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Lösungsformel von Cardano
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reduzierte Gleichung 3. Grades
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allgemeine Gleichung 3. Grades
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allgemeine Gleichung 4. Grades
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Lineare Gleichungssysteme
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Punkte, Geraden, Ebenen, Kugeln im Raum
Rechnung und Visualisierung
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Kettenbrüche
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Primzahlen
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pythagoreische Zahlentripel und -Quadrupel
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Verhulstiteration
TTW-Menü "Rechne|Algebra und Geometrie" führt auf ...
... Lösungsformel nach Cardano
Die reduzierte Gleichung 3. Grades
TTW erläutert zunächst den Lösungsweg
3
x + px + q = 0
reduzierte kubische Gleichung
Die Lösung der kubischen Gleichung x^3+px+q=0 ist nach Cardano:
x=u+v für u^3=-q/2+wur(d) und v^3=-q/2-wur(d)
für d=(q/2)^2+(p/3)^3 mit Nebenbedingung u*v=-p/3.
Beispiele (p,q)=(2/3;-20/27), (-7;6), (-3;2), (6;2), (1;-2), ...
Herleitung der Formel von Cardano: Setze x=u+v
=> u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+p(u+v)+q=0
=> u^3+ 3uv(u+v)+ v^3+p(u+v)+q=0
=> u^3 + (3uv+p)*(u+v) +v^3+q=0
Mit 3uv+p=0 (*) (kann gesetzt werden) folgt: u^3+v^3=-q (**)
(**)=> u^6+2u^3v^3+v^6=q^2 (*) => 4u^3v^3=-4/27p^3
Subtraktion: u^6-2u^3v^3+v^6=q^2+4/27p^3
d.h (u^3-v^3)^2 =4*d für d=(q/2)^2+(p/3)^3 (***)
Somit gilt: u^3+v^3 =-q
u^3-v^3 =2*wur(d)
Summe/2 u^3 =-q/2+wur(d)
Differenz/2 v^3 =-q/2-wur(d)
Literatur:Gregor Mila (Gamertingen):Gleichungen dritten und vierten Grades
TTW rechnet mit Ihren Werten folgendermaßen
3 7 20
x - -x - —— = 0
3 27
reduzierte kubische Gleichung p=-7/3 q=20/27
Die Lösung der kubischen Gleichung x^3+px+q=0 ist nach Cardano:
x=u+v für u^3=-q/2+wur(d) und v^3=-q/2-wur(d)
d=(q/2)^2+(p/3)^3=-1/3
d < 0 Casus irreducibilis ergibt reelle Lösungen über komplexe u und v
Hinweis:cis(phi)=cos(phi)+i*sin(phi)=e^(i*phi)
3.Wurzel(cis(phi)=cis(phi/3+k*120°) (k=0,1,2 120°=2/3*Pi)
u^3=-10/27+i*1/3*wur(3)=7/27*wur(7)*cis(1 22,680 183 947 392 716 821°)
v^3=-10/27-i*1/3*wur(3)=7/27*wur(7)*cis(-1 22,680 183 947 392 716 821°)
----- 1. Lösung -------------
u=2/3+i*1/3*wur(3)=1/3*wur(7)*cis(40,893 394 649 130 905 608°)
v=2/3-i*1/3*wur(3)=1/3*wur(7)*cis(-40,893 394 649 130 905 608°)
x=u+v=4/3 Probe:x^3+p*x+q=0
----- 2. Lösung -------------
u=-5/6+i*1/6*wur(3)=1/3*wur(7)*cis(1 60,893 394 649 130 905 605°)
v=-5/6-i*1/6*wur(3)=1/3*wur(7)*cis(-1 60,893 394 649 130 905 605°)
x=u+v=-5/3 Probe:x^3+p*x+q=0
----- 3. Lösung -------------
u=1/6+i*-1/2*wur(3)=1/3*wur(7)*cis(2 80,893 394 649 130 905 605°)
v=1/6-i*-1/2*wur(3)=1/3*wur(7)*cis(-2 80,893 394 649 130 905 605°)
x=u+v=1/3 Probe:x^3+p*x+q=0
Ein Beispiel für den Casus reducibilis (d > 0)
3 1 52
x - -x - —— = 0
3 27
reduzierte kubische Gleichung p=-1/3 q=52/27
Die Lösung der kubischen Gleichung x^3+px+q=0 ist nach Cardano:
x=u+v für u^3=-q/2+wur(d) und v^3=-q/2-wur(d)
d=(q/2)^2+(p/3)^3=25/27
d > 0 Casus reducibilis ergibt eine reelle Lösung
u^3=-26/27+5/9*wur(3)=-0,000 712 514 313 586 689
v^3=-26/27-5/9*wur(3)=-1,925 213 411 612 339 237
----- Lösung -------------
u=-0,089 316 397 477 040 901
v=-1,244 016 935 856 292 431
x=u+v=-4/3 Probe:x^3-1/3*x+52/27=0
Weitere Lösungen sind die Lösungen der quadratischen Gleichung
x^2-4/3*x+13/9=0
Rechnung:x1=2/3+wur(-4)/2 x2=2/3-wur(-4)/2
Keine reelle Lösung.
Die allgemeine Gleichung 3. Grades
TTW erläutert zunächst den Lösungsweg
3 2
ax + bx + cx + d =0
allgemeine kubische Gleichung
a*z^3+b*z^2+c*z+q=0 bzw. z^3+A*z^2+B*z+C=0
wird auf die reduzierte kubische Gleichung x^3+p*x+q=0 zurückgeführt.
Substitution z=x-A/3 führt auf p=B-A^2/3 q=2/27A^3-1/3AB+C
TTW rechnet mit Ihren Werten folgendermaßen
3 2
x - 4x + x + 6 =0
kubische Gleichung a=1 b=-4 c=1 d=6
a*z^3+b*z^2+c*z+q=0 bzw. z^3+A*z^2+B*z+C=0
wird auf die reduzierte kubische Gleichung x^3+p*x+q=0 zurückgeführt.
Substitution z=x-A/3 führt auf p=B-A^2/3 q=2/27A^3-1/3AB+C
A=-4 B=1 C=6 z^3-4*z^2+1*z+6=0
reduzierte kubische Gleichung mit x=z-4/3 => p=-13/3 q=70/27
x^3-13/3*x+70/27=0
Eine Lösung: x=5/3 Probe:x^3-13/3*x+70/27=0
z=3 Probe: 1*z^3-4*z^2+1*z+6=0
Weitere Lösungen sind die Lösungen der quadratischen Gleichung
1*z^2-1*z-2=0
Rechnung:z1=1/2+3/2 z2=1/2-3/2
Lösung:z1=2 z2=-1
z1+z2=1 z1*z2=-2
Die allgemeine Gleichung 4. Grades
TTW erläutert zunächst den Lösungsweg
4 3 2
ax + bx + cx + dx + e = 0
Gleichung vierten Grades.
Die Lösung der Gleichung a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e=0 bzw.
x^4+A*x^3+B*x^2+C*x+D=0 für A=b/a B=c/a C=d/a und D=e/a
1. Schritt: Löse y^3-B/2*y^2+1/4*(AC-4*D)*y+1/8*(4BD-A^2*D-C^2)=0
2. Schritt: Löse (x^2+(A/2+s)*x+(y+t))*(x^2+(A/2-s)*x+(y-t))=0
für s=wur(1/4*A^2+2*y-B) und t=(Ay-C)/(2s)
bzw. t=wur(y^2-D) (falls s=0)
Literatur:Gregor Mila (Gamertingen):
Gleichungen dritten und vierten Grades S.33
TTW rechnet mit Ihren Werten folgendermaßen
4 3 2
x - 10x + 35x - 50x + 24 = 0
Gleichung vierten Grades a=1 b=-10 c=35 d=-50 e=24
Die Lösung der Gleichung a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e=0 bzw.
x^4+A*x^3+B*x^2+C*x+D=0 für A=-10 B=35 C=-50 D=24
1. Schritt: Löse y^3-B/2*y^2+1/4*(AC-4*D)*y+1/8*(4BD-A^2*D-C^2)=0
2. Schritt: Löse (x^2+(A/2+s)*x+(y+t))*(x^2+(A/2-s)*x+(y-t))=0
für s=wur(1/4*A^2+2*y-B) und t=(Ay-C)/(2s)
bzw. t=wur(y^2-D) (falls s=0)
1.Schritt:
y^3-35/2*y^2+101*y-385/2=0
reduzierte kubische Gleichung p=-13/12 q=-35/108
z^3-13/12*z-35/108=0
Eine Lösung: z=7/6
y=7
2. Schritt: s=2 t=-5
Zu lösen bleibt:(x^2-3*x+2)*(x^2-7*x+12)=0
Rechnung:x1=1'1/2+1/2 x2=1'1/2-1/2
Lösung:x1=2 x2=1
x1+x2=3 x1*x2=2
Rechnung:x3=3'1/2+1/2 x4=3'1/2-1/2
Lösung:x3=4 x4=3
x3+x4=7 x3*x4=12
TTW-Menü "Rechne|Algebra Geometrie|Gleichungen" führt auf ...
... Lineare Gleichungssysteme
Wie werden diese in TTW eingegeben und gerechnet?
Beispiel 1:TTW erläutert zunächst wie Sie die Werte eingeben müssen
n=2 (Zahl der Unbekannten) m=2 (Zahl der Gleichungen)
5 -7 |9
-3 2 |4
Nach Klicken auf "Rechne" wird das folgende Gleichungssystem gelöst.
*************************************************
5*x1 - 7*x2 =9
-3*x1 + 2*x2 =4
*************************************************
* Jetzt auf "Rechne Lin. Gl.-System" klicken *
* (vorher Koeffizienten ändern) *
*************************************************
Es wird versucht, ganzzahlig auf der linken Seite zu rechnen und das Ergebnis
als Bruch auszugeben.
Tipps *: Löschen Sie vorher dieses Feld mit "alles löschen".
*: Übertragen Sie die Aufgabe und Ergebnisse mit "Kopieren" und "Einfügen".
*: Der Trennstrich "|" kann, muss aber nicht eingegeben sein.
*: Brüche - allgemein alle Rechenausdrücke ohne Leerstelle- sind erlaubt.
*: Dezimalzahlen sind mit Punkt oder Komma erlaubt.
*: Die Probe rechnet mit dem Ausgangsgleichungssystem.
TTW rechnet mit Ihren Werten folgendermaßen
n=2 (Zahl der Unbekannten) m=2 (Zahl der Gleichungen)
5 -7 |9
-3 2 |4
*********************
5 -7 | 9
-3 2 | 4
*********************
5 -7 | 9
0 1 | -47/11
*********************
1 0 | -46/11
0 1 | -47/11
*********************
x1=-46/11 =-4,181 818 181 818 181 818
x2=-47/11 =-4,272 727 272 727 272 727
o.K. Probe mit Lösung (-46/11;-47/11)
Beispiel 2:TTW erläutert zunächst wie Sie die Werte eingeben müssen
n=5 (Zahl der Unbekannten) m=4 (Zahl der Gleichungen)
1/2 -0.5 0 0 -0,5 |1/2
0 0 -1 1 -1 |1/3
10/9 0 -20/9 0 10/9 |1/4
0 20 0 -10 -10 |1/5
******* Lineare Gleichungssysteme ********
Die Koeffizienten des LGS stehen in den ersten Zeilen.
Es handelt sich um 4 Gleichungen mit 5 Unbekannten.
Nach Klicken auf "Rechne" wird das folgende Gleichungssystem gelöst.
******************************************
1/2*x1 - 0,5*x2 -0,5*x5=1/2
...
20*x2 -10*x4 - 10 *x5=1/5
*************************************************
* Jetzt auf "Rechne Lin. Gl.-System" klicken *
* (vorher Koeffizienten ändern) *
*************************************************
TTW rechnet mit Ihren Werten folgendermaßen
n=5 (Zahl der Unbekannten) m=4 (Zahl der Gleichungen)
1/2 -0.5 0 0 -0,5 |1/2
0 0 -1 1 -1 |1/3
10/9 0 -20/9 0 10/9 |1/4
0 20 0 -10 -10 |1/5
*********************
1 -1 0 0 -1 | 1
0 0 1 -1 1 | -1/3
-1 0 2 0 -1 | -9/40
0 -2 0 1 1 | -1/50
*********************
1 -1 0 0 -1 | 1
0 0 1 -1 1 | -1/3
0 -1 2 0 -2 | 31/40
0 -2 0 1 1 | -1/50
*********************
1 -1 0 0 -1 | 1
0 0 1 -1 1 | -1/3
0 1 0 -2 4 | -173/120
0 -2 0 1 1 | -1/50
*********************
1 0 0 -2 3 | -53/120
0 0 1 -1 1 | -1/3
0 1 0 -2 4 | -173/120
0 0 0 1 -3 | 871/900
*********************
1 0 0 0 -3 | 2689/1800
0 0 1 0 -2 | 571/900
0 1 0 0 -2 | 889/1800
0 0 0 1 -3 | 871/900
*********************
x1=2689/1800 +3*x5 =1,493 888 888 888 888 889 +3*x5
x2=889/1800 +2*x5 =0,493 888 888 888 888 889 +2*x5
x3=571/900 +2*x5 =0,634 444 444 444 444 444 +2*x5
x4=871/900 +3*x5 =0,967 777 777 777 777 778 +3*x5
x5 beliebig
o.K. Probe mit Lösung (2689/1800;889/1800;571/900;871/900;0)
o.K. Probe(Variation mit x5) mit Lösung (8089/1800;4489/1800;2371/900;3571/900;1)
TTW-Menü "Rechne|Algebra Geometrie|Geometrie" führt auf ...
... Ebenen Geraden und Punkte im Raum
Berechnungen und Visualisierung
Umformung Parameterform der Ebene in Koordinatengleichung
TTW erläutert zunächst wie Sie die Werte eingeben müssen
Ebene Parameterform p(4 2 3) u(-3 -1 2) v(-5 -4 1)
Aufpunkt RV RV
------- Umformung Parameterform der Ebene in Normalform --------
Hier im Beispiel handelt es sich um eine Ebene mit dem Punkt P
und den Richtungsvektoren u und v (Trennzeichen " " oder "|")
Alternativ können Sie auch drei Punkte eingeben.
(Dazu "Alles löschen" und "Ebene ABC" klicken)
-----------------------------------------------------
Jetzt noch einmal auf "Ebene Parameterform klicken!
Vorher die Werte überschreiben
----------------------------------------------
Die Normalenform a*x1+b*x2+c*x3=d wird dann berechnet.
Bei "Zeichne" wird anschließend das Spurdreieck gezeigt.
TTW rechnet mit Ihren Werten folgendermaßen
Ebene Parameterform p(4|2|3) u(-3 -1 2) v(-5 -4 1)
Ebene DREIECK A(4|2|3)B(1|1|5)C(-1|-2|4)
*** Koordinatengleichung der Ebene ***
1*x1-1*x2+1*x3=5
DREIECK der Spurpunkte S1(5|0|0) S2(0|-5|0) S3(0|0|5)
Ebenenpunkte: (0|0|5) (0|1|6) (1|0|4) (-1|0|6) (1|0|4)
(-1|0|6) (0|2|7) (1|1|5) (-1|1|7) (1|-1|3)
(-1|-1|5) (2|0|3) (-2|0|7) (2|0|3) (-2|0|7)
(0|3|8) (1|2|6) (-1|2|8) (1|-2|2) (-1|-2|4)
(2|1|4) (-2|1|8) (2|-1|2) (-2|-1|6) (3|0|2)
(-3|0|8) (3|0|2) (-3|0|8) (0|4|9) (1|3|7)
(-1|3|9) (1|-3|1) (-1|-3|3) (2|2|5) (-2|2|9)
Ähnlich erhalten Sie die Koordinatengleichung der Ebene, wenn Sie
die Koordinaten dreier Punkte eingeben.
Abstand Punkt Ebene
TTW erläutert zunächst wie Sie die Werte eingeben müssen
Abstand Punkt Ebene
2 -1 -5 3 (Ebene E: 2x1-x2-5x3=3)
-1 2 1 (Punkt P(-1 2 1))
Ändern Sie die Werte und klicken Sie den Punkt noch mal an!
TTW rechnet mit Ihren Werten folgendermaßen
Abstand Punkt Ebene
2 -1 -5 3 (Ebene E: 2*x1-1*x2+-5*x3=3)
-1 2 1 (Punkt P(-1|2|1))
DREIECK der Spurpunkte S1(1'1/2|0|0) S2(0|-3|0) S3(0|0|-3/5)
±Abstand=-2,19089023=-2,190 9
Fußpunkt=F(-1/5|1'3/5|-1)=F(-0,2|1,6|-1) s=2/5
STRECKE P(-1|2|1) F(-1/5|1'3/5|-1)
Abstand zweier windschiefer Geraden
TTW erläutert zunächst wie Sie die Werte eingeben müssen
Gerade p(9 10 -2) u(-2 1 0) Gerade g: x=p+s*u
Gerade q(1 -3 -4) v(0 1 3) Gerade h: x=q+t*v
Ändern Sie die Werte und klicken Sie den Punkt noch mal an!
TTW rechnet mit Ihren Werten folgendermaßen
Gerade p(9 10 -2) u(-2 1 0) Gerade g: x=p+s*u
Gerade q(1 -3 -4) v(0 1 3) Gerade h: x=q+t*v
g=p+s*u h:=q+t*v mit GH senkrecht g und senkrecht h führt auf LGS
1*s-5*t=-3
10*s-1*t=19
s=1 t=2 G(7|11|-2) H(1|-1|2)
Abstand d(g,h)=g(G,H)=14
Winkel zwischen u und v: cos(phi)=1/(wur(5)*wur(10))=0,1414213562
=> phi=8,1301023542°
---------- Jetzt "Zeichne" klicken!-----------------
STRECKE G(7|11|-2) H(1|-1|2)
Schnittpunkt Gerade-Ebene
TTW erläutert zunächst wie Sie die Werte eingeben müssen
p(2 2 1) u(1 -1 1) Gerade g: x=p+s*u
-1 7 2 16 Ebene E: -x1+7x2+2x3=16
Ändern Sie die Werte und klicken Sie den Punkt noch mal an!
TTW rechnet mit Ihren Werten folgendermaßen
p(2|2|1) u(1 -1 1) Gerade g: x=p+s*u
-1 7 2 16 Ebene n*x=d bzw. ax1+bx2+cx3=d
"g in E" führt auf n*u*s+n*p=d, hier: -6*s+14=16
Schnittpunkt S(1'2/3|2'1/3|2/3) s=-1/3
Berechnung der Kugelgleichung aus vier Punkten
TTW erläutert zunächst wie Sie die Werte eingeben müssen
Kugel durch A(4|4|6) B(0|3|6) C(5|4|5) D(-1|3|1)
Ändern Sie die Werte und klicken Sie den Punkt noch mal an!
TTW rechnet mit Ihren Werten folgendermaßen
Kugel durch A(4|4|6) B(0|3|6) C(5|4|5) D(-1|3|1)
Ansatz Kugel: x1^2+x2^2+x3^2+ax1+bx2+cx3=d
=> M(-a/2|-b/2|-c/2) r=d(A,M)
Punktprobe mit A,B,C und D führt mit Umformung
ax1+bx2+cx3-d=-(x1^2+x2^2+x3^2) auf das LGS für a,b,c und d:
n=4 m=4
4 4 6 -1 |-68
0 3 6 -1 |-45
5 4 5 -1 |-66
-1 3 1 -1 |-11
(1)-(2), (1)-(3), (1)-(4) führt auf das LGS für a,b und c:
n=3 m=3
4 1 0 |-23
-1 0 1 |-2
5 1 5 |-57
Lösung: a=-4 b=-7 c=-6
in (1) => d=-12
Mittelpunkt M(2|3'1/2|3) Radius r=3,6400549446
KUGEL M(2|3'1/2|3) Radius r=3,640 054 944 640 259 136
Probe MA=3,6400549446
MB=3,6400549446
MC=3,6400549446
MD=3,6400549446
Schnittpunkt Kugel Gerade
TTW erläutert zunächst wie Sie die Werte eingeben müssen
Gerade p(-8 8 14) u(4 0 -3)
Kugel M(3 8 4) r=5
Ändern Sie die Werte und klicken Sie den Punkt noch mal an!
TTW rechnet mit Ihren Werten folgendermaßen
Gerade p(-8 8 14) u(4 0 -3)
Kugel M(3 8 4) r=5
Gerade in Kugel führt auf Gleichung 25*s^2-148*s+196=0
Lsg.: s1=3'23/25 s2=2 Schnittpunkte Gerade Kugel
STRECKE S1(7'17/25|8|2'6/25)S2(0|8|8)
TTW-Menü "Rechne|Rechnen..|Folgen" führt auf ...
Sie geben ein
q=77708431/2640858
TTW erläutert und rechnet mit Ihrem Wert
Die Kettenbruchentwicklung für q (Bruch oder Dezimalzahl)
dient dazu, q durch einen möglichst genauen Bruch anzunähern.
Wichtig:q im Parameterfeld eingeben.
--------------------------Theorie-------------------------------
q=q0=v1+q1, wobei v1=int(q0) der ganzzahlige Teil von q0
1/q1=v2+q2, wobei v2=int(1/q1) => q=v1+1/(v2+q2) q(1.Näherung)=v1+1/v2
1 1
1/q2=v3+q3, wobei v3=int(1/q2) => q=v1+--------- q(2.Näherung)=v1+------
1 1
v2+----- v2+--
v3+q3 v3
Schreibweise für Kettenbruch q=[v1,v2,v3,v4,...]
z.B. q(2.Näherung)=[v1,v2,v3]
Anwendung: Christaan Huygens (niederländischer Physiker 1629-1695, der das
Licht als Welle erklärte) fand für die Umlaufzeit Saturn zur Erde das Verhältnis
77708431:2640858. Für eine passende Astronomische Uhr mussten die Zahnräder mit
weniger Zähnen als die hier genannten Zahlen auskommen. Deswegen suchte man für
dieses Verhälnis Näherungen.
TTW erläutert und rechnet mit Ihrem Wert
q=29,425 448 471 670 949 365=77708431/2640858
Näherung=29/1 Fehler:0,425
q0=29+1/2,350 460 905 576 Näherung=59/2 Fehler:-0,0746
q1=2+1/2,853 385 310 849 Näherung=147/5 Fehler:0,0254
q2=2+1/1,171 803 624 091 Näherung=206/7 Fehler:-0,00312
q3=1+1/5,820 598 984 947 Näherung=1177/40 Fehler:0,000448
q4=5+1/1,218 622 028 961 Näherung=1383/47 Fehler:-8,34E-5
q5=1+1/4,574 104 470 406 Näherung=6709/228 Fehler:9,88E-6
q6=4+1/1,741 843 255 970 Näherung=8092/275 Fehler:-6,07E-6
q7=1+1/1,347 993 652 232 Näherung=14801/503 Fehler:1,16E-6
q8=1+1/2,873 615 635 179 Näherung=37694/1281 Fehler:-3,96E-7
q9=2+1/1,144 668 158 090 Näherung=52495/1784 Fehler:4,12E-8
q10=1+1/6,912 371 134 063 Näherung=352664/11985 Fehler:-5,59E-9
q11=6+1/1,096 045 197 688 Näherung=405159/13769 Fehler:4,68E-10
q12=1+1/10,411 764 711 46 Näherung=4404254/149675 Fehler:-1,77E-11
q13=10+1/2,428 571 395 63 Näherung=9213667/313119 Fehler:3,63E-12
q14=2+1/2,333 333 512 675 Näherung=22831588/775913 Fehler:-4,88E-13
q15=2+1/2,999 998 385 919 Näherung=54876843/1864945 Fehler:2,03E-13
q16=2+1/1,000 001 614 082 Näherung=77708431/2640858 Fehler:0
q=[29,2,2,1,5,1,4,1,1,2,1,6,1,10,2,2,2,1]
Lösung der diophantische Gleichung
77708431·n+2640858·m=1 ist n=1864945 und m=-54876843
Probe: 77708431·1864945-2640858·54876843=1
d.h.Es ist 77708431*Z+2640 858*Z=Z
Allgemein: ggT(a,b)=t => Es gibt m,n in Z mit m·a+n·b=t
(Lösung wird von TTW mit dem erweiterten
euklidischen Algorithmus ermittelt)
Sie geben ein
q=wur(2) (Quadratwurzel von 2)
TTW erläutert und rechnet mit Ihrem Wert
...
--------------------------Praxis------------------------------------------
q=1,414 213 562 373 095 049
q0=1+1/2,414 213 562 Näherung=3/2 Fehler:-0,0858
q1=2+1/2,414 213 562 Näherung=7/5 Fehler:0,0142
q2=2+1/2,414 213 562 Näherung=17/12 Fehler:-0,00245
q3=2+1/2,414 213 562 Näherung=41/29 Fehler:0,00042
q4=2+1/2,414 213 562 Näherung=99/70 Fehler:-7,22E-5
q5=2+1/2,414 213 562 Näherung=239/169 Fehler:1,24E-5
q6=2+1/2,414 213 562 Näherung=577/408 Fehler:-2,12E-6
q7=2+1/2,414 213 562 Näherung=1393/985 Fehler:3,64E-7
q8=2+1/2,414 213 562 Näherung=3363/2 378 Fehler:-6,25E-8
q9=2+1/2,414 213 562 Näherung=8119/5 741 Fehler:1,07E-8
q10=2+1/2,414 213 562 Näherung=19601/13860 Fehler:-1,84E-9
q11=2+1/2,414 213 562 Näherung=47321/33461 Fehler:3,16E-10
q12=2+1/2,414 213 562 Näherung=114243/80782 Fehler:-5,42E-11
q13=2+1/2,414 213 560 Näherung=275807/195025 Fehler:9,3E-12
-----------------------------------------------------------
q=[1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,...]
Sie geben ein
q=Pi ... und TTW berechnet Ihnen die Näherungsbrüche.
Näherung=3/1 Fehler:0,142
Näherung=22/7 Fehler:-0,00126
Näherung=333/106 Fehler:8,32E-5
Näherung=355/113 Fehler:-2,67E-7
Näherung=103993/33102 Fehler:5,78E-10
Näherung=104348/33215 Fehler:-3,32E-10
...
q=[3,7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,...]
Sie sehen: Die klassischen Näherungswerte sind dabei:
3 (I. Könige 7 Vers 23; II. Chronik 4 Vers 2)
22/7 = 3'1/7 (Archimedes)
355/113 = 3'16/113 (Tsu Ch'ung-Chih, 430-501, China)
Näheres zu Pi
Sie geben ein
q=lb(3/2) ... und TTW berechnet Ihnen die Näherungsbrüche.
Näherung=1/2 Fehler:0,085
Näherung=3/5 Fehler:-0,015
Näherung=7/12 Fehler:0,00163
Näherung=24/41 Fehler:-0,000403
Näherung=31/53 Fehler:5,68E-5
Näherung=179/306 Fehler:-4,82E-6
Näherung=389/665 Fehler:9,47E-8
Näherung=9 126/15 601 Fehler:-1,68E-9
Näherung=18 641/31 867 Fehler:3,29E-10
...
q=[0,1,1,2,2,3,1,5,2,23,2,2,1,1,55,1,4,...]
Für den Musiktheoretiker sind die Näherungsbrüche von
von lb(3/2) = Logarithmus 3/2 zur Basis 2 wichtig.
Allgemein bekannt: lb(3/2)=7/12, d.h. +12 Quinten (hoch),
-7 Oktaven (tief) ergibt ungefähr denselben Ton.
Fehler: das "pythagoreische Komma" = 23,5 Cent.
lb(3/2)=Logarithmus zur Basis 2 von (3/2) ergibt sich durch das
Frequenzverhälnis der Quinte. Da aber Intervalle addiert werden und nicht
wie Frequenzverhälnisse multipliziert werden, muss man zum Logarithmus übergehen.
Der Fehler ist noch gut hörbar, ebenso noch bei 41 Quinten -24 Oktaven,
aber kaum noch bei 53 Quinten - 31 Oktaven.
Verallgemeint ergibt sich folgendes Schema für die Näherungsbrüche:
Quinten m | +2 | +5 | +12 | +41
| +53 | +306 | +665 |
Oktaven n | -1 | -3 | -7 | -24
| -31 | -179 | -389 |
Diff.[Cent] | 204 | -90 | 23,5 | -19,8 | 3,62 | -1,77 | 0,076 |
m
1,5
Formel für Diff=lb ——— * 1200 [in Cent]
n
2
Lit.: Wilfried Neumaier: Was ist ein Tonsystem.
Quellen und Studien zur Musikgeschichte von der Antike bis zur
Gegenwart Bd. 9. Verlag: Peter Lang, 1986
TTW-Menü "Rechne|Rechnen..|Zahlentheorie"
führt auf ...
Berechnung von Primzahlen
Sie wünschen z.B. alle Primzahlen zwischen 100 000 und 101 000.
TTW liefert die Primzahlen [Zwillinge mit "*" gekennzeichnet].
PrZ(9 593)=100 003, d.h. die 9 593. Primzahl ist 100 003.
PrZ(9 594)=100 019
...
PrZ(9 602)=100 151 * PrZ(9 603)=100 153
...
Die Funktion x ——> PrZ(x) ist in TTW als Standardfunktion integriert.
TTW-Menü "Rechne|Rechnen..|Zahlentheorie"
führt auf ...
Berechnung aller pythagoreischer Zahlentripel
Die ersten berechneten Werte sind:
3^2+4^2=5^2
(ggT=2)6^2+8^2=10^2
5^2+12^2=13^2
(ggT=3)9^2+12^2=15^2
8^2+15^2=17^2
(ggT=4)12^2+16^2=20^2
7^2+24^2=25^2 (ggT=5)15^2+20^2=25^2
(ggT=2)10^2+24^2=26^2
20^2+21^2=29^2
(ggT=6)18^2+24^2=30^2
(ggT=2)16^2+30^2=34^2
(ggT=7)21^2+28^2=35^2
12^2+35^2=37^2
(ggT=3)15^2+36^2=39^2
(ggT=8)24^2+32^2=40^2
9^2+40^2=41^2
(ggT=9)27^2+36^2=45^2
(ggT=2)14^2+48^2=50^2 (ggT=10)30^2+40^2=50^2
(ggT=3)24^2+45^2=51^2
(ggT=4)20^2+48^2=52^2
28^2+45^2=53^2
(ggT=11)33^2+44^2=55^2
(ggT=2)40^2+42^2=58^2
(ggT=12)36^2+48^2=60^2
11^2+60^2=61^2
16^2+63^2=65^2 (ggT=5)25^2+60^2=65^2 33^2+56^2=65^2
(ggT=13)39^2+52^2=65^2
(ggT=4)32^2+60^2=68^2
(ggT=14)42^2+56^2=70^2
48^2+55^2=73^2
(ggT=2)24^2+70^2=74^2
(ggT=3)21^2+72^2=75^2 (ggT=15)45^2+60^2=75^2
(ggT=6)30^2+72^2=78^2
(ggT=16)48^2+64^2=80^2
(ggT=2)18^2+80^2=82^2
Berechnung aller pythagoreischer Zahlenquadrupel
1^2+2^2+2^2=3^2
(ggT=2)2^2+4^2+4^2=6^2
2^2+3^2+6^2=7^2
1^2+4^2+8^2=9^2 (ggT=3)3^2+6^2+6^2=9^2 4^2+4^2+7^2=9^2
2^2+6^2+9^2=11^2 6^2+6^2+7^2=11^2
(ggT=4)4^2+8^2+8^2=12^2
3^2+4^2+12^2=13^2
(ggT=2)4^2+6^2+12^2=14^2
2^2+5^2+14^2=15^2 2^2+10^2+11^2=15^2 (ggT=5)5^2+10^2+10^2=15^2
1^2+12^2+12^2=17^2 8^2+9^2+12^2=17^2
(ggT=2)2^2+8^2+16^2=18^2 (ggT=6)6^2+12^2+12^2=18^2
(ggT=2)8^2+8^2+14^2=18^2
1^2+6^2+18^2=19^2 6^2+6^2+17^2=19^2 6^2+10^2+15^2=19^2
4^2+5^2+20^2=21^2 4^2+8^2+19^2=21^2 4^2+13^2+16^2=21^2
(ggT=3)6^2+9^2+18^2=21^2 (ggT=7)7^2+14^2+14^2=21^2 8^2+11^2+16^2=21^2
(ggT=2)4^2+12^2+18^2=22^2 (ggT=2)12^2+12^2+14^2=22^2
3^2+6^2+22^2=23^2 3^2+14^2+18^2=23^2 6^2+13^2+18^2=23^2
(ggT=8)8^2+16^2+16^2=24^2
9^2+12^2+20^2=25^2 12^2+15^2+16^2=25^2
(ggT=2)6^2+8^2+24^2=26^2
2^2+7^2+26^2=27^2 2^2+10^2+25^2=27^2 2^2+14^2+23^2=27^2
(ggT=3)3^2+12^2+24^2=27^2 7^2+14^2+22^2=27^2
(ggT=9)9^2+18^2+18^2=27^2 10^2+10^2+23^2=27^2
(ggT=3)12^2+12^2+21^2=27^2 (ggT=4)8^2+12^2+24^2=28^2
3^2+16^2+24^2=29^2 11^2+12^2+24^2=29^2 12^2+16^2+21^2=29^2
(ggT=2)4^2+10^2+28^2=30^2 (ggT=2)4^2+20^2+22^2=30^2
(ggT=10)10^2+20^2+20^2=30^2
5^2+6^2+30^2=31^2 6^2+14^2+27^2=31^2 6^2+21^2+22^2=31^2
14^2+18^2+21^2=31^2
1^2+8^2+32^2=33^2 4^2+7^2+32^2=33^2 4^2+17^2+28^2=33^2
(ggT=3)6^2+18^2+27^2=33^2 7^2+16^2+28^2=33^2 8^2+8^2+31^2=33^2
8^2+20^2+25^2=33^2 (ggT=11)11^2+22^2+22^2=33^2 17^2+20^2+20^2=33^2
(ggT=3)18^2+18^2+21^2=33^2
(ggT=2)2^2+24^2+24^2=34^2 (ggT=2)16^2+18^2+24^2=34^2
1^2+18^2+30^2=35^2 6^2+10^2+33^2=35^2 6^2+17^2+30^2=35^2
(ggT=5)10^2+15^2+30^2=35^2 15^2+18^2+26^2=35^2
(ggT=4)4^2+16^2+32^2=36^2 (ggT=12)12^2+24^2+24^2=36^2
(ggT=4)16^2+16^2+28^2=36^2
3^2+8^2+36^2=37^2 3^2+24^2+28^2=37^2 8^2+24^2+27^2=37^2
12^2+21^2+28^2=37^2
(ggT=2)2^2+12^2+36^2=38^2 (ggT=2)12^2+12^2+34^2=38^2
(ggT=2)12^2+20^2+30^2=38^2
2^2+19^2+34^2=39^2 2^2+26^2+29^2=39^2 (ggT=3)9^2+12^2+36^2=39^2
10^2+14^2+35^2=39^2 13^2+14^2+34^2=39^2 (ggT=13)13^2+26^2+26^2=39^2
14^2+22^2+29^2=39^2 19^2+22^2+26^2=39^2
4^2+12^2+39^2=41^2 4^2+24^2+33^2=41^2 9^2+24^2+32^2=41^2
12^2+24^2+31^2=41^2 23^2+24^2+24^2=41^2
(ggT=2)8^2+10^2+40^2=42^2 (ggT=2)8^2+16^2+38^2=42^2
(ggT=2)8^2+26^2+32^2=42^2 (ggT=6)12^2+18^2+36^2=42^2
(ggT=14)14^2+28^2+28^2=42^2 (ggT=2)16^2+22^2+32^2=42^2
2^2+9^2+42^2=43^2 2^2+18^2+39^2=43^2 6^2+7^2+42^2=43^2
7^2+30^2+30^2=43^2 9^2+18^2+38^2=43^2 18^2+25^2+30^2=43^2
(ggT=4)8^2+24^2+36^2=44^2 (ggT=4)24^2+24^2+28^2=44^2
4^2+28^2+35^2=45^2 5^2+8^2+44^2=45^2 (ggT=5)5^2+20^2+40^2=45^2
(ggT=3)6^2+15^2+42^2=45^2 (ggT=3)6^2+30^2+33^2=45^2
8^2+19^2+40^2=45^2 13^2+16^2+40^2=45^2 (ggT=15)15^2+30^2+30^2=45^2
16^2+20^2+37^2=45^2 (ggT=5)20^2+20^2+35^2=45^2 20^2+28^2+29^2=45^2
(ggT=2)6^2+12^2+44^2=46^2 (ggT=2)6^2+28^2+36^2=46^2
(ggT=2)12^2+26^2+36^2=46^2
2^2+21^2+42^2=47^2 6^2+18^2+43^2=47^2 6^2+27^2+38^2=47^2
11^2+18^2+42^2=47^2 18^2+21^2+38^2=47^2 18^2+27^2+34^2=47^2
(ggT=16)16^2+32^2+32^2=48^2
4^2+9^2+48^2=49^2 4^2+33^2+36^2=49^2 9^2+32^2+36^2=49^2
12^2+24^2+41^2=49^2 12^2+31^2+36^2=49^2 (ggT=7)14^2+21^2+42^2=49^2
15^2+24^2+40^2=49^2 23^2+24^2+36^2=49^2
(ggT=2)18^2+24^2+40^2=50^2 (ggT=2)24^2+30^2+32^2=50^2
1^2+10^2+50^2=51^2 1^2+22^2+46^2=51^2 1^2+34^2+38^2=51^2
2^2+14^2+49^2=51^2 (ggT=3)3^2+36^2+36^2=51^2 10^2+10^2+49^2=51^2
14^2+14^2+47^2=51^2 14^2+17^2+46^2=51^2 14^2+31^2+38^2=51^2
(ggT=17)17^2+34^2+34^2=51^2 22^2+31^2+34^2=51^2
(ggT=3)24^2+27^2+36^2=51^2
(ggT=4)12^2+16^2+48^2=52^2
8^2+12^2+51^2=53^2 8^2+21^2+48^2=53^2 12^2+19^2+48^2=53^2
12^2+27^2+44^2=53^2 12^2+36^2+37^2=53^2 27^2+28^2+36^2=53^2
(ggT=2)4^2+14^2+52^2=54^2 (ggT=2)4^2+20^2+50^2=54^2
(ggT=2)4^2+28^2+46^2=54^2 (ggT=6)6^2+24^2+48^2=54^2
(ggT=2)14^2+28^2+44^2=54^2 (ggT=18)18^2+36^2+36^2=54^2
(ggT=2)20^2+20^2+46^2=54^2 (ggT=6)24^2+24^2+42^2=54^2
3^2+10^2+54^2=55^2 3^2+30^2+46^2=55^2 6^2+35^2+42^2=55^2
10^2+18^2+51^2=55^2 (ggT=5)10^2+30^2+45^2=55^2 18^2+26^2+45^2=55^2
19^2+30^2+42^2=55^2 (ggT=5)30^2+30^2+35^2=55^2
(ggT=8)16^2+24^2+48^2=56^2
(ggT=3)3^2+18^2+54^2=57^2 4^2+23^2+52^2=57^2 4^2+32^2+47^2=57^2
7^2+8^2+56^2=57^2 7^2+40^2+40^2=57^2 8^2+28^2+49^2=57^2
16^2+17^2+52^2=57^2 16^2+28^2+47^2=57^2 17^2+32^2+44^2=57^2
(ggT=3)18^2+18^2+51^2=57^2 (ggT=3)18^2+30^2+45^2=57^2
(ggT=19)19^2+38^2+38^2=57^2 23^2+28^2+44^2=57^2 25^2+32^2+40^2=57^2
28^2+28^2+41^2=57^2
(ggT=2)6^2+32^2+48^2=58^2 (ggT=2)22^2+24^2+48^2=58^2
(ggT=2)24^2+32^2+42^2=58^2
6^2+9^2+58^2=59^2 6^2+14^2+57^2=59^2 6^2+23^2+54^2=59^2
6^2+41^2+42^2=59^2 9^2+22^2+54^2=59^2 9^2+30^2+50^2=59^2
14^2+39^2+42^2=59^2 30^2+30^2+41^2=59^2
(ggT=4)8^2+20^2+56^2=60^2 (ggT=4)8^2+40^2+44^2=60^2
(ggT=20)20^2+40^2+40^2=60^2
3^2+24^2+56^2=61^2 11^2+36^2+48^2=61^2 12^2+21^2+56^2=61^2
20^2+36^2+45^2=61^2 21^2+24^2+52^2=61^2 24^2+29^2+48^2=61^2
24^2+36^2+43^2=61^2
(ggT=2)10^2+12^2+60^2=62^2 (ggT=2)12^2+28^2+54^2=62^2
(ggT=2)12^2+42^2+44^2=62^2 (ggT=2)28^2+36^2+42^2=62^2
2^2+11^2+62^2=63^2 2^2+22^2+59^2=63^2 2^2+34^2+53^2=63^2
2^2+43^2+46^2=63^2 5^2+10^2+62^2=63^2 5^2+38^2+50^2=63^2
(ggT=7)7^2+28^2+56^2=63^2 10^2+37^2+50^2=63^2 11^2+22^2+58^2=63^2
(ggT=3)12^2+15^2+60^2=63^2 (ggT=3)12^2+24^2+57^2=63^2
(ggT=3)12^2+39^2+48^2=63^2 (ggT=9)18^2+27^2+54^2=63^2
(ggT=21)21^2+42^2+42^2=63^2 22^2+26^2+53^2=63^2 22^2+37^2+46^2=63^2
(ggT=3)24^2+33^2+48^2=63^2 26^2+38^2+43^2=63^2
(ggT=7)28^2+28^2+49^2=63^2 34^2+37^2+38^2=63^2
7^2+24^2+60^2=65^2 (ggT=5)15^2+20^2+60^2=65^2 15^2+36^2+52^2=65^2
20^2+24^2+57^2=65^2 20^2+39^2+48^2=65^2 25^2+36^2+48^2=65^2
(ggT=2)2^2+16^2+64^2=66^2 (ggT=2)8^2+14^2+64^2=66^2
(ggT=2)8^2+34^2+56^2=66^2 (ggT=6)12^2+36^2+54^2=66^2
(ggT=2)14^2+32^2+56^2=66^2 (ggT=2)16^2+16^2+62^2=66^2
(ggT=2)16^2+40^2+50^2=66^2 (ggT=22)22^2+44^2+44^2=66^2
(ggT=2)34^2+40^2+40^2=66^2 (ggT=6)36^2+36^2+42^2=66^2
6^2+22^2+63^2=67^2 6^2+33^2+58^2=67^2 14^2+18^2+63^2=67^2
15^2+30^2+58^2=67^2 15^2+42^2+50^2=67^2 18^2+42^2+49^2=67^2
22^2+33^2+54^2=67^2 30^2+33^2+50^2=67^2 31^2+42^2+42^2=67^2
(ggT=4)4^2+48^2+48^2=68^2 (ggT=4)32^2+36^2+48^2=68^2
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führt auf ...
... Verhulst-Iteration
Iteration
x = 4·p·x·(1-x ) x Anfangswert, 0< p< 1, n=0, 1, 2,...
n+1 n 0
x = Bestand der Population im Jahre n, wobei die Population des
n
Folgejahres proportional zu x und zu (1-x ) ist, d.h.
n n
proportional zum Bestand als auch
proportional zum Nahrungsangebot.
Der Mathematiker spricht von der logistischen Abbildung
(ein eindimensionales Beispiel der nichtlinearen Dynamik).
Zu beobachten ist:
In TTW geben Sie ein:
von=1501 Ab dieser Nummer wird der Iterationswert berechnet
bis=1501+32 Bis zu dieser Nummer wird gerechnet
x0=0,5 Anfangswert
p=0,892 Der entscheidende Parameter
TTW rechnet mit Ihren Werten
Verhulst p=0,892
x(neu)=4*p*x*(1-x) für x=x(alt)
———————————————————————
n : x
n
———————————————————————
1501 :0,550 208 561 07
1502 :0,883 005 430 21
1503 :0,368 598 806 652
1504 :0,830 393 935 748
1505 :0,502 516 574 885
1506 :0,891 977 403 324
1507 :0,343 790 056 132
1508 :0,804 935 281 862
1509 :0,560 227 642 789
1510 :0,879 057 547 565
1511 :0,379 333 260 261
1512 :0,840 048 271 302
1513 :0,479 422 073 923
1514 :0,890 489 126 684
1515 :0,347 945 087 249
1516 :0,809 505 354 917
--- Periode=16 ---
1517 :0,550 208 561 07
1518 :0,883 005 430 21
1519 :0,368 598 806 652
1520 :0,830 393 935 748
1521 :0,502 516 574 885
1522 :0,891 977 403 324
1523 :0,343 790 056 132
1524 :0,804 935 281 862
1525 :0,560 227 642 789
1526 :0,879 057 547 565
1527 :0,379 333 260 261
1528 :0,840 048 271 302
1529 :0,479 422 073 923
1530 :0,890 489 126 684
1531 :0,347 945 087 249
1532 :0,809 505 354 917
1533 :0,550 208 561 07
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