiefer Geraden

TTW erläutert zunächst wie Sie die Werte eingeben müssen

Gerade p(9 10 -2)  u(-2 1 0)  Gerade g: x=p+s*u
Gerade q(1 -3 -4) v(0 1 3)  Gerade h: x=q+t*v
Ändern Sie die Werte und klicken Sie den Punkt noch mal an!

TTW rechnet mit Ihren Werten folgendermaßen

Gerade p(9 10 -2)  u(-2 1 0)  Gerade g: x=p+s*u
Gerade q(1 -3 -4) v(0 1 3)  Gerade h: x=q+t*v
g=p+s*u h:=q+t*v mit GH senkrecht g und senkrecht h führt auf LGS
1*s-5*t=-3
10*s-1*t=19
s=1 t=2 G(7|11|-2) H(1|-1|2)
Abstand d(g,h)=g(G,H)=14
Winkel zwischen u und v: cos(phi)=1/(wur(5)*wur(10))=0,1414213562
 =>  phi=8,1301023542°
---------- Jetzt "Zeichne" klicken!-----------------
STRECKE G(7|11|-2) H(1|-1|2)

Schnittpunkt Gerade-Ebene

TTW erläutert zunächst wie Sie die Werte eingeben müssen

p(2 2 1)  u(1 -1 1)  Gerade g: x=p+s*u
-1 7 2 16            Ebene  E: -x1+7x2+2x3=16
Ändern Sie die Werte und klicken Sie den Punkt noch mal an!

TTW rechnet mit Ihren Werten folgendermaßen

p(2|2|1) u(1 -1 1)  Gerade g: x=p+s*u
-1 7 2 16  Ebene n*x=d bzw. ax1+bx2+cx3=d
"g in E" führt auf n*u*s+n*p=d, hier: -6*s+14=16
Schnittpunkt S(1'2/3|2'1/3|2/3)  s=-1/3

Berechnung der Kugelgleichung aus vier Punkten

TTW erläutert zunächst wie Sie die Werte eingeben müssen

Kugel durch A(4|4|6) B(0|3|6) C(5|4|5) D(-1|3|1)
Ändern Sie die Werte und klicken Sie den Punkt noch mal an!

TTW rechnet mit Ihren Werten folgendermaßen

Kugel durch A(4|4|6) B(0|3|6) C(5|4|5) D(-1|3|1)
Ansatz Kugel: x1^2+x2^2+x3^2+ax1+bx2+cx3=d
 =>  M(-a/2|-b/2|-c/2) r=d(A,M)
Punktprobe mit A,B,C und D führt mit Umformung
ax1+bx2+cx3-d=-(x1^2+x2^2+x3^2) auf das LGS für a,b,c und d:
n=4 m=4
4     4     6     -1 |-68
0     3     6     -1 |-45
5     4     5     -1 |-66
-1    3     1     -1 |-11
(1)-(2), (1)-(3), (1)-(4) führt auf das LGS für a,b und c:
n=3 m=3
4     1     0    |-23
-1    0     1    |-2
5     1     5    |-57
Lösung: a=-4 b=-7 c=-6
        in (1) =>  d=-12
Mittelpunkt M(2|3'1/2|3) Radius r=3,6400549446
KUGEL M(2|3'1/2|3) Radius r=3,640 054 944 640 259 136
Probe  MA=3,6400549446
       MB=3,6400549446
       MC=3,6400549446
       MD=3,6400549446

Schnittpunkt Kugel Gerade

TTW erläutert zunächst wie Sie die Werte eingeben müssen

Gerade p(-8 8 14) u(4 0 -3)
Kugel M(3 8 4) r=5
Ändern Sie die Werte und klicken Sie den Punkt noch mal an!

TTW rechnet mit Ihren Werten folgendermaßen

Gerade p(-8 8 14) u(4 0 -3)
Kugel M(3 8 4) r=5
Gerade in Kugel führt auf Gleichung 25*s^2-148*s+196=0
Lsg.: s1=3'23/25 s2=2 Schnittpunkte Gerade Kugel
STRECKE S1(7'17/25|8|2'6/25)S2(0|8|8)

TTW-Menü "Rechne|Rechnen..|Folgen" führt auf ...

... Kettenbruch       Siehe auch: Reell Zu Bruch

Sie geben ein

q=77708431/2640858

TTW erläutert und rechnet mit Ihrem Wert

Die Kettenbruchentwicklung für q (Bruch oder Dezimalzahl)
dient dazu, q durch einen möglichst genauen Bruch anzunähern.
Wichtig:q im Parameterfeld eingeben.
--------------------------Theorie-------------------------------
q=q0=v1+q1, wobei v1=int(q0) der ganzzahlige Teil von q0
1/q1=v2+q2, wobei v2=int(1/q1) =>  q=v1+1/(v2+q2)  q(1.Näherung)=v1+1/v2
                                          1                          1
1/q2=v3+q3, wobei v3=int(1/q2) =>  q=v1+---------  q(2.Näherung)=v1+------
                                              1                        1
                                        v2+-----                    v2+--
                                           v3+q3                       v3
Schreibweise für Kettenbruch q=[v1,v2,v3,v4,...]
z.B. q(2.Näherung)=[v1,v2,v3]

Anwendung: Christaan Huygens (niederländischer Physiker 1629-1695, der das Licht als Welle erklärte) fand für die Umlaufzeit Saturn zur Erde das Verhältnis 77708431:2640858. Für eine passende Astronomische Uhr mussten die Zahnräder mit weniger Zähnen als die hier genannten Zahlen auskommen. Deswegen suchte man für dieses Verhälnis Näherungen.

TTW erläutert und rechnet mit Ihrem Wert

q=29,425 448 471 670 949 365=77708431/2640858
                          Näherung=29/1             Fehler:0,425
q0=29+1/2,350 460 905 576 Näherung=59/2             Fehler:-0,0746
q1=2+1/2,853 385 310 849  Näherung=147/5            Fehler:0,0254
q2=2+1/1,171 803 624 091  Näherung=206/7            Fehler:-0,00312
q3=1+1/5,820 598 984 947  Näherung=1177/40          Fehler:0,000448
q4=5+1/1,218 622 028 961  Näherung=1383/47          Fehler:-8,34E-5
q5=1+1/4,574 104 470 406  Näherung=6709/228         Fehler:9,88E-6
q6=4+1/1,741 843 255 970  Näherung=8092/275         Fehler:-6,07E-6
q7=1+1/1,347 993 652 232  Näherung=14801/503        Fehler:1,16E-6
q8=1+1/2,873 615 635 179  Näherung=37694/1281       Fehler:-3,96E-7
q9=2+1/1,144 668 158 090  Näherung=52495/1784       Fehler:4,12E-8
q10=1+1/6,912 371 134 063 Näherung=352664/11985     Fehler:-5,59E-9
q11=6+1/1,096 045 197 688 Näherung=405159/13769     Fehler:4,68E-10
q12=1+1/10,411 764 711 46 Näherung=4404254/149675   Fehler:-1,77E-11
q13=10+1/2,428 571 395 63 Näherung=9213667/313119   Fehler:3,63E-12
q14=2+1/2,333 333 512 675 Näherung=22831588/775913  Fehler:-4,88E-13
q15=2+1/2,999 998 385 919 Näherung=54876843/1864945 Fehler:2,03E-13
q16=2+1/1,000 001 614 082 Näherung=77708431/2640858 Fehler:0
q=[29,2,2,1,5,1,4,1,1,2,1,6,1,10,2,2,2,1]
Lösung der diophantische Gleichung
77708431·n+2640858·m=1 ist n=1864945 und m=-54876843
Probe: 77708431·1864945-2640858·54876843=1
d.h.Es ist 77708431*Z+2640 858*Z=Z
Allgemein: ggT(a,b)=t => Es gibt m,n in Z mit m·a+n·b=t (Lösung wird von TTW mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus ermittelt)

Sie geben ein

q=wur(2) (Quadratwurzel von 2)

TTW erläutert und rechnet mit Ihrem Wert

                    ...
--------------------------Praxis------------------------------------------
q=1,414 213 562 373 095 049
q0=1+1/2,414 213 562  Näherung=3/2             Fehler:-0,0858
q1=2+1/2,414 213 562  Näherung=7/5             Fehler:0,0142
q2=2+1/2,414 213 562  Näherung=17/12           Fehler:-0,00245
q3=2+1/2,414 213 562  Näherung=41/29           Fehler:0,00042
q4=2+1/2,414 213 562  Näherung=99/70           Fehler:-7,22E-5
q5=2+1/2,414 213 562  Näherung=239/169         Fehler:1,24E-5
q6=2+1/2,414 213 562  Näherung=577/408         Fehler:-2,12E-6
q7=2+1/2,414 213 562  Näherung=1393/985        Fehler:3,64E-7
q8=2+1/2,414 213 562  Näherung=3363/2 378      Fehler:-6,25E-8
q9=2+1/2,414 213 562  Näherung=8119/5 741      Fehler:1,07E-8
q10=2+1/2,414 213 562 Näherung=19601/13860     Fehler:-1,84E-9
q11=2+1/2,414 213 562 Näherung=47321/33461     Fehler:3,16E-10
q12=2+1/2,414 213 562 Näherung=114243/80782    Fehler:-5,42E-11
q13=2+1/2,414 213 560 Näherung=275807/195025    Fehler:9,3E-12
-----------------------------------------------------------
q=[1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,...]

Sie geben ein

q=Pi ... und TTW berechnet Ihnen die Näherungsbrüche.
Näherung=3/1               Fehler:0,142
Näherung=22/7              Fehler:-0,00126
Näherung=333/106           Fehler:8,32E-5
Näherung=355/113           Fehler:-2,67E-7
Näherung=103993/33102      Fehler:5,78E-10
Näherung=104348/33215      Fehler:-3,32E-10
...
q=[3,7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,...]

Sie sehen: Die klassischen Näherungswerte sind dabei:

           3                  (I. Könige 7 Vers 23; II. Chronik 4 Vers 2)
           22/7 =    3'1/7    (Archimedes)
           355/113 = 3'16/113 (Tsu Ch'ung-Chih, 430-501, China)
Näheres zu Pi

Sie geben ein

q=lb(3/2) ... und TTW berechnet Ihnen die Näherungsbrüche.
Näherung=1/2             Fehler:0,085
Näherung=3/5             Fehler:-0,015
Näherung=7/12            Fehler:0,00163
Näherung=24/41           Fehler:-0,000403
Näherung=31/53           Fehler:5,68E-5
Näherung=179/306         Fehler:-4,82E-6
Näherung=389/665         Fehler:9,47E-8
Näherung=9 126/15 601    Fehler:-1,68E-9
Näherung=18 641/31 867   Fehler:3,29E-10
...
q=[0,1,1,2,2,3,1,5,2,23,2,2,1,1,55,1,4,...]

Für den Musiktheoretiker sind die Näherungsbrüche von von lb(3/2) = Logarithmus 3/2 zur Basis 2 wichtig.
Allgemein bekannt: lb(3/2)=7/12, d.h. +12 Quinten (hoch),
                   -7 Oktaven (tief) ergibt ungefähr denselben Ton.
                   Fehler: das "pythagoreische Komma" = 23,5 Cent.
lb(3/2)=Logarithmus zur Basis 2 von (3/2) ergibt sich durch das Frequenzverhälnis der Quinte. Da aber Intervalle addiert werden und nicht wie Frequenzverhälnisse multipliziert werden, muss man zum Logarithmus übergehen. Der Fehler ist noch gut hörbar, ebenso noch bei 41 Quinten -24 Oktaven, aber kaum noch bei 53 Quinten - 31 Oktaven.
Verallgemeint ergibt sich folgendes Schema für die Näherungsbrüche:
Quinten m +2 +5 +12 +41 +53 +306 +665
Oktaven n -1 -3 -7 -24 -31 -179 -389
Diff.[Cent] 204 -90 23,5 -19,8 3,62 -1,77 0,076
    m
1,5
Formel für Diff=lb ——— * 1200  [in Cent]
  n
2
Lit.: Wilfried Neumaier: Was ist ein Tonsystem. Quellen und Studien zur Musikgeschichte von der Antike bis zur Gegenwart Bd. 9. Verlag: Peter Lang, 1986

TTW-Menü "Rechne|Rechnen..|Zahlentheorie" führt auf ...

Berechnung von Primzahlen

Sie wünschen z.B. alle Primzahlen zwischen 100 000 und 101 000. TTW liefert die Primzahlen [Zwillinge mit "*" gekennzeichnet].
PrZ(9 593)=100 003, d.h. die 9 593. Primzahl ist 100 003.
PrZ(9 594)=100 019
...
PrZ(9 602)=100 151 * PrZ(9 603)=100 153
...
Die Funktion x ——> PrZ(x) ist in TTW als Standardfunktion integriert.

TTW-Menü "Rechne|Rechnen..|Zahlentheorie" führt auf ...

Berechnung aller pythagoreischer Zahlentripel

Die ersten berechneten Werte sind:
3^2+4^2=5^2
  (ggT=2)6^2+8^2=10^2
5^2+12^2=13^2
  (ggT=3)9^2+12^2=15^2
8^2+15^2=17^2
  (ggT=4)12^2+16^2=20^2
7^2+24^2=25^2     (ggT=5)15^2+20^2=25^2
  (ggT=2)10^2+24^2=26^2
20^2+21^2=29^2
  (ggT=6)18^2+24^2=30^2
  (ggT=2)16^2+30^2=34^2
  (ggT=7)21^2+28^2=35^2
12^2+35^2=37^2
  (ggT=3)15^2+36^2=39^2
  (ggT=8)24^2+32^2=40^2
9^2+40^2=41^2
  (ggT=9)27^2+36^2=45^2
  (ggT=2)14^2+48^2=50^2     (ggT=10)30^2+40^2=50^2
  (ggT=3)24^2+45^2=51^2
  (ggT=4)20^2+48^2=52^2
28^2+45^2=53^2
  (ggT=11)33^2+44^2=55^2
  (ggT=2)40^2+42^2=58^2
  (ggT=12)36^2+48^2=60^2
11^2+60^2=61^2
16^2+63^2=65^2     (ggT=5)25^2+60^2=65^2   33^2+56^2=65^2
                   (ggT=13)39^2+52^2=65^2
  (ggT=4)32^2+60^2=68^2
  (ggT=14)42^2+56^2=70^2
48^2+55^2=73^2
  (ggT=2)24^2+70^2=74^2
  (ggT=3)21^2+72^2=75^2     (ggT=15)45^2+60^2=75^2
  (ggT=6)30^2+72^2=78^2
  (ggT=16)48^2+64^2=80^2
  (ggT=2)18^2+80^2=82^2

Berechnung aller pythagoreischer Zahlenquadrupel

1^2+2^2+2^2=3^2
  (ggT=2)2^2+4^2+4^2=6^2
2^2+3^2+6^2=7^2
1^2+4^2+8^2=9^2    (ggT=3)3^2+6^2+6^2=9^2  4^2+4^2+7^2=9^2
2^2+6^2+9^2=11^2  6^2+6^2+7^2=11^2
  (ggT=4)4^2+8^2+8^2=12^2
3^2+4^2+12^2=13^2
  (ggT=2)4^2+6^2+12^2=14^2
2^2+5^2+14^2=15^2  2^2+10^2+11^2=15^2    (ggT=5)5^2+10^2+10^2=15^2
1^2+12^2+12^2=17^2  8^2+9^2+12^2=17^2
  (ggT=2)2^2+8^2+16^2=18^2    (ggT=6)6^2+12^2+12^2=18^2
  (ggT=2)8^2+8^2+14^2=18^2
1^2+6^2+18^2=19^2  6^2+6^2+17^2=19^2  6^2+10^2+15^2=19^2
4^2+5^2+20^2=21^2  4^2+8^2+19^2=21^2  4^2+13^2+16^2=21^2
  (ggT=3)6^2+9^2+18^2=21^2    (ggT=7)7^2+14^2+14^2=21^2  8^2+11^2+16^2=21^2
  (ggT=2)4^2+12^2+18^2=22^2    (ggT=2)12^2+12^2+14^2=22^2
3^2+6^2+22^2=23^2  3^2+14^2+18^2=23^2  6^2+13^2+18^2=23^2
  (ggT=8)8^2+16^2+16^2=24^2
9^2+12^2+20^2=25^2  12^2+15^2+16^2=25^2
  (ggT=2)6^2+8^2+24^2=26^2
2^2+7^2+26^2=27^2  2^2+10^2+25^2=27^2  2^2+14^2+23^2=27^2
  (ggT=3)3^2+12^2+24^2=27^2  7^2+14^2+22^2=27^2
  (ggT=9)9^2+18^2+18^2=27^2  10^2+10^2+23^2=27^2
  (ggT=3)12^2+12^2+21^2=27^2  (ggT=4)8^2+12^2+24^2=28^2
3^2+16^2+24^2=29^2  11^2+12^2+24^2=29^2  12^2+16^2+21^2=29^2
  (ggT=2)4^2+10^2+28^2=30^2    (ggT=2)4^2+20^2+22^2=30^2
  (ggT=10)10^2+20^2+20^2=30^2
5^2+6^2+30^2=31^2  6^2+14^2+27^2=31^2  6^2+21^2+22^2=31^2
  14^2+18^2+21^2=31^2
1^2+8^2+32^2=33^2  4^2+7^2+32^2=33^2  4^2+17^2+28^2=33^2
  (ggT=3)6^2+18^2+27^2=33^2  7^2+16^2+28^2=33^2  8^2+8^2+31^2=33^2
   8^2+20^2+25^2=33^2    (ggT=11)11^2+22^2+22^2=33^2  17^2+20^2+20^2=33^2
  (ggT=3)18^2+18^2+21^2=33^2
  (ggT=2)2^2+24^2+24^2=34^2    (ggT=2)16^2+18^2+24^2=34^2
1^2+18^2+30^2=35^2  6^2+10^2+33^2=35^2  6^2+17^2+30^2=35^2
  (ggT=5)10^2+15^2+30^2=35^2  15^2+18^2+26^2=35^2
  (ggT=4)4^2+16^2+32^2=36^2    (ggT=12)12^2+24^2+24^2=36^2
  (ggT=4)16^2+16^2+28^2=36^2
3^2+8^2+36^2=37^2  3^2+24^2+28^2=37^2  8^2+24^2+27^2=37^2
  12^2+21^2+28^2=37^2
  (ggT=2)2^2+12^2+36^2=38^2    (ggT=2)12^2+12^2+34^2=38^2
  (ggT=2)12^2+20^2+30^2=38^2
2^2+19^2+34^2=39^2  2^2+26^2+29^2=39^2    (ggT=3)9^2+12^2+36^2=39^2
  10^2+14^2+35^2=39^2  13^2+14^2+34^2=39^2    (ggT=13)13^2+26^2+26^2=39^2
  14^2+22^2+29^2=39^2  19^2+22^2+26^2=39^2
4^2+12^2+39^2=41^2  4^2+24^2+33^2=41^2  9^2+24^2+32^2=41^2
  12^2+24^2+31^2=41^2  23^2+24^2+24^2=41^2
  (ggT=2)8^2+10^2+40^2=42^2    (ggT=2)8^2+16^2+38^2=42^2
  (ggT=2)8^2+26^2+32^2=42^2    (ggT=6)12^2+18^2+36^2=42^2
  (ggT=14)14^2+28^2+28^2=42^2    (ggT=2)16^2+22^2+32^2=42^2
2^2+9^2+42^2=43^2  2^2+18^2+39^2=43^2  6^2+7^2+42^2=43^2
  7^2+30^2+30^2=43^2  9^2+18^2+38^2=43^2  18^2+25^2+30^2=43^2
  (ggT=4)8^2+24^2+36^2=44^2    (ggT=4)24^2+24^2+28^2=44^2
4^2+28^2+35^2=45^2  5^2+8^2+44^2=45^2    (ggT=5)5^2+20^2+40^2=45^2
  (ggT=3)6^2+15^2+42^2=45^2    (ggT=3)6^2+30^2+33^2=45^2
  8^2+19^2+40^2=45^2  13^2+16^2+40^2=45^2    (ggT=15)15^2+30^2+30^2=45^2
  16^2+20^2+37^2=45^2    (ggT=5)20^2+20^2+35^2=45^2  20^2+28^2+29^2=45^2
  (ggT=2)6^2+12^2+44^2=46^2    (ggT=2)6^2+28^2+36^2=46^2
  (ggT=2)12^2+26^2+36^2=46^2
2^2+21^2+42^2=47^2  6^2+18^2+43^2=47^2  6^2+27^2+38^2=47^2
  11^2+18^2+42^2=47^2  18^2+21^2+38^2=47^2  18^2+27^2+34^2=47^2
  (ggT=16)16^2+32^2+32^2=48^2
4^2+9^2+48^2=49^2  4^2+33^2+36^2=49^2  9^2+32^2+36^2=49^2
  12^2+24^2+41^2=49^2  12^2+31^2+36^2=49^2    (ggT=7)14^2+21^2+42^2=49^2
  15^2+24^2+40^2=49^2  23^2+24^2+36^2=49^2
  (ggT=2)18^2+24^2+40^2=50^2    (ggT=2)24^2+30^2+32^2=50^2
1^2+10^2+50^2=51^2  1^2+22^2+46^2=51^2  1^2+34^2+38^2=51^2
  2^2+14^2+49^2=51^2    (ggT=3)3^2+36^2+36^2=51^2  10^2+10^2+49^2=51^2
  14^2+14^2+47^2=51^2  14^2+17^2+46^2=51^2  14^2+31^2+38^2=51^2
  (ggT=17)17^2+34^2+34^2=51^2  22^2+31^2+34^2=51^2
  (ggT=3)24^2+27^2+36^2=51^2
  (ggT=4)12^2+16^2+48^2=52^2
8^2+12^2+51^2=53^2  8^2+21^2+48^2=53^2  12^2+19^2+48^2=53^2
  12^2+27^2+44^2=53^2  12^2+36^2+37^2=53^2  27^2+28^2+36^2=53^2
  (ggT=2)4^2+14^2+52^2=54^2    (ggT=2)4^2+20^2+50^2=54^2
  (ggT=2)4^2+28^2+46^2=54^2    (ggT=6)6^2+24^2+48^2=54^2
  (ggT=2)14^2+28^2+44^2=54^2    (ggT=18)18^2+36^2+36^2=54^2
  (ggT=2)20^2+20^2+46^2=54^2    (ggT=6)24^2+24^2+42^2=54^2
3^2+10^2+54^2=55^2  3^2+30^2+46^2=55^2  6^2+35^2+42^2=55^2
  10^2+18^2+51^2=55^2    (ggT=5)10^2+30^2+45^2=55^2  18^2+26^2+45^2=55^2
  19^2+30^2+42^2=55^2    (ggT=5)30^2+30^2+35^2=55^2
  (ggT=8)16^2+24^2+48^2=56^2
  (ggT=3)3^2+18^2+54^2=57^2  4^2+23^2+52^2=57^2  4^2+32^2+47^2=57^2
   7^2+8^2+56^2=57^2  7^2+40^2+40^2=57^2  8^2+28^2+49^2=57^2
  16^2+17^2+52^2=57^2  16^2+28^2+47^2=57^2  17^2+32^2+44^2=57^2
  (ggT=3)18^2+18^2+51^2=57^2    (ggT=3)18^2+30^2+45^2=57^2
  (ggT=19)19^2+38^2+38^2=57^2  23^2+28^2+44^2=57^2  25^2+32^2+40^2=57^2
  28^2+28^2+41^2=57^2
  (ggT=2)6^2+32^2+48^2=58^2    (ggT=2)22^2+24^2+48^2=58^2
  (ggT=2)24^2+32^2+42^2=58^2
6^2+9^2+58^2=59^2  6^2+14^2+57^2=59^2  6^2+23^2+54^2=59^2
  6^2+41^2+42^2=59^2  9^2+22^2+54^2=59^2  9^2+30^2+50^2=59^2
  14^2+39^2+42^2=59^2  30^2+30^2+41^2=59^2
  (ggT=4)8^2+20^2+56^2=60^2    (ggT=4)8^2+40^2+44^2=60^2
  (ggT=20)20^2+40^2+40^2=60^2
3^2+24^2+56^2=61^2  11^2+36^2+48^2=61^2  12^2+21^2+56^2=61^2
  20^2+36^2+45^2=61^2  21^2+24^2+52^2=61^2  24^2+29^2+48^2=61^2
  24^2+36^2+43^2=61^2
  (ggT=2)10^2+12^2+60^2=62^2    (ggT=2)12^2+28^2+54^2=62^2
  (ggT=2)12^2+42^2+44^2=62^2    (ggT=2)28^2+36^2+42^2=62^2
2^2+11^2+62^2=63^2  2^2+22^2+59^2=63^2  2^2+34^2+53^2=63^2
  2^2+43^2+46^2=63^2  5^2+10^2+62^2=63^2  5^2+38^2+50^2=63^2
  (ggT=7)7^2+28^2+56^2=63^2  10^2+37^2+50^2=63^2  11^2+22^2+58^2=63^2
  (ggT=3)12^2+15^2+60^2=63^2    (ggT=3)12^2+24^2+57^2=63^2
  (ggT=3)12^2+39^2+48^2=63^2    (ggT=9)18^2+27^2+54^2=63^2
  (ggT=21)21^2+42^2+42^2=63^2  22^2+26^2+53^2=63^2  22^2+37^2+46^2=63^2
  (ggT=3)24^2+33^2+48^2=63^2  26^2+38^2+43^2=63^2
  (ggT=7)28^2+28^2+49^2=63^2  34^2+37^2+38^2=63^2
7^2+24^2+60^2=65^2    (ggT=5)15^2+20^2+60^2=65^2  15^2+36^2+52^2=65^2
  20^2+24^2+57^2=65^2  20^2+39^2+48^2=65^2  25^2+36^2+48^2=65^2
  (ggT=2)2^2+16^2+64^2=66^2    (ggT=2)8^2+14^2+64^2=66^2
  (ggT=2)8^2+34^2+56^2=66^2    (ggT=6)12^2+36^2+54^2=66^2
  (ggT=2)14^2+32^2+56^2=66^2    (ggT=2)16^2+16^2+62^2=66^2
  (ggT=2)16^2+40^2+50^2=66^2    (ggT=22)22^2+44^2+44^2=66^2
  (ggT=2)34^2+40^2+40^2=66^2    (ggT=6)36^2+36^2+42^2=66^2
6^2+22^2+63^2=67^2  6^2+33^2+58^2=67^2  14^2+18^2+63^2=67^2
  15^2+30^2+58^2=67^2  15^2+42^2+50^2=67^2  18^2+42^2+49^2=67^2
  22^2+33^2+54^2=67^2  30^2+33^2+50^2=67^2  31^2+42^2+42^2=67^2
  (ggT=4)4^2+48^2+48^2=68^2    (ggT=4)32^2+36^2+48^2=68^2

TTW-Menü "Rechne|Rechnen..|Folgen" führt auf ...

... Verhulst-Iteration

      Iteration
      x    = 4·p·x·(1-x )  x  Anfangswert, 0< p< 1, n=0, 1, 2,...
       n+1             n    0

x  = Bestand der Population im Jahre n, wobei die Population des
 n

Folgejahres proportional zu x und zu (1-x ) ist, d.h.
                             n           n

   proportional zum Bestand als auch
   proportional zum Nahrungsangebot.

Der Mathematiker spricht von der logistischen Abbildung
(ein eindimensionales Beispiel der nichtlinearen Dynamik).
Zu beobachten ist:

In TTW geben Sie ein:

von=1501         Ab dieser Nummer wird der Iterationswert berechnet
bis=1501+32      Bis zu dieser Nummer wird gerechnet
x0=0,5           Anfangswert
p=0,892          Der entscheidende Parameter

TTW rechnet mit Ihren Werten

   Verhulst p=0,892
   x(neu)=4*p*x*(1-x) für x=x(alt)
   ———————————————————————
     n  :     x
               n
   ———————————————————————
   1501 :0,550 208 561 07
   1502 :0,883 005 430 21
   1503 :0,368 598 806 652
   1504 :0,830 393 935 748
   1505 :0,502 516 574 885
   1506 :0,891 977 403 324
   1507 :0,343 790 056 132
   1508 :0,804 935 281 862
   1509 :0,560 227 642 789
   1510 :0,879 057 547 565
   1511 :0,379 333 260 261
   1512 :0,840 048 271 302
   1513 :0,479 422 073 923
   1514 :0,890 489 126 684
   1515 :0,347 945 087 249
   1516 :0,809 505 354 917
   --- Periode=16 ---
   1517 :0,550 208 561 07
   1518 :0,883 005 430 21
   1519 :0,368 598 806 652
   1520 :0,830 393 935 748
   1521 :0,502 516 574 885
   1522 :0,891 977 403 324
   1523 :0,343 790 056 132
   1524 :0,804 935 281 862
   1525 :0,560 227 642 789
   1526 :0,879 057 547 565
   1527 :0,379 333 260 261
   1528 :0,840 048 271 302
   1529 :0,479 422 073 923
   1530 :0,890 489 126 684
   1531 :0,347 945 087 249
   1532 :0,809 505 354 917
   1533 :0,550 208 561 07

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